Goldie*-補(bǔ)模的推廣

楊素云，吳　俊，劉少然

(安徽師范大學(xué) 數(shù)學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，安徽 蕪湖　241003)

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Goldie*-補(bǔ)模的推廣

楊素云，吳俊，劉少然

(安徽師范大學(xué) 數(shù)學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，安徽 蕪湖241003)

摘要：作為Goldie*-補(bǔ)模的推廣，本文引入了主Goldie*-補(bǔ)模.稱模M是主Goldie*-補(bǔ)模(主G*-補(bǔ)模)，如果對(duì)M的任意循環(huán)子模X，存在M的補(bǔ)子模Y，使得(X+Y)/X?M/X且(X+Y)/Y?M/Y.研究了主G*-補(bǔ)模的一些性質(zhì)，并證明了若M=M1⊕M2,M1=aM,M2=bM,a,b是End(MR)的本原冪等元，且對(duì)任意N?M，N=aN+bN.則M是主G*-補(bǔ)模當(dāng)且僅當(dāng)M1和M2是主G*-補(bǔ)模.

關(guān)鍵詞：主G*-補(bǔ)模；補(bǔ)子模；補(bǔ)模

引言

本文的環(huán)均指有單位元的結(jié)合環(huán)，所有的模均是西模.設(shè)R為環(huán)，M為右R-模，Rad(M)為M的根.設(shè)L和K為M的子模，稱K是M的多余子模或小子模[1]，如果對(duì)于M的任意子模L，由K+L=M可推出L=M，記作K?M.稱K是N在M中的補(bǔ)(弱補(bǔ))[2]，如果K+N=M且K∩N?K(K∩N?M).稱K是模M的補(bǔ)子模[1]，若K是M的某個(gè)子模的補(bǔ).稱模M是補(bǔ)模[1]，如果對(duì)M的所有子模X，存在一個(gè)補(bǔ)子模N.稱模M是主補(bǔ)模[1]，如果對(duì)M的所有循環(huán)子模X，存在補(bǔ)子模N.主補(bǔ)模是補(bǔ)模的真推廣.稱M是提升模[2]，如果對(duì)M的任意子模N，存在M的一個(gè)直和分解M=D⊕D′，使得D?N且(D′∩N)?M.稱M是主提升模[3]，如果對(duì)M的任意循環(huán)子模N，存在M的一個(gè)分解M=D⊕D′，使得D?N且(D′∩N)?M.主提升模是提升模的真推廣.稱關(guān)系KN是M余小子模[4]，如果K≤N≤M,且N/K?M/K,記為KN.G.F.Birknmeier和F.T.Mutlu等在文獻(xiàn)[5]定義了β*等價(jià)關(guān)系，模M的任意子模X，Y是β*等價(jià)的當(dāng)且僅當(dāng)(X+Y)/X?M/X和(X+Y)/Y?M/Y，記為Xβ*Y.稱M是G*-提升模[5](在文獻(xiàn)[9]中稱之為H-補(bǔ)模)，如果對(duì)M的任意子模N，存在M的直和項(xiàng)D，使得Dβ*N.稱M是一個(gè)G*-補(bǔ)模[5]，如果對(duì)M的任意子模N，存在M的補(bǔ)子模S，使得Sβ*N.它們之間有如下關(guān)系：提升模?G*-提升模?G*-補(bǔ)模?補(bǔ)模.稱M是主G*-提升模[4]，如果對(duì)M的任意循環(huán)子模N，存在M的直和項(xiàng)D，使得Dβ*N.文中沒有給出的符號(hào)請(qǐng)參考文獻(xiàn)[7-9].受此啟發(fā)，本文引入了主G*-補(bǔ)模的概念.

1預(yù)備知識(shí)

定義1.1[4]稱模M的任意子模X，Y是β*等價(jià)的當(dāng)且僅當(dāng)

(X+Y)/X?M/X,(X+Y)/Y?M/Y

記為Xβ*Y.

由文獻(xiàn)[4]可知β*關(guān)系是一個(gè)等價(jià)關(guān)系，下面給出了β*等價(jià)的一些等價(jià)刻畫.

