磁場區(qū)域最小面積的五種求法

河南 王春旺

磁場區(qū)域最小面積的五種求法

河南 王春旺

在經(jīng)典的歸納和延伸中，演繹方法與策略。

帶電粒子在勻強磁場中的運動，是高考考查的重點，有關磁場區(qū)域的最小面積問題是?？碱}型。通過對近年高考及各地模擬題的研究，可歸納出五種磁場區(qū)域最小面積的求法。

一、粒子速度確定的圓形磁場區(qū)域

速度確定的帶電粒子在勻強磁場中運動，其軌跡半徑確定。要求出圓形磁場區(qū)域的最小面積，一般方法是先確定帶電粒子在磁場區(qū)域的入射點和出射點，連接這兩點即得到磁場區(qū)域的直徑，根據(jù)圖中幾何關系得到磁場區(qū)域直徑的數(shù)值，然后利用面積公式得出圓形磁場區(qū)域的最小面積。

【例1】如圖1所示，在平面直角坐標系xOy中的第一象限內(nèi)存在磁感應強度大小為B、方向垂直于坐標平面向里的有界圓形勻強磁場區(qū)域（圖中未畫出）；在第二象限內(nèi)存在沿x軸負方向的勻強電場。一粒子源固定在x軸上坐標為（-L，0）的A點.粒子源沿y軸正方向釋放出速度大小為v的電子，電子恰好能通過y軸上坐標為（0，2L）的C點，電子經(jīng)過磁場偏轉(zhuǎn)后恰好垂直通過第一象限內(nèi)與x軸正方向成15°角的射線ON（已知電子的質(zhì)量為m，電荷量為e，不考慮粒子的重力和粒子之間的相互作用）。求：

圖1

（1）勻強電場的電場強度E的大??；

（2）電子離開電場時的速度方向與y軸正方向的夾角θ；

（3）圓形磁場的最小面積Smin。

【解析】（1）從A到C的過程中，電子做類平拋運動，y方向勻速運動，x方向勻加速運動，則有

（2）設電子到達C點的速度大小為vC，方向與y軸正方向的夾角為θ。

由動能定理，有

（3）畫出帶電粒子的運動軌跡如圖2所示。電子在磁場中做勻速圓周運動，由洛倫茲力提供向心力有

圖2

【點評】本題屬于已知初、末速度的方向（所在直線）和初速度大小的問題，這類問題的特點是：軌跡圓的圓心均在初、末速度延長線形成的角的角平分線上。通過帶電粒子運動軌跡半徑，利用幾何關系，尋找勻強磁場區(qū)域的最小半徑，進而求得題設的問題。

二、粒子速度不確定的圓形磁場區(qū)域

速度不確定的帶電粒子在勻強磁場中運動，其軌跡半徑不確定?？筛鶕?jù)題述帶電粒子在磁場區(qū)域的入射線和出射線，畫出可能的運動軌跡。然后利用題述條件，確定帶電粒子在磁場區(qū)域的入射點和出射點，連接這兩點即得到磁場區(qū)域的直徑，然后利用面積公式得出圓形磁場區(qū)域的最小面積。

【例2】在xOy平面上的某圓形區(qū)域內(nèi)，存在一垂直紙面向里的勻強磁場，磁感應強度大小為B。一個質(zhì)量為m、帶電量為＋q的帶電粒子，由原點O開始沿x正方向運動，進入該磁場區(qū)域后又射出該磁場。后來，粒子經(jīng)過y軸上的P點，此時速度方向與y軸的夾角為30°（如圖3所示），已知P到O的距離為L，不計重力的影響。

圖3

（1）若磁場區(qū)域的大小可根據(jù)需要而改變，試求粒子速度的最大可能值；

由此可知粒子速度越大，其軌道半徑越大。在角平分線QC上取不同的點為圓心，由小到大作出一系列軌跡圓（如圖5），其中以C點為圓心的軌跡①是可能的軌跡圓中半徑最大的，其對應的粒子速度也最大。由圖5可知，速度最大的粒子在磁場中運動軌跡的圓心是y軸上的C點。

由于D點、E點必須在磁場內(nèi)，即線段DE在磁場內(nèi)，故可知磁場面積最小時必定是以DE為直徑的圓（如圖7中③所示）。

【點評】本題屬于已知初、末速度的方向（所在直線），但未知初速度大小（即未知軌道半徑大?。┑膯栴}，這類問題的特點是：所有軌跡圓的圓心均在初、末速度延長線形成的角的角平分線上（又稱縮放滾圓模型）。利用幾何關系，尋找半徑的大小，進而求得題設的問題。對于如何尋找最小磁場面積問題，只需尋找到粒子在磁場中的臨界運動軌跡即可。

三、半圓形磁場區(qū)域

要求出半圓形磁場區(qū)域的最小面積，一般方法是先確定帶電粒子在磁場區(qū)域的入射點和出射點，畫出運動軌跡。連接帶電粒子在磁場區(qū)域的入射點和出射點，該線段的平分線與軌跡的交點到入射點和出射點連線的距離即為半圓形磁場區(qū)域半徑，然后利用面積公式得出半圓形磁場區(qū)域的最小面積。

