“找次品”中的推理路徑

●劉重慶

“找次品”中的推理路徑

●劉重慶

《數(shù)學(xué)廣角——找次品》是人教版五年級下冊的教學(xué)內(nèi)容，正值學(xué)生思維方式由具體形象向抽象邏輯過渡的關(guān)鍵期。教學(xué)中為了有效提高學(xué)生的推理能力，實現(xiàn)學(xué)生思維方式的轉(zhuǎn)變，筆者做了以下思考與嘗試。

一、解讀教材，悟推理之定位

數(shù)學(xué)廣角的內(nèi)容大多承載著數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的任務(wù)。不認(rèn)真解讀，很容易因為學(xué)生理解起來有難度而上成培優(yōu)課。《找次品》的教學(xué)目標(biāo)是讓學(xué)生通過觀察、猜測、實驗、推理等活動，找出用天平找次品的“最優(yōu)化”方案。

與實驗教材不同，編者將原來的“5”改為“3”，主要目的是讓學(xué)生從最簡單的問題入手，初步理解“找次品”的含義，夯實找次品的基本推理過程。推理大前提：“待測物品應(yīng)該一分為三——即天平左、天平右、天平外”。不同小前提得到不同結(jié)論：“如果天平平衡，那么天平外的那一瓶是次品；如果天平不平衡，那么輕的那一瓶是次品。”也就是說，“待測物品為3，只需稱1次”，為后面推理更多待測物品提供數(shù)據(jù)支持。

二、精心設(shè)計，破推理之難點

推理教學(xué)的難點在于幫助學(xué)生找出一個清晰的思路和推理范式，這樣無論前提怎么變化，學(xué)生都可以“以不變應(yīng)萬變”，頭腦清晰地做出正確判斷。觀察、猜想、實驗驗證是推理的常見思路。

教學(xué)中，筆者創(chuàng)設(shè)問題情境：3瓶鈣片中有一瓶少了2片（次品），用沒有砝碼的天平稱，至少需要幾次才能找出那瓶次品？學(xué)生大膽猜想，有學(xué)生質(zhì)疑：沒有砝碼怎么稱量？有的學(xué)生說，可以找出，但至少要稱兩次；還有的學(xué)生說一次就可以。這時筆者讓學(xué)生拿出事先準(zhǔn)備好的模擬天平，動手操作，驗證自己的猜想。學(xué)生在多次操作和相互討論后發(fā)現(xiàn)：用天平稱時，不管怎么樣，待測物品都分為了3份，左右托盤各放一瓶，如果平衡，次品在天平外；如果不平衡，次品在較輕的那一端。通過一次稱量操作就可以找出三瓶鈣片中的一瓶次品。筆者讓學(xué)生將這一重要結(jié)論先用文字記錄下來，考慮到純文字表述不利于交流溝通，筆者又讓學(xué)生用圖示輔以文字說明的方式再次提煉找次品的思維過程。

至此從3個物品中找次品的推理過程教學(xué)告一段落。借助擺一擺、說一說、寫一寫、畫一畫，引導(dǎo)學(xué)生的思維由直觀向抽象轉(zhuǎn)化，夯實好基于大前提，由小前提得到結(jié)論，這一推理的基本模式，讓學(xué)生從中獲得了科學(xué)思維方式的訓(xùn)練，為后續(xù)從較多物品中找次品的教學(xué)奠定了良好的基礎(chǔ)。

三、關(guān)注學(xué)生，重推理之延續(xù)

當(dāng)數(shù)據(jù)變大的時候，找到次品的過程就不是單一的推理過程，而是需要學(xué)生完成一次三段論推理后，繼續(xù)分，繼續(xù)稱，繼續(xù)觀察，繼續(xù)推理，直到找到次品，然后通過對多種方案的對比，尋找到最優(yōu)方案。

“如果數(shù)據(jù)大一點，是8個物品呢，至少幾次能順利地找出次品呢？”以此為切入點，筆者引導(dǎo)學(xué)生分三步進(jìn)行深入探究。第一步——猜測中，覓“題眼”，激發(fā)學(xué)生參與驗證的興趣。當(dāng)學(xué)生給出猜測2次、3次或4次時，筆者引導(dǎo)學(xué)生抓住題眼——“至少”，則是在保證一定能找出次品的各種方法中，稱量次數(shù)最少的那種方案。第二步——活動中，找“方案”，為更復(fù)雜的推理提供腳手架。學(xué)生討論從8個物品中找次品的時候，提出（4，4），（3，3，2），（2，2，4），（1，1，6）四種方案，教師要求學(xué)生找到具體的方案，并簡要記錄，完成表格。學(xué)生在討論、記錄中會發(fā)現(xiàn)不同的分法需要稱量的次數(shù)是不一樣的。第三步——對比中，尋“最優(yōu)”，讓學(xué)生感受自我完成推理的成功感。當(dāng)學(xué)生將四種不同方案呈現(xiàn)在表格中后，筆者引導(dǎo)學(xué)生將不同方案進(jìn)行對比。第一次對比方案一（4，4）和方案二（3，3，2），學(xué)生發(fā)現(xiàn)：將待測物品分成3份，把天平左、天平右、天平外三個位置都利用起來找的次數(shù)少。這也是推理的大前提。第二次對比方案二（3，3，2）、方案三（2，2，4）和方案四（1，1，6），把待測物品分3份，天平左右數(shù)量一樣，其余的在天平外，在這個大前提下，根據(jù)觀察天平是否平衡——兩個不同的小前提，得到不同的結(jié)論。即第一次稱完后，方案二（3，3，2）最不利的情況是次品需要在3個里找，而方案三（2、2、4）、方案四（1，1，6）稱一次后，最不利的情況分別是次品在4個、6個里再找，在3個里找肯定比在4、6個里找容易，雖然都分成了3份，但還得看怎樣分。方案一（4，4）第一次稱完后，還是需要在余下的4個里找。如此對比，讓學(xué)生體會到“要想找的次數(shù)少，需要把待測物品分成3份，每份盡量平均分”的本質(zhì)：第一次稱完后，確定次品的范圍越小，稱的次數(shù)也就越少。

“9個物品怎樣分，找次品的次數(shù)最少？”學(xué)生自主探究得出初步結(jié)論后，筆者讓學(xué)生再用10個、11個去驗證，得出:把待測物體盡可能平均分成3份，稱的次數(shù)最少。那么這種方法在待測物品的數(shù)量更大時是否也成立呢？學(xué)生繼續(xù)驗證27個、81個……當(dāng)面臨數(shù)量更大的情形時，學(xué)生應(yīng)用最優(yōu)思路解決問題，發(fā)現(xiàn)81（27，27，27）——27（9，9，9）——9（3，3，3）——3（1，1，1）之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系，感悟到最基礎(chǔ)的3（1，1，1）的推理模型的重要性，更體會了從簡單到復(fù)雜，一步步推理成功帶來的成就感和愉悅感。

（作者單位：武漢市常青實驗小學(xué)）