定理1.2[5]設(shè)X，Y≤M，則下列命題等價(jià)：

(1)Xβ*Y；

(2)X→(X+Y)和Y→X+Y；

(3)對(duì)M的任意子模A使得X+Y+A=M,則X+A=M且Y+A=M;

(4)若K+X=M對(duì)M任意的子模K成立，則Y+K=M也成立.如果Y+H=M對(duì)M的子模則X+H=M也成立.

引理1.3[5]設(shè)模M的子模X，Y，若X?Y+B且Y?X+A,其中A，B?M.則Xβ*Y.

引理1.4[5]設(shè)模M的子模X，Y滿足Xβ*Y，則下列兩條件成立：

(1)X?M當(dāng)且僅當(dāng)Y?M；

(2)X在M中有(弱)補(bǔ)模C當(dāng)且僅當(dāng)C是Y在M中的(弱)補(bǔ)模.

引理1.5[5]設(shè)X1,X2,Y1,Y2≤M，使得X1β*Y1且X2β*Y2，則在(X1+X2)β*(Y1+Y2)且(X1+Y2)β*(Y1+X2).

由文獻(xiàn)[5]可知0模和任意的小子模都有β*關(guān)系.從而由引理1.5知設(shè)X，Y≤M，如果Xβ*Y，則Xβ*(Y+J)，其中J是M的任意的多余子模.

引理1.6[5]設(shè)K，L，N是M的子模，f:M→M′是滿同態(tài).則

(1)若K是N在M中的補(bǔ)，且T?M，則K是N+T在M中的補(bǔ).

(2)若Kerf?M且L是K在M中的補(bǔ)，則f(K)在M′中的補(bǔ)是f(L).

(3)若Nβ*L，則f(N)β*f(L).

2主要結(jié)果

定義2.1稱M是主G*-補(bǔ)模，如果對(duì)M的任意循環(huán)子模N，存在M的補(bǔ)子模S，使得Sβ*N.

由定義易知模是G*-補(bǔ)模一定是主G*-補(bǔ)模，下面的例1說(shuō)明主G*-補(bǔ)模是G*-補(bǔ)模的真推廣.

定理2.2模M是主G*-補(bǔ)模當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任意循環(huán)子模X，存在M的補(bǔ)子模S和小子模H使得

X+H=S+H=X+S.

證明假設(shè)M是主G*-補(bǔ)模.則對(duì)M的任意循環(huán)子模X，存在一個(gè)補(bǔ)子模S使得Sβ*X.于是存在W≤M使得S+W=M且(S∩W)?S.由文獻(xiàn)[5]性質(zhì)2.11知Xβ*(X+S)和Sβ*(X+S).由引理1.4和文獻(xiàn)[5]推論2.13知W是S，X，X+S的弱補(bǔ)模，則M=X+S+W=X+W=S+W.令H=(X+S)∩W?M易知H?M，由模律可得：X+H=S+H=X+S,(X+S)∩W?M.另一方面由引理1.3可得.

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推論2.3假設(shè)Rad(M)?M.則模M是主G*-補(bǔ)模當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任意循環(huán)子模X，存在M的補(bǔ)子模S使得：

X+Rad(M)=S+Rad(M)

證明(充分性)由定理2.2顯然.(必然性)由引理1.3容易得出.

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命題2.4設(shè)模M，則有下列條件

(a)M是一個(gè)主提升模；

(b)M是主G*-提升模；

(c)M是主G*-補(bǔ)模；

(d)M是主補(bǔ)模.

(a)?(b)?(c)?(d)成立.

證明(a)?(b)見文獻(xiàn)[4]的定理3.4.(b)?(c)由定義顯然.

我們僅證(c)?(d),已知M是主G*-補(bǔ)模，令X是M的循環(huán)子模，則存在M的補(bǔ)子模S，使得Xβ*S.所以存在W≤M，使得M=S+W,S∩W?S.由于Xβ*S由引理1.4可得W是X的補(bǔ)，.從而M=X+W,X∩W?W.故M是一個(gè)主補(bǔ)模.

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例1設(shè)Z為整數(shù)環(huán)，Q為有理數(shù)環(huán)，M為Z-模Q.因?yàn)镽ad(Q)=Q，M的每個(gè)循環(huán)子模都是小子模或多余子模，由文獻(xiàn)[4]的例2.15知M為主G*-提升模.由命題2.4可知M是主G*-補(bǔ)模.但M不是補(bǔ)模，由文獻(xiàn)[5]定理3.6知M不是G*-補(bǔ)模.

