全面聚焦考點(diǎn) 從容應(yīng)對(duì)高考

郭建華 于健

數(shù)列是高考中一道亮麗的風(fēng)景線，可謂?？汲Ｐ?由于數(shù)列內(nèi)容豐富，題型廣泛，解法靈活，所以在每年高考命題中一直占有比較重要的地位，深受高考命題者的青睞.2015年的新課程試卷普遍考查了數(shù)列問題，題型涉及選擇、填空和解答題，平均分值為17分.分析近年高考試題可知，本章考查的主要內(nèi)容如下表所示：

【誤區(qū)警示】

此類問題應(yīng)重視對(duì)n=l和n≥2兩種情況的討論；特別注意an=Sn-Sn-1中需要n≥2.

【變式1】

設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足Sn=3n?-n+2（n∈N*），求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

考點(diǎn)一：數(shù)列的基本概念

考向：由Sn與Sn-1關(guān)系求通項(xiàng)公式

例1 已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn、滿足Sn=3n+b，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

命題透析：本題主要考查通項(xiàng)an與前n項(xiàng)和Sn之間的關(guān)系，不要忘記對(duì)an=Sn-Sn-1（n≥2）的條件的驗(yàn)證.

答案解析：a1=S1=3+b，當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn-Sn-1=（3n+b）-（3n-1+b）=2·3n-1.當(dāng)b=-1時(shí)，a1適合此等式；當(dāng)b≠-1時(shí)，a1不適合此等式.所以當(dāng)b=-l時(shí)，an=2·3n-11；當(dāng)b≠-1時(shí)，

考點(diǎn)二：等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)與求和

考向：等差、等比數(shù)列的基本運(yùn)算

已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為S3，若S3+3S2=0，則公比q=_________.命題透析：本題主要考查利用方程思想求解等差、等比數(shù)列的基本量.

例3 （2013浙江）在公差為d的等差數(shù)列{an}中，已知a1=10，且a1，2a2+2，5a3成等比數(shù)列.

（Ⅰ）求d，an；

（II）若d<0 ，求 |a1|+|a2|+|a3|+…+|an|.

命題透析：本題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念，等差數(shù)列通項(xiàng)公式、求和公式等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查運(yùn)算求解能力.

答案解析：（I）由題意5a3·a1=（2a2+2）?，即d?-3d-4=0.故d=-l或d=4所以an=-n+11，n∈N*或an=4n+6，n∈N*.

考點(diǎn)三：等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本性質(zhì)

（1）在等差數(shù)列{an}中，若S30=20，S90=80，則S60=____.

（2）等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，若Sn=48，S2n=60，則S3n_____.

命題透析：本題主要考等差、等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì).

答案解析：（1）設(shè)S60=X，又S30，S60-S30，S90-S60成等差數(shù)列，即20，x-20，80-x成等差數(shù)列，則20+80-x=2（x-20），則x=140/3.（2）根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，可得Sn；S2n-Sn；S3n-S2n成等比數(shù)列，即48；60-48；S3n-60成等比數(shù)列，則48（S3n-60）=12?，則S3n=63.

考點(diǎn)四：利用數(shù)列的遞推關(guān)系求通項(xiàng)公式

考向：利用數(shù)列遞推關(guān)系求通項(xiàng)公式

例5 （1）已知數(shù)列Y滿足al=l，an+1=2an+1，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

考點(diǎn)五：非特殊數(shù)列的求和

考向1：利用裂項(xiàng)法求數(shù)列的和

命題透析：本題主要考查利用裂項(xiàng)法求數(shù)列的和.

考向2：利用錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和

例7 已知{an}是等差數(shù)列，其前n項(xiàng)的和為sn，{bn}是等比數(shù)列，且a1=b1=2，a4+b4=21，S4+b4=30.

（I）求數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式；

考點(diǎn)六：數(shù)列的綜合應(yīng)用

考向1：數(shù)列中的存在性問題

已知無窮數(shù)列{an}中，al，a2，…，am是首項(xiàng)為2，公差為-2的等差數(shù)列；am+1，am+2，…，a2m是首項(xiàng)為1/2，公比為1/2的等比數(shù)列（其中m≥3.m∈N*），并對(duì)任意的n∈N*，均有an+2m=an成立.

（I）當(dāng)m=12時(shí)，求a2010；

（Ⅱ）若a52=1/128，試求m的值；

（Ⅲ）判斷是否存在m（m≥3，m∈N*），使得S128m+3≥2014成立？若存在，試求出m的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

命題透析：本題主要考查數(shù)列中的存在性問題的探索思路.

答案解析：（I）當(dāng)m=12時(shí)，由an+2×12=an，得數(shù)列的周期為24，因?yàn)?014=24x83+22，而a22，是等比數(shù)列中的項(xiàng)，所以.

