再議二次根式

田載今

一、二次根式

數(shù)學(xué)運(yùn)算中存在著互逆關(guān)系.例如，加法與減法、乘法與除法都互為逆運(yùn)算，平方運(yùn)算同樣也有逆運(yùn)算，即開平方運(yùn)算，當(dāng)我們要計(jì)算一個(gè)正方形的面積時(shí)，需要先測量正方形的邊長.如果邊長為l，則面積S=l²，這是平方運(yùn)算.當(dāng)我們要制作一個(gè)給定面積的正方形時(shí)，需要先求出其邊長.如果給定的面

這些性質(zhì)是二次根式的運(yùn)算與化簡的依據(jù).

同學(xué)們已經(jīng)學(xué)習(xí)了整式和分式，其中涉及了字母及數(shù)的加、減、乘（含乘方）、除四則運(yùn)算.二次根式中有開平方運(yùn)算.含有開方（包括開平方、開立方、開四次方……）運(yùn)算的式子，都屬于根式.表示字母及數(shù)的加、減、乘（含乘方）、除、開方運(yùn)算的式子，統(tǒng)稱為代數(shù)式，整式、分式和根式皆屬于代數(shù)式.

二、二次根式的運(yùn)算與化簡

二次根式的運(yùn)算與化簡不僅出現(xiàn)在單純的代數(shù)式變形之中，而且還與許多實(shí)際問題有關(guān)，

例1 若兩圓的面積之比為12：7，則大圓半徑是小圓半徑的幾倍？

解：設(shè)兩圓的面積分別為12a和7a（a>O）.由圓面積公式S=π²，得兩圓的半徑分別

側(cè)2 物體A從25m高處自由下落著地.物體B從36m高處自由下落著地，求兩物體自由下落過程的時(shí)間差.

討論：本例中用到了二次根式的減法.兩個(gè)二次根式化簡后根號內(nèi)都是2g，后面的運(yùn)算類似于合并同類項(xiàng)，一般地，根號內(nèi)的式子相同的二次根式叫作同類二次根式.二次根式的加減法法則，即指合并同類二次根式，因此，運(yùn)算時(shí)通常先把各式化簡為最簡根式，以便找出同類二次根式，

例3 圖1中正方形ABCD和BEFG的面積分別為m和n，求長方形HFID的面積，

解：長方形HFID的長等于兩個(gè)正方形的中，雖然各二次根式都已是最簡二次根式了，但通?；喆鷶?shù)式時(shí)，要求分母中不含有根式，而此武的分母中有根式.為此。需要將式子作恒等變形，化去分母中的根式，這叫作分母有理化.具體做法為：

例3的結(jié)果表明，長方形HFID的面積等于兩正方形面積之差.這一結(jié)論也能用幾何圖形的平移來證明.如圖2，把正方形BEFC平移到AJKH的位置，電KJ=FE=GF，BJ=A B-AJ=BC-BC=CG，得長方形JBCK與CFIC的面積相等，所以長方形HFID的面積等于長方形HGCD和JBGK的面積之和，即等于正方形ABCD與AJKH的面積之差，其值為m-n.

二次根式與后面要學(xué)習(xí)的勾股定理、一元二次方程和二次函數(shù)等有密切的聯(lián)系，是重要的基礎(chǔ)知識.希望大家學(xué)好它.