一個(gè)模M稱為主半單模[4]，如果M的每個(gè)循環(huán)子模都是M的直和項(xiàng).

命題2.5每個(gè)主半單模是主G*-補(bǔ)模.

證明由半單模和主G*-補(bǔ)的定義顯然可以得到.

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稱模M為完全不變的[7]，若對(duì)它的任意自同態(tài)f，都有f(M)≤M.稱M為duo模，如果M的每個(gè)子模都是完全不變的.稱模M為分配模[9]，如果對(duì)M子模A，B，C，有A∩(B+C)=(A∩B)+(A∩C).稱M的子模X是投射不變的[4]，如果對(duì)任意的e2=e∈End(MR),有eX?X.

定理2.6若M=M1⊕M2，其中M1=aM,M2=bM,{a,b}是End(MR)的本原冪等元，且對(duì)任意的N≤M,N=aN+bN.則M是主G*-補(bǔ)模當(dāng)且僅當(dāng)M1和M2是主G*-補(bǔ)模.

證明(?)令X=mR?M1，因?yàn)镸是主G*-補(bǔ)模，存在M的一個(gè)補(bǔ)子模S，使得M=N+S且N∩S?S,Sβ*mR.只要證aSβ*mR在子模M1中成立即可.假設(shè)存在K≤M1使得X+aS+K=M1，則X+S+K+N=M,由引理1.3可得X+K+N=M.則X+K+aN=M1,bN=M2，且bS≤bN.于是aS+N=M.又因?yàn)镾是N在M中的補(bǔ)，S=aS.現(xiàn)在aS+aN=M1且aN∩aS≤N∩S?S=aS.即aS是M1中的補(bǔ)子模，mRβ*aS，可推出M1是主G*-補(bǔ)模.同理可得M2也是主G*-補(bǔ)模.

(?)令m∈M.mR是M的循環(huán)子模，mR=(mR∩M1)⊕(mR∩M2).所以mR∩M1=m1R=amR和mR∩M2=m2R=bmR對(duì)m1∈M1,m2∈M2.因?yàn)镸1和M2是主G*-補(bǔ)的，存在一個(gè)M1的補(bǔ)子模S1，有M1=N1+S1且N1∩S1?S1，使得S1β*m1R.存在一個(gè)M2的補(bǔ)子模S2，有M2=N2+S2且N2∩S2?S2,使得S2β*m2R.M=M1+M2=N1+S1+N2+S2,假設(shè)(N1+N2)∩(S1+S2)+K=(S1+S2)，則S1∩N1+S2∩N2+aK+bK=S1+S2可推出S1∩N1+aK=S1,由于S1∩K1?S1，故aK=S1.同理可得bK=S2.因?yàn)镵=aK+bK,故S1+S2=K.(N1+N2)∩(S1+S2)≤(S1+S2)，且由引理1.4可知(S1+S2)β*(m1R+m2R).故M是主G*-補(bǔ)模.

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推論2.7若M=M1⊕M2，M是duo模.則M是主G*-補(bǔ)模當(dāng)且僅當(dāng)M1和M2是主G*-補(bǔ)模.

證明由文獻(xiàn)[1]的定理9、定理10、文獻(xiàn)[4]的命題3.9和本文定理2.4可以得到.

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定理2.8設(shè)M是主G*-補(bǔ)模.若X≤M，對(duì)M的任意子模K，有(K+X)/X是(M/X)的補(bǔ)子模，則商模M/X是主G*-補(bǔ)模.

證明設(shè)(mR+X)/X是M/X的循環(huán)子模.因?yàn)镸是主G*-補(bǔ)模，，所以存在M的補(bǔ)子模D，使得對(duì)任意的Y≤M，有M=mR+Y當(dāng)且僅當(dāng)M=D+Y.已知(D+X)/X是M/X的補(bǔ)子模.下證(mR+X)/Xβ*(D+X)/D，我們考慮典型滿同態(tài)θ:M→M/X,由引理1.5，有θ(mR)β*θ(D).則M/X是主G*-補(bǔ)模.

定理2.9設(shè)M是主G*-補(bǔ)模.若M是分配模，則它的任意商模M/X是主G*-補(bǔ)模.

