自主招生力學專題講解

江蘇 吳 俊

自主招生力學專題講解

江蘇 吳 俊

自招的直通車-講真題，練真題，圍繞真題做文章。

經過本刊1、2、3期自主招生一輪復習的講解和配套練習，使大家對自主招生的命題方式和試題的難度有了初步的了解。鑒于自主招生考試較強的區(qū)分度，更有必要像高考一樣，順勢進入二輪復習，所以從本期開始，我們分別從力學、電學和選修角度闡述，這樣既可以從略高于高考的角度看高考，還可以應對自主招生。因此，本文就力學的重熱點問題解讀，以助大家有的放矢，做好二輪復習的應考工作。

一、近4年三大聯(lián)盟力學考點分布表

1.華約

2011年2012年2013年2014年關聯(lián)速度（選擇）、流體運動（選擇）、動量守恒定律與機械能守恒定律綜合應用（計算）光電門求加速度（實驗）、平拋運動規(guī)律的綜合應用（計算）汽車啟動問題（計算）、物體平衡中的極值問題（計算）傳送帶問題（計算）、同步衛(wèi)星（計算）

2.北約

2011年2012年2013年2014年動量守恒定律與機械能守恒定律綜合應用（計算）、機械能守恒定律與圓周運動綜合（計算）、萬有引力與航天（計算）、碰撞 問 題（計算）萬有引力定律的應用（選擇）、能量守恒定律應用（選擇）、動量守恒定律、能量守恒定律（填空）、共點力、力矩的平衡問題（計算）萬有引力定律的應用（填空）、動能定理的綜合應用（計算）、動能定理與牛頓運動定律綜合應用（計算）、動能定理與動量守恒定律、斜 拋 運 動組合圓周運動（選擇）、圓周 運 動、功能關系（填空）

3.卓越

2011年2012年2013年2014年追及問題與速度圖像（選擇）、牛頓運動定律的應用（選擇）、動能定理、共點力的平衡問題（計算）萬有引力的應用（選擇）、多過程問題——速度圖象的應用（選擇）、庫侖定律和共點力平衡、相似三角形（選擇）、動量守恒定律、牛頓運動定律（計算）、動能定理、多普勒效應（計算）衛(wèi)星的變軌問題（選擇）、二維碰撞驗證動量守恒定律（實驗）、牛頓運動定律、動能定理的應用（計算）、胡克定律、動量守恒定律、機械能守恒定律（計算）萬有引力定律的應用（填空）、打點計時器測合外力（實驗）、斜拋運動、功能關系（計算）、斜碰問題、康普頓效應（計算）

從上述3表看到，物體的平衡、牛頓運動定律的應用、動能定理、功能關系、能量守恒定律的應用等高考主干知識依然是自主招生命題的重點之一，但是難度要高。另外增加了力矩、速度關聯(lián)、動量守恒定律（綜合應用）等知識。實驗的綜合應用能力要求更高。

二、重熱點問題講解

1.共點力作用下的物體的平衡問題

【例1】（第32屆全國中學生物理競賽預賽）某機場候機樓外景結構簡化圖如圖1所示，候機樓側壁是傾斜的，用鋼索將兩邊斜壁系住，在鋼索上有許多豎直短鋼棒將屋面支撐在鋼索上。假設每邊斜壁的質量為m，質量分布均勻；鋼索與屋面（包括短鋼棒）的總質量為，在地面處用鉸鏈與水平地面連接，鋼索固定于斜壁上端以支撐整個屋面，鋼索上端與斜壁的夾角為30°；整個系統(tǒng)左右對稱。求：

