大學(xué)數(shù)學(xué)在其他學(xué)科領(lǐng)域中的應(yīng)用

林洪偉

大學(xué)數(shù)學(xué)在其他學(xué)科領(lǐng)域中的應(yīng)用

林洪偉

本文介紹大學(xué)數(shù)學(xué)在初等數(shù)學(xué)、物理化學(xué)、生物醫(yī)學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、計算機(jī)科學(xué)等不同學(xué)科領(lǐng)域的具體應(yīng)用，以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)大學(xué)數(shù)學(xué)的興趣，培養(yǎng)大學(xué)生利用大學(xué)數(shù)學(xué)知識分析本專業(yè)相關(guān)問題，從而提高自己解決專業(yè)問題的能力。

大學(xué)數(shù)學(xué)；高等數(shù)學(xué)；矩陣；離散數(shù)學(xué)；概率論

大學(xué)數(shù)學(xué)是高等教育的一個重要組成部分，這是因?yàn)椴徽撌菙?shù)學(xué)專業(yè)，還是非數(shù)學(xué)專業(yè)中的天文學(xué)、力學(xué)、物理學(xué)、化學(xué)、生物學(xué)、計算機(jī)、通信等專業(yè)，甚至人文類專業(yè)都與大學(xué)數(shù)學(xué)有著密切的聯(lián)系，大學(xué)數(shù)學(xué)日趨成為高等院校中幾乎所有專業(yè)都要開設(shè)的課程。雖然大學(xué)數(shù)學(xué)是各類學(xué)科的基礎(chǔ)和工具，但是大多數(shù)學(xué)生對學(xué)習(xí)大學(xué)數(shù)學(xué)的目的不明確，不理解為什么要學(xué)習(xí)大學(xué)數(shù)學(xué)，不知道大學(xué)數(shù)學(xué)在自己專業(yè)是否有具體的應(yīng)用，從而致使學(xué)生難以達(dá)到大學(xué)數(shù)學(xué)教育的基本要求。要使大學(xué)生對大學(xué)數(shù)學(xué)有正確的認(rèn)識和端正的學(xué)習(xí)態(tài)度，就必須讓他們清楚認(rèn)識到大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要性，特別是在自己所學(xué)專業(yè)中的作用，只有這樣才能提高大學(xué)生對大學(xué)數(shù)學(xué)的認(rèn)識，激發(fā)大學(xué)生學(xué)習(xí)大學(xué)數(shù)學(xué)的興趣，培養(yǎng)大學(xué)生運(yùn)用所學(xué)的大學(xué)數(shù)學(xué)知識、方法去觀察、分析實(shí)際問題，從而提高解決實(shí)際問題的能力。本文主要介紹大學(xué)數(shù)學(xué)在某些相關(guān)學(xué)科領(lǐng)域中的一些具體應(yīng)用。

一、在初等數(shù)學(xué)教育中的應(yīng)用

大學(xué)數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)有著密切的聯(lián)系，大學(xué)數(shù)學(xué)是初等數(shù)學(xué)的延伸和深化,站在大學(xué)數(shù)學(xué)的角度看待某些初等數(shù)學(xué)問題將會使問題的理解變得更深刻和全面。①因此，對數(shù)學(xué)專業(yè)的師范類或有志從事中學(xué)數(shù)學(xué)教育的大學(xué)生來說，大學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)將為后面從事中學(xué)數(shù)學(xué)教育提供一定的幫助，在強(qiáng)調(diào)大學(xué)數(shù)學(xué)作用時，可以從以下幾方面敘述：

(1)圓的面積公式或者圓周率的由來，從而引入極限的概念；

(2)有特殊曲線的斜率問題到一般曲線的斜率，引入導(dǎo)數(shù)的概念，曲線在某點(diǎn)處的斜率實(shí)質(zhì)為該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)；

(3)中學(xué)涉及不等式的證明、函數(shù)單調(diào)性的判斷可以利用導(dǎo)數(shù)的知識；

(4)中學(xué)很多實(shí)際應(yīng)用問題可以歸結(jié)為函數(shù)求極值問題，問題解在導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)中選取。

(5)中學(xué)有很多平面圖形求面積、立體圖形求體積問題，規(guī)則圖形很容易處理，但是對于曲邊梯形面積、曲頂柱體體積問題在分割、求和、取極限過程中的以直代曲、以規(guī)則代替不規(guī)則的思想方法正是精確與不精確、有限與無限辯證關(guān)系的一種體現(xiàn)，導(dǎo)致定積分概念的產(chǎn)生。