（Ⅱ）設(shè)amtk是第一個(gè)周期中等比數(shù)列中的第k項(xiàng)，則amtk=（1/2）^k.因?yàn)?/128=（1/2）⁷，所以等比數(shù)列中至少有7項(xiàng)，即m≥7，則一個(gè)周期中至少有14項(xiàng)所以a52最多是第三個(gè)周期中的項(xiàng).若a52是第一個(gè)周期中的項(xiàng)，則a52=am+7=1/128，即m=45；若a52是第二個(gè)周期中的項(xiàng)，則a52=a4m+m+7=a5m+7=1/128百，得5m=45.即m=9；若a52是第三個(gè)周期中的項(xiàng)，則a52=a4m+m+7=a5m+7=1/128，得5m=45，即m=9.綜上，m-9，m-15，m=45.

（Ⅲ）因?yàn)?m是此數(shù)列的周期，所以S128m+3表示64個(gè)周期及等差數(shù)列的前三項(xiàng)的和.所以S2m最大時(shí)，S128m+3最大.又因?yàn)樗援?dāng)m=6時(shí)，S2m取得最大值，S128m+3最大值為24=2007，因此，不存在m（m≥3，m∈N*），使得Sl28m+3≥2014成立.

考向2：利用函數(shù)思想解決數(shù)列問題

例9 設(shè)a>o，若且數(shù)列{an}是遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______.

命題透析：本題主要考查數(shù)列的單調(diào)性

答案解析：由數(shù)列{an}是遞增數(shù)列，得解之得2

概率

概率是描述隨機(jī)事件發(fā)生可能性大小的度量.概率和實(shí)際生活有緊密的聯(lián)系，也是高考的重要考點(diǎn)之一.在近幾年的每一份數(shù)學(xué)高考試卷中，至少保持有一道客觀題和一道主觀題，難度中等，且題型相對(duì)連續(xù)、穩(wěn)定，突出考查基本概念和基本公式，同時(shí)考查同學(xué)們的抽象概括、運(yùn)算求解能力.分析近年高考試題可知，本章主要考查的考點(diǎn)、考向、易錯(cuò)點(diǎn)如下表所示：

考點(diǎn)一：隨機(jī)事件與概率

考向：判斷隨機(jī)事件的類型

下列事件：①當(dāng)x是實(shí)數(shù)時(shí)，x-|x|=2；②某班一次數(shù)學(xué)測(cè)試，及格率低于75%；③從分別標(biāo)有0，1，2，…，9這10個(gè)數(shù)字的紙團(tuán)中任取一個(gè)，取出的紙團(tuán)是偶數(shù)；④體育彩票某期的特等號(hào)碼.其中是隨機(jī)事件的是（）.

A.①②③ B.①③④ C.②③④ D.①②④

命題透析：本題主要考查隨機(jī)事件的定義.

答案解析：由隨機(jī)事件的定義知②③④是隨機(jī)事件，故選C.

考點(diǎn)二：等可能事件的概率

考向1：古典概型

（2013山東）某小組共有A、B、C、D、E五位同學(xué)，他們的身高（單位：米）以及體重指標(biāo)（單位：千克，米z）如下表所示：

（I）從該小組身高低于1.80的同學(xué)中任選2人，求選到的2人身高都在1.78以下的概率；

（Ⅱ）從該小組同學(xué)中任選2人，求選到的2人的身高都在1.70以上且體重指標(biāo)都在[18.5，23.9）中的概率.

命題透析：本題主要考查古典概型等基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能.

答案解析：（I）從身高低于1.80的同學(xué)中任選2人，可得到滿足條件的基本事件有（A，B），（A，C），（A，D），（B，C），（B，D），（c，D），共6個(gè).由于每個(gè)人被選到的機(jī)會(huì)均等，因此這些基本事件的出現(xiàn)是等可能的.選到的2人都在1.78以下的目標(biāo)事件只有（A，B），（A，c），（B，c），共3個(gè)，因此選到的2人都在1.78以下的概率為P1=3/6=1/2.

（Ⅱ）從該小組同學(xué)中任選2人，其一切可能的結(jié)果組成的基本事件有（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（B，C），（B，D）（B，E），（C，D），（C，E），（D，E），共10個(gè).由于每個(gè)人被選到的機(jī)會(huì)均等，因此這些基本事件的出現(xiàn)是等可能的.選到的2人都在1.70以上且體重指標(biāo)都在[18.5，23.9）中的目標(biāo)事件只有（c，D），（c，E），（D，E），共3個(gè).因此選到的2人身高都在1.70以上且體重指標(biāo)都在[18.5，23.9）中的概率為p2=130.