證明因?yàn)镸是主G*-補(bǔ)模，則對(duì)M的任意循環(huán)子模N.設(shè)D是M的補(bǔ)子模，使得

M=D+D′，

D∩D′?D，

D′?M.

即Dβ*N.下證存在X≤N,使得(D+X)/X是M/X的補(bǔ)子模.因?yàn)?/p>

(M/X)=(D+X)/X+(D′+X)/X.

所以只需證

((D+X)∩(D′+X))/X?(D+X)/X.

注意到

((D+X)∩(D′+X))/X+L/X=(D+X)/X.

(L/X)≤(D+X)/X.

因?yàn)镸是分配模，所以D∩D′+L=D+X.由于D∩D′?D，故L=D+X.即有(D+X)/X是(D′+X)/X在(M/X)中的補(bǔ).從而(D+X)/Xβ*(N+X)/X.故(M/X)是主G*-補(bǔ)模.

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定理2.10設(shè)M是主G*-補(bǔ)模，若M為分配模，則M/Rad(M)是主半單的.

證明設(shè)X/Rad(M)是M/Rad(M)的循環(huán)子模，則X=mR+Rad(M)其中m∈M.因?yàn)镸是一個(gè)主Rad補(bǔ)模，則對(duì)M的任意循環(huán)子模mR.存在D是M的補(bǔ)子模，使得M=D+D′,D∩D′?M,且Dν*mR.由文獻(xiàn)[5]推論2.12可得(mR+Rad(M))β*D.由引理1.3(2)，D′是X的補(bǔ).有M/Rad(M)=X/Rad(M)+(D′+Rad(M))/Rad(M).因?yàn)镸是分配模，(mR+Rad(M))∩(D′+Rad(M))=mR∩D′+Rad(M),mR∩D′?D′可推出mR∩D′?M,mR∩D′≤Rad(M).X/Rad(M)∩(D′+Rad(M))/Rad(M)=((X∩D′)+Rad(M))/Rad(M).就可以得到M/Rad(M)=X/Rad(M)⊕(D′+Rad(M))/Rad(M).則M/Rad(M)是主半單的.

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定理2.11設(shè)M是主G*-補(bǔ)模.若M為分配模，則M=A⊕B，其中A是主半單的.

證明由zorn引理，我們知M存在子模A使得Rad(M)⊕A是M的小子模.設(shè)X/Rad(M)是M/Rad(M)的循環(huán)子模，則X=mR+Rad(M)其中m∈A.因?yàn)镸是一個(gè)主G*-補(bǔ)模，則對(duì)M的任意循環(huán)子模mR.存在D，使得M=D+D′，D∩D′?D,D′≤M，且Dβ*mR.由引理1.5可得(mR+Rad(M))β*D.于是M/Rad(M)=X/Rad(M)+(D′+Rad(M))/Rad(M).根據(jù)模律知X∩D′?Rad(M),即X∩D′=0.故M=mR⊕D′，從而mR同構(gòu)M/Rad(M)的一個(gè)子模.由定理2.9知M/Rad(M)是主半單的，故A是主半單的.

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Extension of Goldie*-Supplemented Modules

YANG Su-yun,WU Jun,LIU Shao-ran

(College of Mathematics and Computer Science, Anhui Normal University, Wuhu 241004, China)

Abstract:As a generalization of Goldie*-supplemented modules, a module M is called principally Goldie*-(G*-)supplemented if for every proper cyclic submodule X of M, there exists a supplement submodule Y of M such that (X+Y)/X?M/X and (X+Y)/Y?M/Y. Various properties of these modules are given. It is proved that if M=M1⊕M2, M1=aM, M2=bM, where {a,b} is a set of orthogonal idempotents of End(MR), such that for N≤M, N=aN+bN, then M is principally G*-supplemented if and only if M1 and M1 are principally G*-supplemented.

Key words:principally G*-supplement; supplement submodule; supplemented module

中圖分類號(hào)：O153.3

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：1001-2443(2016)02-0124-04

作者簡(jiǎn)介：楊素云(1990-)，女，安徽宿州人，碩士研究生，從事同調(diào)代數(shù)與代數(shù)表示論.

收稿日期：2015-03-10

DOI：10.14182/J.cnki.1001-2443.2016.02.005

引用格式：楊素云，吳俊，劉少然.Goldie*-補(bǔ)模的推廣[J].安徽師范大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2016，39(2)：124-127.