圖1

（1）斜壁對鋼索的拉力的大?。?/p>

（2）斜壁與地面的夾角。

【解析】如圖2所示，設斜壁長度為l，斜壁對鋼索的拉力大小為F，斜壁與水平地面所夾銳角為α，由力矩平衡條件得

圖2

鋼索與屋面作為一個整體受到三個力：兩端的拉力大小均為F（與水平方向的夾角為α-30°），豎直向下的重力，由力的平衡條件得

【點評】（1）有固定轉軸的物體的平衡條件：合力矩為零，即。

（3）競賽中用到大量的數(shù)學運算，所以積化和差，和差化積，極值，等差、等比數(shù)列，圖象的含義等多種數(shù)學語言要熟悉。

2.關聯(lián)速度問題

【例2】（2009·清華大學）固定在豎直平面內的一個半圓形光滑軌道，軌道半徑為R，軌道兩端在同一水平高度上，其中一端有一小定滑輪（其大小可忽略），兩小物體質量分別為m1和m2，用輕細繩跨過滑輪連接在一起，如圖3所示，若要求小物體m1從光滑半圓軌道上端沿軌道由靜止開始下滑，問：

（1）小物體m1滿足什么條件可以使它下滑到軌道最低點？

（2）小物體m1下滑到C點時速度為多大？

圖3

【解析】（1）要使小物體m1下滑到軌道的最低點，細線中的拉力在豎直方向的分力必須小于或等于小物體m1的重力。由Fcos 45°＝m1g，F(xiàn)＝m2g，可得。

（2）m1滑到碗最低點時的速度分解完全符合繩拉船模型，即m1的速度為合速度，繩的速度為分速度，另一分速度垂直于繩。繩的速度大小等于m2的速度大小，如圖4所示。

圖4

【點評】連接體問題中很多都涉及速度的分解，對此類問題從力角度看，不能用一個物體的平衡態(tài)隨意地推測另一個物體也處于平衡態(tài)，從功能角度看，利用功能關系列式時要注意連接物體速度的不同。

3.探討功能問題

【例3】（2014·華約自招）如圖5所示的傳送帶裝置，與水平面的夾角為θ，且。傳送帶的速度v＝4m/s，動摩擦因數(shù)為，將一質量m＝4kg的小物塊輕輕地放置在裝置的底部，已知傳送帶裝置的底部到頂部之間的距離L＝20m。（g＝10m/s2）

圖5

（1）求物塊從傳送帶底部運動到頂部的時間t；

（2）求此過程中傳送帶對物塊所做的功。

圖6

運動的總時間t＝t1＋t2＝5.5s。

（2）方法一：由上問知，加速過程：摩擦力為滑動摩擦力Ff1＝mg＝40N，此過程中摩擦力做的功W1＝Ff1x1＝80J

勻速過程：摩擦力為靜摩擦力

此過程靜摩擦力做的功W2＝Ff2x2＝432J

故整個過程中傳送帶對物塊做的功W＝W1＋W2＝512J。

方法二：根據(jù)功能關系，物塊在整個過程中所獲得的機械能應等于傳送帶對物塊做的功

【點撥】求做功的途徑常常有兩個：一是做功公式W＝Flcosθ（僅適用于恒力做功）、二是動能定理或功能關系W1＋W2＋…（不包含重力和彈力做功）＝ΔEk＋ΔEp（除重力或彈力以外的力做的總功等于機械能的變化量）。本題學生做起來較為“順暢”，顯示了“基礎為能力載體、自主選拔與高考并軌”的命題意識。

小試身手

1.（2011·卓越）甲、乙兩車在一平直公路上從同一地點沿同一方向沿直線運動，它們的v-t圖象如圖7所示。下列判斷正確的是 （ ）

圖7

A.乙車啟動時，甲車在其前方50m處

B.運動過程中，乙車落后甲車的最大距離為75m

C.乙車啟動10s后正好追上甲車

D.乙車超過甲車后，兩車不會再相遇

3.（2010·復旦千分）與水平面成β角的光滑斜面的底端靜止一個質量為m的物體，從某時刻開始由一個沿斜面方向向上的恒力F作用在物體上，使物體沿斜面向上運動，經過一段時間t撤去這個力，又經過時間2t物體返回斜面的底部，則 （ ）