考向2：幾何概型

（2012湖北）如圖1，在圓心角為直角的扇形OAB中，分別以O(shè)A，OB為直徑作兩個(gè)半圓.在扇形OAB內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取白陰影部分的概率是（）

命題透析：本題主要考查幾何概型的概率，能正確識(shí)圖是解題關(guān)鍵.

答案解析：令DA=1，扇形OAB為對(duì)稱圖形，設(shè)ACBD圍成的面積為S1，兩個(gè)半圓交叉部分圍成的面積為S2，作對(duì)稱軸OD，則過C點(diǎn)（如圖2）.S2即為以O(shè)A為直徑的半圓面積減

考點(diǎn)三：互斥事件有一個(gè)發(fā)生的概率

考向：互斥事件的概率

一盒中裝有各色球12只，其中5只紅球、4只黑球、2只白球、1只綠球，從中隨機(jī)取出1球，求：

（I）取出一球是紅球或黑球的概率；

（Ⅱ）取出一球是紅球或黑球或白球的概率.

命題透析：本題主要考查互斥事件概率加法公式的應(yīng)用.

答案解析：記事件A1={任取1球?yàn)榧t球{A2={任取1球?yàn)楹谇騷；A3={任取1球?yàn)榘浊騷；A3={任取1球?yàn)榫G球}，則P（A1）=5/12，P（A2）=4/12，P（A3）=2/12 ，P（A4）=1/12.根據(jù)題意知，事件A1，A2，A3，A4彼此互斥，由互斥事件概率加法公式得：

（I）取出一球是紅球或黑球的概率為P（A1+A2）=P（A1）+P（A2）=9/12；

（Ⅱ）取出一球是紅球或黑球或白球的概率為P（A1+A2+A3）=P（A1）+P（A2）+P（A3）=11/12.

考點(diǎn)四：相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率

考向：相互獨(dú)立事件的概率

甲、乙兩人各射擊一次，擊中目標(biāo)的概率分別是2/3和3/4.假設(shè)兩人射擊是否擊中目標(biāo)，相互之間沒有影響；每人每次射擊是否擊中目標(biāo)相互之間也沒有影響.

（I）求甲射擊4次，至少1次未擊中目標(biāo)的概率；

（Ⅱ）求兩人各射擊4次，甲恰好擊中目標(biāo)2次且乙恰好擊中目標(biāo)3次的概率；

、

（Ⅲ）假設(shè)某人連續(xù)2次未擊中目標(biāo)，則停止射擊.問：乙恰好射擊5次后，被中止射擊的概率是多少？

命題透析：本題主要考查排列、組合的實(shí)際應(yīng)用，相互獨(dú)立事件的概率乘法公式.

答案解析：（I）記“甲連續(xù)射擊4次，至少有一次未擊中目標(biāo)”為事件A，，由題意知，射擊4次相當(dāng)于做4次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，故.

（Ⅱ）記“甲射擊4次，恰有2次射中目標(biāo)”為事件A2，“乙射擊4次，恰有3次射中目標(biāo)”為事件B2，則2.

由于甲、乙射擊相互獨(dú)立，故.

（Ⅲ）記“乙恰好射擊5次后被中止射擊”為事件A3“乙第i次射擊末中”為事件D1（i=1，2，3，4，5）.則，且，由于各事件相互獨(dú)立，故P（A3）=P（D5）.

考點(diǎn)五：離散型隨機(jī)變量的分布列、期望與方差

某班組織的數(shù)學(xué)文化節(jié)活動(dòng)中，通過抽獎(jiǎng)產(chǎn)生了5名幸運(yùn)之星.這5名幸運(yùn)之星可獲得A、B兩種獎(jiǎng)品中的一種，并規(guī)定：每個(gè)人通過拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子決定自己最終獲得哪一種獎(jiǎng)品，拋擲點(diǎn)數(shù)小于3的獲得A獎(jiǎng)品，拋擲點(diǎn)數(shù)不小于3的獲得B獎(jiǎng)品.

（I）求這5名幸運(yùn)之星中獲得A獎(jiǎng)品的人數(shù)大于獲得B獎(jiǎng)品的人數(shù)的概率；

（Ⅱ）設(shè)X，Y分別為獲得A、B兩種獎(jiǎng)品的人數(shù)，并記ζ=|X-Y|，求隨機(jī)變量ζ的分布列及數(shù)學(xué)期望

命題透析：本題主要考查離散型隨機(jī)變量的期望與方差的求法.

答案解析：這5名幸運(yùn)之星中，每人獲得A獎(jiǎng)品的概率為，B獎(jiǎng)品的概率為（I）因獲得A獎(jiǎng)品的人數(shù)大于獲得B獎(jiǎng)品的人數(shù)，故獲得A獎(jiǎng)品的人數(shù)可能為3，4，5，