任意采樣頻率轉(zhuǎn)換濾波器的設(shè)計(jì)與實(shí)現(xiàn)*

何健標(biāo)

(深圳職業(yè)技術(shù)學(xué)院電信學(xué)院通信系　深圳　518055)

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任意采樣頻率轉(zhuǎn)換濾波器的設(shè)計(jì)與實(shí)現(xiàn)*

何健標(biāo)

(深圳職業(yè)技術(shù)學(xué)院電信學(xué)院通信系深圳518055)

摘要提出了一種可以實(shí)現(xiàn)任意數(shù)字信號采樣頻率轉(zhuǎn)換的數(shù)字內(nèi)插濾波器設(shè)計(jì)方法。論文從轉(zhuǎn)換濾波器的頻域響應(yīng)要求出發(fā)，設(shè)計(jì)等波紋內(nèi)整數(shù)插濾波器作為原型，通過原型濾波器的時(shí)域插值和卷積得到任意采樣頻率轉(zhuǎn)換濾波器。原型濾波器和時(shí)域插值濾波器可以精確控制采樣頻率轉(zhuǎn)換濾波器的頻率響應(yīng)，是理想濾波器的最佳一致逼近，在各種相同響應(yīng)時(shí)間的濾波器中性能最優(yōu)。

關(guān)鍵詞任意頻率轉(zhuǎn)換; 數(shù)字內(nèi)插; 等波紋奈奎斯特濾波器; Sinc濾波器

Design and Implementation of Interpolation Filter for Arbitrary Sampling Rate Conversion

HE Jianbiao

(Department of Communication, Shenzhen Polytechnic, Shenzhen518055)

AbstractA method is presented to implement arbitrary digital signal sampling rate conversion filter. According to design requirement of frequency response, this method uses equiripple nyquist filter as prototype filter, and is obtained by time-domain interpolation and convolution. The prototype filter and time-domain interpolation filter endow the ability to accurately control its frequency response under various circumstances. And the arbitrary sampling rate conversion filter provides not only the best performance among all kinds of filters with the same response time, but also the best Chebyshev approximation of ideal filter.

Key Wordsarbitrary sampling rate conversion, digital interpolation, equiripple nyquist filter, Sinc filter

Class NumberTP391

1引言

在數(shù)字信號處理中不同采樣率的信號處理模塊需要進(jìn)行信號采樣頻率轉(zhuǎn)換，任意頻率轉(zhuǎn)換可以通過數(shù)字內(nèi)插濾波器實(shí)現(xiàn)，該數(shù)字濾波器模擬實(shí)現(xiàn)信號的重采樣過程，在此過程中需要抑制原信號頻率以及諧波上的鏡像。

任意采樣頻率轉(zhuǎn)換濾波器的實(shí)現(xiàn)基本都采用Fallow結(jié)構(gòu)[1]、Gardner和Vesma分別采用多項(xiàng)式[2~3]和多分段函數(shù)[4]來逼近理想濾波器的時(shí)域沖激響應(yīng)。由于時(shí)域沖激響應(yīng)的截?cái)?，上述方法都無法控制濾波器實(shí)際頻響和理想濾波器頻響的最大誤差。為獲得對理想頻響的最佳一致逼近，采用窮舉搜索的方法尋找使得濾波器頻響最大誤差最小化的最佳系數(shù)[5]，但是在濾波器的系數(shù)較多或是精度要求較高時(shí)，窮舉搜索耗時(shí)過長并不適用。宮豐奎等[6]在文獻(xiàn)[4]的基礎(chǔ)上推導(dǎo)出一組經(jīng)驗(yàn)系數(shù)可以無需搜索而得到性能較好的濾波器，但如果該濾波器無法滿足設(shè)計(jì)要求，文獻(xiàn)[6]并沒有提出進(jìn)一步改善濾波器性能的方法。本文跳出從時(shí)域逼近理想濾波器的傳統(tǒng)思路，以可實(shí)現(xiàn)的等波紋奈奎斯特FIR濾波器為原型，通過時(shí)域插值和時(shí)域卷積獲得任意采樣頻率轉(zhuǎn)換濾波器的時(shí)域沖激響應(yīng)，該濾波器具有頻率響應(yīng)精確可控的優(yōu)點(diǎn)，可根據(jù)設(shè)計(jì)要求靈活調(diào)整參數(shù)以適應(yīng)各種不同的應(yīng)用場合。

