一類廣義四元素群上的Cayley圖

曲靖師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 馬 麗

一類廣義四元素群上的Cayley圖

曲靖師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 馬 麗

對稱圖的研究起源于W.T.Tutte在1949年的一個(gè)重要結(jié)論。他證明了，當(dāng)s≤6時(shí)不存在s-弧傳遞3度圖。Cayley圖作為一類具有高對稱性的圖受到廣泛研究。本文主要研究一類廣義四元素群上的Cayley 圖，并給出此類圖的具體刻畫。

廣義四元素群 Cayley圖 O'Nan-Scott型

一、預(yù)備知識

本文所有的圖都是簡單的連通圖，給定一個(gè)圖Γ，用V Γ、E Γ、A Γ、Aut（Γ）分別表示它的點(diǎn)集、邊集、弧集和全自同構(gòu)群。

令G是一個(gè)有限群，S為G的不包含單位元1的子集，我們?nèi)缦露x群G關(guān)于其子集S的Cayley（有向）圖。

定義1：圖Γ=Cay（G，S），其中圖的頂點(diǎn)集V Γ=G，邊集E Γ=｛（x，y）|yx-1∈S｝。

Cayley圖是一類重要的點(diǎn)傳遞圖，關(guān)于Cayley圖有下列重要結(jié)論。

Γ=Cay（G，S）是群G關(guān)于子集S的Cayley圖，則：

（1）Aut（Γ）包含G的右正則表示R（G），因而Γ是點(diǎn)傳遞的。

（2）Γ連通當(dāng)且僅當(dāng)G=〈S〉。

（3）Γ是無向圖當(dāng)且僅當(dāng)S=S-1。

定義2：廣義四元素群Q4p=｛〈a，b〉|a2p=1，b2=1，ab=a-1｝，根據(jù)定義關(guān)系知Q4p中的2p階元素為ai，（i，2p）=1，4階元為aib，其中i∈Z2p。

二、主要結(jié)果及其證明

設(shè)Γ=Cay（G，S）是群G關(guān)于子集S的Cayley圖，對任意α∈Aut（G）則容易驗(yàn)證α是由圖Γ=Cay（G，S）到圖Γ=Cay（G，Sα）的圖同構(gòu)。

考慮Cayley 圖的連通性和無向性，即G=〈S〉，S=S-1且不包含單位元的生成子集S在自同構(gòu)Aut（G）下的軌道，則我們有如下的定理：

證明：由于Cayley圖Γ是連通的，無向的。

則有S=S-1且G=〈S〉，因此S≠1。

下面分別考慮|S|=2和|S|=3情形。

當(dāng)|S|=2，此時(shí)可分為以下兩種情況討論：S中只含有4階元； S中只含有2m+1階元。

（1）S中只含有4階元

G中全體4階元集合為｛a±2m-1，aib|0≤i≤2m+1｝，則S有下列2種情況：｛a2m-1，-2m-1｝，｛aib，a-ib-1｝。

然而這兩個(gè)集合中的元素分別生成〈2m-1〉和〈aib〉，所以都不能生成群G。

（2）S中只含有2m+1階元

G中全體2m+1階元集合為｛ai|i∈Z2m+1，（i，2m+1）=1｝。于是S只可能為｛ai，a-i｝。此時(shí)S中的元素只能生成群〈ai〉，顯然G≠〈S〉。

當(dāng)|S|=3時(shí)，由于S=S-1，故S中必包含有2階元。故3元子集在AutG下的軌道，可分如下情況討論：S中只包含2階元； S中只包含2階元和2m+1階元；S中不包含2m+1階元。

（1）S中只包含2階元

由于G中全體2階元有3個(gè)：a2m、b2、a2mb2，因此全體2階元生成〈a2m，b2〉，顯然G≠〈S〉。

（2）S中只包含2階元和2m+1階元

則S只有3種情況：｛ai，a-i，a2m｝，｛ai，a-i，a2mb2｝，｛ai，a-i，b2｝ 。顯然這三種情形都不可能生成G。

（3）S中不包含2m+1階元

G中的非2m+1階元為ai、aib、i，為偶數(shù)。

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［3］Machale D. Some finite groups which are rarely automorphism Groups-I［J］. Proceedings of the Royal Irish Academy，1981

［4］陳貴云.自同構(gòu)群的階為p1p2…pn的有限群［J］.西南師范大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，1990

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［6］杜 妮，李世榮.具有4pq自同構(gòu)群的有限群［J］.數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2004

［7］孟 偉，李春琴.具有8pq階自同構(gòu)群的有限冪零群［J］.云南民族大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2011

ISSN2095-6711/Z01-2016-10-0236

馬麗（1983—），女，博士，講師，研究方向：群與圖