大學(xué)數(shù)學(xué)的方法可以使我們居高臨下地去面對初等問題，確定解題思路，幫助我們剖析某些問題的實(shí)質(zhì)，尋求簡捷的求解方法。中學(xué)數(shù)學(xué)中常涉及的大學(xué)數(shù)學(xué)知識有極限、導(dǎo)數(shù)、微分、定積分、行列式、向量、概率等問題。

二、在物理學(xué)、化學(xué)中的應(yīng)用

中學(xué)時期數(shù)理化三個學(xué)科聯(lián)系密切，進(jìn)入大學(xué)以后，物理、化學(xué)相關(guān)專業(yè)的學(xué)生更應(yīng)該清楚大學(xué)數(shù)學(xué)作為工具學(xué)科，對物理、化學(xué)的發(fā)展和研究起到很大的推動作用。微積分是大學(xué)數(shù)學(xué)的核心，它們卻是由物理學(xué)的奠基人牛頓在研究經(jīng)典力學(xué)的過程中創(chuàng)立的，化學(xué)是一門關(guān)于物質(zhì)存在和轉(zhuǎn)化的科學(xué)，大學(xué)數(shù)學(xué)在化學(xué)中的應(yīng)用同樣相當(dāng)廣泛②，主要體現(xiàn)在以下幾個方面：

判別式模型為了得到正確的分類邊界，從非單一樣本的數(shù)據(jù)中抽取出共有的特征。判別式句法分析為了避開聯(lián)合概率模型中所要求的獨(dú)立性假設(shè)，分析方法中采用條件概率模型。其代表模型是賓西法尼亞大學(xué)的最大生成樹句法分析器，這是真正意義上的依存句法分析器。但是，非投影問題對系統(tǒng)復(fù)雜度是一個很大的挑戰(zhàn)，判別式依存句法的優(yōu)勢在于對非投影問題的處理分析，該方法更加注重算法復(fù)雜度的降低。判別式的句法分析方法和生成式的分析方法一樣，都是進(jìn)行整個句子內(nèi)的全局搜索，所以算法復(fù)雜度是必須要考慮的問題。判別式方法的一個最大缺陷是它的訓(xùn)練方法繁瑣，需要重復(fù)分析訓(xùn)練集來迭代參數(shù)。

(1)物理學(xué)中，很多物理量，例如力、速度、加速度、場強(qiáng)等都是既有大小又有方向的量，稱為向量（或矢量）。當(dāng)然也有物理量涉及向量的運(yùn)算，例如力矩為徑向矢量與作用力的數(shù)量積；

(2)微分學(xué)是高等數(shù)學(xué)的核心之一，在物理學(xué)中具有重要應(yīng)用，導(dǎo)數(shù)概念就來源于變直線運(yùn)動的瞬時速度，實(shí)質(zhì)為增量比的極限。除了瞬時速度，物理學(xué)中還有很多量都具有這樣的特征，例如加速度、角速度、線密度、電流強(qiáng)度等；

(3)高等數(shù)學(xué)另一核心為積分學(xué)，在同濟(jì)版的《高等數(shù)學(xué)》中，定積分概念的引入利用了物理學(xué)中變直線運(yùn)動，同樣的，重積分、曲線積分、曲面積分大多來源于物理學(xué)中具體物理量的計算。總而言之，積分學(xué)在物理學(xué)中的應(yīng)用非常廣泛，例如變直線做功、不均勻構(gòu)件的質(zhì)量、不均勻物體的質(zhì)心、物體的引力、磁感應(yīng)強(qiáng)度、磁通量等。

(4)高等數(shù)學(xué)在化學(xué)中的應(yīng)用也相當(dāng)廣泛，特別對于近代化學(xué)，高等數(shù)學(xué)顯現(xiàn)出其特別的基礎(chǔ)作用，從定量分析到量子化學(xué)，從數(shù)量分析到計量化學(xué)，高等數(shù)學(xué)在化學(xué)中的作用日益增強(qiáng)，所涉及的數(shù)學(xué)知識也越來越深奧②，例如基元反應(yīng)的反應(yīng)速率計算、利用高等數(shù)學(xué)方法可以證明化學(xué)熱力學(xué)的結(jié)論和推導(dǎo)相關(guān)公式。③