圖8

（1）電場強度大小E；

（2）如果有界勻強磁場區(qū)域為半圓形，求磁場區(qū)域的最小面積；

（3）粒子從P點運動到O點的總時間。

【解析】（1）設粒子從Q點離開電場時速度大小為v，由粒子在勻強電場中做類平拋運動得v＝2v0

（2）設粒子從M點進入、N點離開半圓形勻強磁場區(qū)域，粒子在磁場中做勻速圓周運動半徑為r，圓心為O1，軌跡如圖9所示。

圖9

若半圓形磁場區(qū)域的面積最小，則半圓形磁場區(qū)域的圓心為O2，可得半徑R＝1.5r＝3d

（3）設粒子在勻強電場中運動時間為t1，粒子從Q點離開電場時沿y軸負向速度大小為vy，有

設粒子在磁場中做勻速圓周運動時間為t2，有

粒子在QM、NO間做勻速直線運動時間分別為t3、t4，由幾何關系得

【點評】本題屬于已知（或容易求出）速度大小和初、末速度的方向（所在直線）的問題，解答這類問題一般方法是：根據(jù)題述，畫出粒子運動軌跡，利用幾何關系，尋找軌跡半徑的大小，進而求得半圓形磁場的最小面積。

四、矩形磁場區(qū)域

要求出矩形磁場區(qū)域的最小面積，必須求出矩形的最小長和寬。一般方法是先確定帶電粒子在磁場區(qū)域的入射點和出射點，畫出運動軌跡。根據(jù)運動軌跡確定矩形磁場區(qū)域的最小長和寬，然后利用面積公式得出矩形磁場區(qū)域的最小面積。

【例4】如圖10，xOy平面內(nèi)存在著沿y軸正方向的勻強電場。一個質(zhì)量為m、帶電荷量為＋q的粒子從坐標原點O以速度v0沿x軸正方向開始運動。當它經(jīng)過圖中虛線上的點時，撤去電場，粒子繼續(xù)運動一段時間后進入一個矩形勻強磁場區(qū)域（圖中未畫出），又從虛線上的某一位置N處沿y軸負方向運動并再次經(jīng)過M點。已知磁場方向垂直xOy平面（紙面）向里，磁感應強度大小為B，不計粒子的重力。試求：

圖10

（1）電場強度的大小；

（2）N點的坐標；

（3）矩形磁場的最小面積。

【解析】粒子的運動軌跡如圖11所示。

圖11

（1）粒子從O到M做類平拋運動，設時間為t，則有

（2）設粒子運動到M點時速度為v，與x方向的夾角為α，則

解得粒子做圓周運動的半徑為

（3）當矩形磁場為圖示虛線矩形時的面積最小。則矩形的兩個邊長分別為

【點評】本題屬于已知（或容易求出）速度大小和初、末速度的方向（所在直線）的問題，解答這類問題一般方法是：根據(jù)題述，畫出粒子運動軌跡，利用幾何關系，尋找軌跡半徑的大小，進而求得矩形磁場的最小面積。

五、兩圓弧包圍的磁場區(qū)域

要求出兩圓弧包圍的磁場區(qū)域的最小面積，一般方法是先根據(jù)帶電粒子在磁場中運動軌跡確定兩磁場邊界圓弧，然后利用幾何關系和相關知識得出兩圓弧包圍的磁場區(qū)域的最小面積。

【例5】如圖12，ABCD是邊長為a的正方形。質(zhì)量為m、電荷量為e的電子以大小為v0的初速度沿紙面垂直于BC邊射入正方形區(qū)域。在正方形內(nèi)適當區(qū)域中有勻強磁場。電子從BC邊上的任意點入射，都只能從A點射出磁場。不計重力，求：

圖12

（1）此勻強磁場區(qū)域中磁感應強度的方向和大??；

（2）此勻強磁場區(qū)域的最小面積。

【解析】（1）設勻強磁場的磁感應強度的大小為B。令圓弧是自C點垂直于BC入射的電子在磁場中的運動軌跡。電子所受到的磁場的作用力f＝ev0B

（2）由（1）中得出的磁感應強度的方向和大小，可知自C點垂直于BC入射電子在A點沿DA方向射出，且自BC邊上其他點垂直于BC入射的電子的運動軌跡只能在BAEC區(qū)域中。因而，圓弧是所求的最小磁場區(qū)域的一個邊界。

為了確定該磁場區(qū)域的另一邊界，我們來探討射入A點的電子的速度方向與BA的延長線夾角為θ（不妨設0≤θ≤π/2）的情形。該電子的運動軌跡qpA如圖13所示。

圖13

這意味著，在0≤θ≤π/2范圍內(nèi)，p點形成以D為圓心、a為半徑的四分之一圓周，它是電子做直線運動和圓周運動的分界線，構成所求磁場區(qū)域的另一邊界。

因此，所求的最小勻強磁場區(qū)域分別由B和D為圓心、a為半徑的兩個四分之一圓周和所圍成，其面積為。

【點評】本題屬于已知初速度的大小和方向，已知帶電粒子射出磁場區(qū)域的位置，但是末速度方向未知的問題。根據(jù)題中分析可知，要使速度相等的、比荷相等的帶電粒子從磁場區(qū)域同一點出射，則帶電粒子射入磁場區(qū)域的邊界為一半徑等于帶電粒子在磁場中運動的軌跡半徑的四分之一圓弧。反過來，勻強磁場的一側(cè)邊界為圓弧時，若速度相等的、比荷相等的帶電粒子從同一點以不同的方向射入勻強磁場，在帶電粒子從磁場中射出時速度方向平行。

（作者單位：河南省洛陽市第二中學）