2模型

內(nèi)插濾波器的信號處理過程如圖1：輸入信號X(i)的采樣率為1/TI，經(jīng)過內(nèi)插濾波器后輸出信號Y(n)的采樣率變?yōu)?/TO。傳統(tǒng)的模擬信號處理過程是先將輸入序列X(i)經(jīng)過數(shù)模轉(zhuǎn)換變成模擬信號，再通過模擬濾波器的內(nèi)插慮除信號的鏡像，最后經(jīng)過頻率為1/TO的二次采樣得到輸出信號Y(n)。為了在數(shù)字域更好地模擬上述過程實(shí)現(xiàn)采樣率的轉(zhuǎn)變，內(nèi)插濾波器應(yīng)該和模擬濾波器一樣希望具有更大的阻帶衰減，更小的通帶紋波和符號間串?dāng)_。

圖1　內(nèi)插濾波器的等效模型

內(nèi)插濾波器的設(shè)計(jì)要求如下：對于碼元周期為TI的輸入序列X(i)設(shè)計(jì)一個(gè)阻帶衰減不低于γdB，通帶紋波不大于δp的無符號串?dāng)_濾波器h(t)，使信號通過該濾波器后輸出序列Y(n)的采樣率變?yōu)?/TO，即：

Y(n)=Y(nTO)=∫X(τ)×h(nTO-τ)dτ

(1)

3算法

任意采樣頻率轉(zhuǎn)換濾波器與傳統(tǒng)內(nèi)插濾波器最大的不同在于采用性能出色的FIR濾波器作為原型濾波器。

原型濾波器對輸入序列而言是一個(gè)N(奇數(shù))階線性相位FIR插值濾波器，其內(nèi)插因子為M，響應(yīng)時(shí)間為L·TI，為便于電路實(shí)現(xiàn)規(guī)定M和L必須為2的正整數(shù)冪，則：

(2)

為避免原型濾波器產(chǎn)生符號間的干擾，應(yīng)采用半帶或是升余弦等奈奎斯特濾波器；若要使原型濾波器的抽頭最少，等波紋濾波器是最佳選擇[7]，Samueli對奈奎斯特濾波器的特性進(jìn)行了詳細(xì)分析[8]。根據(jù)分析信號帶寬B，通帶紋波δp和阻帶衰減γ(dB)的等波紋Nyquist濾波器設(shè)計(jì)過程如下：

令L=2，計(jì)算通帶截止頻率ωp，阻帶頻率ωs和阻帶紋波δs

(3)

N階(N=L·M+1)線性相位Nyquist濾波器其頻率響應(yīng)為

(4)

其中Z為所有M的倍數(shù)的集合[8]。設(shè)計(jì)等波紋Nyquist濾波器就是求解(M-1)L/2個(gè)非零系數(shù)an，使得H1(ejω)是對理想濾波器頻率響應(yīng)的最佳一致逼近。

等波紋濾波器至少應(yīng)該有ML/2+1個(gè)頻率極值點(diǎn)[7]，而H1(ejω)在阻帶內(nèi)至少有(M-1)L/2個(gè)頻率極值點(diǎn)[8]，由此可得到(M-1)L/2個(gè)線性方程，再采用Remez交換算法[7]可以推導(dǎo)出(M-1)L/2個(gè)極值點(diǎn)，并進(jìn)一步求解出an和δ1

如果δ1≤δs，則H1(ejω)是等波紋濾波器的頻響，h1(t)=IDFT[H1(ejω)]是其時(shí)域沖激響應(yīng)；如果δ1≥δs，將L增大一倍(L=L·2)重新計(jì)算濾波器頻率響應(yīng)，直到重新計(jì)算的δ1滿足δ1≤δs為止。