A.F與mgsinβ的比應該為3∶7

B.F與mgsinβ的比應該為9∶5

C.F與mgsinβ的比應該為7∶3

D.F與mgsinβ的比應該為5∶9

4.（2009·復旦千分）一物體靜止在光滑水平面上，先對物體施加一水平向右的恒力F1，經過時間t秒后撤去F1，立即再對它施加一水平向左的恒力F2，又經過時間t秒后物體回到出發(fā)點。在這一過程中，力F1和與F2的大小關系是 （ ）

A.F2＝FlB.F2＝2F1

C.F2＝3F1D.F2＝5F1

5.（2013·北京夏令營）一個物體開始處于靜止狀態(tài)，其所受外力與時間的關系如圖8所示，請定性作圖表示這個物體加速度與時間的關系、速度與時間的關系以及位移與時間的關系。

圖8

6.如圖9是一個直徑為D的圓柱體，其側面刻有螺距為h的螺旋形凹槽，槽內有一小球，為使小球能從靜止開始自由落下，必須要以多大的加速度來拉纏在圓柱體側面的繩子？（已知當?shù)氐闹亓铀俣葹間）

圖9

7.（2012·北約）車輪是人類在搬運東西的勞動中逐漸發(fā)明的，其作用是使人們能用較小的力量搬運很重的物體。假設勻質圓盤代表車輪，其他物體取一個正方形形狀。我們現(xiàn)在就比較在平面和斜面兩種情形下，為使它們運動（平動、滾動等）所需要的最小作用力。假設圓盤半徑為b，正方形物體的每邊長也為b，它們的質量都是m，它們與水平地面或斜面的動摩擦因數(shù)都是μ，給定傾角為θ的斜面。

（1）使圓盤在平面上運動幾乎不需要作用力。使正方形物體在平面上運動，需要的最小作用力F1是多少？

（2）在斜面上使正方形物體向上運動所需要的最小作用力F2是多少？

（3）在斜面上使圓盤向上運動所需要的最小作用力F3是多少？限定F3沿斜面方向。

8.（2006·南京大學）繩長為L，兩接點間距為d，士兵裝備及滑輪質量為m，不計摩擦力及繩子質量，士兵從一端滑到另一端過程中。繩始終處于繃緊狀態(tài)，求：

（1）士兵速度最大時繩上的張力；

（2）速度最大值vmax；

（3）士兵運動的軌跡方程。

參考答案及解題提示

1.ABD 【解析】乙車在t＝10s啟動時，甲車發(fā)生位移為50m，即乙車啟動時，甲車在乙車前方50m處，A項正確；在t＝15s時，甲、乙兩車速度相等，甲、乙兩車之間的距離最大，最大的距離為75m，B項正確；在t＝20s時，即乙車啟動10s后，甲車在乙車前方50m處，C項錯誤；乙車超過甲車后，乙車速度大于甲車速度。兩車不會再相遇，D項正確。

5.【解析】由F＝ma，v＝at，x＝vt可得，加速度-時間關系圖、速度-時間關系圖、位移-時間關系圖如圖10所示。

圖10

圖11

7.【解析】（1）設重物所受支持力為FN，所受摩擦力為Ff，作用力F1與水平面的夾角為α，受力分析如圖12所示，則有F1cosα-Ff＝0 ①

圖12

（2）設正方體所受支持力為FN，所受摩擦力為Ff，作用力F2與斜面的夾角為β，受力分析如圖13所示，則有

圖13

（3）如圖14所示，圓盤向上滾動，斜面提供沿斜面向上的摩擦力。相對于圓盤與斜面的接觸點，F(xiàn)3的最大力臂是2a，在此條件下列出相關方程。

圖14

【解析】如圖15，士兵運動到最低點時速度最大為vm，方向水平，具有向上的加速度，設此時繩的張力為FT，根據(jù)牛頓第二定律有

圖15

（作者單位：江蘇省江陰市第一中學）