無處不在的“轉(zhuǎn)化與化歸”

龍艷文

數(shù)學(xué)的解題過程，就是從未知向已知、從復(fù)雜到簡單的化歸轉(zhuǎn)換過程，這就是充滿無窮魅力的轉(zhuǎn)化與化歸思想.著名數(shù)學(xué)教育家波利亞曾說過，“不斷變換你的問題”，“我們必須一再變化它，重新敘述它、變換它，直到最后成功地找到一些有用的東西為止”，那么如何認識轉(zhuǎn)化與化歸的思想呢？我們通過對下面幾個場景的分析與點評，也許能帶給大家一些啟示.

【場景一】

一天，數(shù)學(xué)家覺得自己已受夠了數(shù)學(xué)，于是他跑到消防隊去宣布他想當消防員.

消防隊長說：“您看上去不錯，可是我得先給您一個測試.”

消防隊長帶數(shù)學(xué)家到消防隊后院小巷，巷子里有一個貨棧，一只消防栓和一卷軟管.

消防隊長問：“假設(shè)貨棧起火，您怎么辦？”

數(shù)學(xué)家回答：“我把消防栓接到軟管上，打開水龍頭，把火澆滅.”

消防隊長說：“完全正確！最后一個問題，假設(shè)您走進小巷，而貨棧沒有起火，您怎么辦？”

數(shù)學(xué)家疑惑地思索了半天，終于答道：“我就把貨棧點著.”

消防隊長大叫起來：“什么？太可怕了！您為什么要把貨棧點著？”

數(shù)學(xué)家回答：“這樣我就把問題轉(zhuǎn)化為一個我已經(jīng)解決過的問題了.”

【點評】上述笑話反映了為研究和解決有關(guān)數(shù)學(xué)問題時通過變換使問題轉(zhuǎn)化的思想，即有現(xiàn)成的方法就用現(xiàn)成的方法來解，沒有現(xiàn)成的方法就轉(zhuǎn)化為一個以前解過的方法來解.轉(zhuǎn)化的基本策略是將復(fù)雜的問題通過變換轉(zhuǎn)化為簡單的問題，將難解的問題通過變換轉(zhuǎn)化為容易求解的問題，將未解決的問題通過變換轉(zhuǎn)化為已解決的問題.

【場景二】

曹沖稱象的故事，其問題解決主要分為兩步：

第一步：把大象的質(zhì)量（很難解決）轉(zhuǎn)化為在石頭的質(zhì)量（容易解決）；

第二步：通過解決石頭的質(zhì)量來解決大象的質(zhì)量，如圖1所示.

曹沖稱象的解決過程正是體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中轉(zhuǎn)化的思想和化整為零的方法，如要解決一塊不規(guī)則的橡皮泥的體積，可將它制成長方體來求，等等，都體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想.數(shù)學(xué)問題的解決，總離不開轉(zhuǎn)化與化歸，如未知向已知的轉(zhuǎn)化、新知識向舊知識的轉(zhuǎn)化、復(fù)雜問題向簡單問題的轉(zhuǎn)化、不同數(shù)學(xué)問題之間的互相轉(zhuǎn)化、實際問題向數(shù)學(xué)問題的轉(zhuǎn)化等，各種變換、具體解題方法都是轉(zhuǎn)化的手段，轉(zhuǎn)化的思想方法滲透到所有的數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容和解題過程中，數(shù)學(xué)問題的解答離不開轉(zhuǎn)化與化歸，它既是一種數(shù)學(xué)思想又是一種數(shù)學(xué)能力.

【場景三】

生：我們數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中，有哪些地方用到了轉(zhuǎn)化與化歸思想？

師：其實我們對數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)從小學(xué)一年級就開始滲透轉(zhuǎn)化與化歸的思想，如小學(xué)先學(xué)加法運算，然后將減的運算轉(zhuǎn)化為加的運算，同樣除的運算轉(zhuǎn)化為乘的運算.高中數(shù)學(xué)中函數(shù)、方程、不等式的轉(zhuǎn)化、數(shù)與形的轉(zhuǎn)化、三角函數(shù)中公式間的轉(zhuǎn)化、角與角之間的轉(zhuǎn)化等等.

【點評】數(shù)學(xué)是客觀世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系的反映，數(shù)學(xué)知識體系中充滿了轉(zhuǎn)化，數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化比比皆是.通過符號法則，有理數(shù)四則運算可轉(zhuǎn)化為算術(shù)運算；解方程就是應(yīng)用消元、降次方法的一種轉(zhuǎn)化；平面圖形經(jīng)過延拓、折疊構(gòu)成空間形體，而空間問題通常需要轉(zhuǎn)化成平面問題來加以研究解決；高維向低維轉(zhuǎn)化，多元向一元轉(zhuǎn)化，高次向低次轉(zhuǎn)化，函數(shù)與方程的轉(zhuǎn)化，無限向有限的轉(zhuǎn)化等，都是轉(zhuǎn)化思想的體現(xiàn).

【場景四】

分析：α是未知角，而α，α+β為已知角，按照轉(zhuǎn)化和化歸的基本原則，將未知問題轉(zhuǎn)化為已知問題，即利用sinβ=sin[（α+β）a]將求sinβ的問題轉(zhuǎn)化為求α，α+β的三角函數(shù)值.

【點評】三角變換問題的解決中，我們需要觀察角、函數(shù)名之間的差異，運用相關(guān)公式，找出差異之間的內(nèi)在聯(lián)系，選擇恰當?shù)墓剑偈共町惖霓D(zhuǎn)化.如從函數(shù)名稱的角度采取切化弦（有時也可考慮“弦化切”），異名化同名（使函數(shù)的名稱盡量統(tǒng)一）的策略；從角的角度抓住角之間的規(guī)律（如互余、互補、和倍關(guān)系等等）而采取異角化同角的策略.

【轉(zhuǎn)化與化歸的基本原則】（1）熟悉化原則：將陌生的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題，以利于我們運用熟知的知識、經(jīng)驗和問題來解決；（2）簡單化原則：將復(fù)雜的問題化歸為簡單問題，通過對簡單問題的解決，達到解決復(fù)雜問題的目的，或獲得某種解題的啟示和依據(jù)；（3）和諧化原則：化歸問題的條件或結(jié)論，使其表現(xiàn)形式更符合數(shù)與形內(nèi)部所表示的和諧的形式，或者轉(zhuǎn)化命題，使其推演有利于運用某種數(shù)學(xué)方法或使其方法符合人們的思維規(guī)律；（4）直觀化原則：將比較抽象的問題轉(zhuǎn)化為比較直觀的問題來解決；（5）正難則反原則：當問題正面討論遇到困難時，可考慮問題的反面，設(shè)法從問題的反面去探求，使問題獲解.

綜上所述，轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法并非數(shù)學(xué)獨有，當你面對問題，思維受阻時，想要尋求簡單方法，如利用某種轉(zhuǎn)化使問題得到解決，這種轉(zhuǎn)化是有效的，同時也是成功的思維方式.