三、大學(xué)數(shù)學(xué)在生物醫(yī)學(xué)上的應(yīng)用

隨著近代生物學(xué)的高速發(fā)展，數(shù)學(xué)在生命科學(xué)的作用愈發(fā)突出，無論是微觀方向的發(fā)展，還是宏觀方向的研究，都必須有精密的數(shù)學(xué)計算作為推動其前進(jìn)的不懈動力。④生物數(shù)學(xué)就是在此基礎(chǔ)上誕生的以數(shù)學(xué)方法研究和解決生物學(xué)問題的一門新興學(xué)科。比較經(jīng)典的生物數(shù)學(xué)模型有：意大利生物學(xué)家D＇Ancona提出的著名的地中海鯊魚問題，數(shù)學(xué)家Volterra運(yùn)用微分方程理論成功地解決了這個問題；描述種群增長最簡單的模型是Malthus方程，以及改進(jìn)的費(fèi)爾許爾斯特-珀?duì)柗匠蹋↙ogistic方程）；L.A.Zadeh提出的模糊集合概念，模糊集合適合描述生物學(xué)中許多“軟”的模糊現(xiàn)象，為生命現(xiàn)象的數(shù)量化提供了新的數(shù)學(xué)工具等等。

現(xiàn)代醫(yī)學(xué)發(fā)展的總體趨勢是從定性研究向定量研究的轉(zhuǎn)變，能夠更有效地探索醫(yī)學(xué)科學(xué)領(lǐng)域中物質(zhì)的量與量關(guān)系的規(guī)律性，推動醫(yī)學(xué)科學(xué)突破狹隘經(jīng)驗(yàn)的束縛，向著定量、精確、可計算、可預(yù)測、可控制的方向發(fā)展，而這些都需要利用數(shù)學(xué)的理論知識探索其數(shù)量規(guī)律。例如：常微分方程可以應(yīng)用到臨床醫(yī)學(xué)的定量分析和群體醫(yī)學(xué)的動態(tài)分析；生物統(tǒng)計學(xué)、概率論可以為藥物使用、人口統(tǒng)計與流行病、公共衛(wèi)生管理等作出決策；數(shù)學(xué)模型可以為臨床醫(yī)學(xué)、預(yù)防醫(yī)學(xué)等建立醫(yī)學(xué)數(shù)學(xué)模型；得到可供人們作出分析、判斷、預(yù)測和決策的結(jié)果；另外，臨床醫(yī)療和醫(yī)學(xué)科研所涉及的各類醫(yī)學(xué)儀器都離不開數(shù)學(xué)和計算機(jī)的支持。⑤

四、大學(xué)數(shù)學(xué)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用

大學(xué)數(shù)學(xué)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用由來已久，從當(dāng)今高校開設(shè)的各類經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)課程可以看出大學(xué)數(shù)學(xué)作為基礎(chǔ)學(xué)科在經(jīng)濟(jì)學(xué)各學(xué)科的發(fā)展中起著至關(guān)重要的作用。例如連續(xù)復(fù)利的計算借助了大學(xué)數(shù)學(xué)方法將經(jīng)濟(jì)學(xué)中的離散變量進(jìn)行連續(xù)化處理，最終得出連續(xù)復(fù)利的實(shí)質(zhì)為一數(shù)列的極限；經(jīng)濟(jì)學(xué)中很多變化率問題，如增長率、邊際問題、彈性問題等都涉及導(dǎo)數(shù)的計算；積分學(xué)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的一個經(jīng)典應(yīng)用就是由邊際函數(shù)求總函數(shù)，例如由邊際成本求總成本；利用微分方程可以分析商品的市場價格與需求量(供給量)之間的函數(shù)關(guān)系,預(yù)測可再生資源的產(chǎn)量、預(yù)測商品的銷售量、分析關(guān)于國民收入、儲蓄與投資的關(guān)系問題等⑥；銀行吸收存款后涉及準(zhǔn)備金計算和放款總額需要利用級數(shù)來進(jìn)行計算等。

五、大學(xué)數(shù)學(xué)在計算機(jī)科學(xué)中的應(yīng)用

隨著計算機(jī)領(lǐng)域科學(xué)的飛速發(fā)展，我們已身處在又一次的科技革命之中，移動通信、可穿戴設(shè)備、物聯(lián)網(wǎng)概念的提出和實(shí)施改變著人們的生活方式，而現(xiàn)代計算機(jī)發(fā)展是隨著新的數(shù)學(xué)問題而產(chǎn)生的，大學(xué)數(shù)學(xué)思想在其中發(fā)揮著非常重要的作用，大學(xué)數(shù)學(xué)課程都對計算機(jī)科學(xué)發(fā)展產(chǎn)生重要的影響。

矩陣論在很多領(lǐng)域獲得了廣泛的應(yīng)用⑦，而矩陣分解在機(jī)器學(xué)習(xí)和模式識別的應(yīng)用中,矩陣的低秩逼近可以大大降低數(shù)據(jù)特征的維數(shù),節(jié)省存儲和計算資源。另外，稀疏矩陣在國家領(lǐng)空、海域監(jiān)測中具有重要的應(yīng)用。

離散數(shù)學(xué)是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個重要分支,在數(shù)學(xué)中有著重要的應(yīng)用,同時也是計算機(jī)科學(xué)中基礎(chǔ)理論的重要課程,對計算機(jī)科學(xué)的研究和計算機(jī)技術(shù)的發(fā)展有著重大的意義。例如：由離散數(shù)學(xué)的數(shù)理邏輯中的命題與邏輯演算發(fā)展而來的數(shù)字邏輯被廣泛應(yīng)用到了計算機(jī)科學(xué)中,比較突出地表現(xiàn)在計算機(jī)程序設(shè)計中尤其是硬件設(shè)計中；數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)中的圖和樹這兩個重要概念就是由離散數(shù)學(xué)中圖論理論引出來的，關(guān)系數(shù)據(jù)模型是以關(guān)系數(shù)學(xué)中的笛卡兒積為理論基礎(chǔ)的。

組合數(shù)學(xué)是研究離散對象的數(shù)學(xué)，與計算機(jī)所處理的對象是一致的，組合數(shù)學(xué)在計算機(jī)方面的應(yīng)用極其廣泛，例如Ramsey數(shù)在信息檢索、分組交換網(wǎng)設(shè)計等計算機(jī)科學(xué)領(lǐng)域中的重要應(yīng)用。

大學(xué)數(shù)學(xué)課程除了在上述五個大的方面有重要應(yīng)用之外，還滲透到各行各業(yè)的方方面面中，例如經(jīng)濟(jì)管理、軍事戰(zhàn)爭、工程設(shè)計等等，因此如果沒有大學(xué)數(shù)學(xué)的發(fā)展，那么人類社會很多方面都難以進(jìn)步和發(fā)展。愛因斯坦曾說，熱愛是最好的老師。希望大學(xué)生在充分認(rèn)識到大學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用的廣泛性及重要性同時，能夠熱愛和學(xué)好大學(xué)數(shù)學(xué)，把自己專業(yè)涉及的問題歸納為數(shù)學(xué)問題，進(jìn)而有效地解決問題。

引文注釋

①彭小林，林廣群.高等數(shù)學(xué)在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用[J].西藏教育，2011(11)：26-27.

②李玲.高等數(shù)學(xué)在不同學(xué)科領(lǐng)域中的應(yīng)用[J].四川文理學(xué)院學(xué)報，2011(21)：149-151.

③路慶華，張坤玲.高等數(shù)學(xué)在化學(xué)熱力學(xué)中的應(yīng)用[J].石家莊職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報，2015 (27)：62-65.

④廖祥,秦晉,劉清成.數(shù)學(xué)在生物學(xué)中的應(yīng)用[J].科技向?qū)В?011(7)：26.

⑤安建平.淺談高等數(shù)學(xué)在醫(yī)學(xué)中的應(yīng)用[J].數(shù)理醫(yī)藥學(xué)雜志,2000(2).

⑥許玲.論高等數(shù)學(xué)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的作用[J].高等數(shù)學(xué)，2012(4)：55-55.

⑦HubertLJ,Meulman J J,Heiser W J.Two purposes for matrix factorization.A historical appraisal.SIAM Review,2000（42）：68～82

(作者單位：金陵科技學(xué)院)

10.16653/j.cnki.32-1034/f.2016.24.048

國家自然科學(xué)基金（編號：11161001,61402350）；金陵科技學(xué)院科研基金（編號：jit-n-201309,jit-b-201314）]