等波紋Nyquist濾波器在設(shè)計(jì)中只對阻帶作等波紋逼近，可精確控制阻帶紋波；對于通帶紋波則根據(jù)Nyquist濾波器的頻響經(jīng)過周期延拓是一直線的特點(diǎn)，具有以下約束關(guān)系：

δpass≤(M-1)δstop

(5)

設(shè)計(jì)時(shí)域插值FIR濾波器H3(ejω)(圖3(c))。H3(ejω)也是一個(gè)等波紋Nyquist濾波器，其內(nèi)插因子M3=M/M2，該濾波器對應(yīng)的階數(shù)是N3=L·M3+1，其頻率響應(yīng)的阻帶頻率是ωs=2π·M2÷M-ωp，根據(jù)Remez交換算法[7]可以推導(dǎo)出(M3-1)L/2個(gè)極值點(diǎn)，并進(jìn)一步求解出H3(ejω)。

原型濾波器H2(ejω)和時(shí)域插值濾波器H3(ejω)級聯(lián)得到經(jīng)過時(shí)域插值調(diào)整的原型濾波器H4(ejω)，即：

(6)

Sinc濾波器的時(shí)域沖激響應(yīng)是一矩形脈沖，可用于抑制H4(ejω)的鏡像頻率。定義一個(gè)矩形脈沖的門函數(shù)g(t)作為Sinc濾波器的時(shí)域沖激響應(yīng)，其閘門寬度為TI/M：

g(t)=ε(-TI/2M)-ε(TI/2M)

(7)

其中ε(t)為階躍函數(shù)。矩形脈沖經(jīng)過傅立葉變換為Sinc函數(shù)，呈低通特性，圖3(d)中虛線就是G(ejω)的頻率響應(yīng)。而最佳內(nèi)插濾波器的時(shí)域沖激響應(yīng)h(t)(圖2(d))和頻率響應(yīng)H(ejω)(圖3(d))定義如下：

(8)

圖2　時(shí)域沖激響應(yīng)

影響任意采樣頻率轉(zhuǎn)換濾波器性能的主要是通帶紋波和阻帶衰減。通帶紋波衡量濾波器對有用信號的扭曲程度，阻帶衰減衡量濾波器的對無用信號的抑制能力。

濾波器阻帶分為兩部分：一是對應(yīng)于H4(ejω)阻帶的衰減δFIR，一是H4(ejω)的各個(gè)鏡像的衰減δlmage。在H4(ejω)的阻帶內(nèi)，若H4(ejω)自身阻帶衰減為δ4，Sinc函數(shù)對應(yīng)的衰減是δSinc，則δFIR=δ4×δSinc。由于設(shè)計(jì)原型濾波器已保證了δ4小于設(shè)計(jì)要求的阻帶衰減，加上δSinc的衰減，因此δFIR肯定滿足設(shè)計(jì)要求的阻帶衰減。

圖3　頻域響應(yīng)

而δlmage取決于Sinc濾波器對第一鏡像頻點(diǎn)的衰減，Sinc濾波器的抑制能力取決于h4(t)采樣頻率(M/TI)與信號帶寬B之比：其比值越大對虛像的抑制能力就越強(qiáng)。例如圖3(d)中濾波器對數(shù)字鏡像的衰減δlmage約30dB，絕大多數(shù)場合下無法滿足要求，為改善δlmage，可以調(diào)整原型濾波器的內(nèi)插因子M，使M/(BTI)滿足衰減設(shè)計(jì)需求。

與阻帶衰減相似，通帶紋波由H4(ejω)的通帶紋波δ4和Sinc函數(shù)的衰減決定，而Sinc函數(shù)的衰減由M/(BTI)決定。與鏡像抑制不同的是，Sinc函數(shù)對通帶的影響微乎其微，可以忽略；如遇到性能要求非常高的場合，根據(jù)阻帶衰減得到M后，可計(jì)算Sinc濾波器對δ4的影響，在設(shè)計(jì)原型濾波器的時(shí)候予以考慮。

4實(shí)現(xiàn)

Fallow結(jié)構(gòu)是最為經(jīng)典的內(nèi)插濾波器實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)[1]，文獻(xiàn)[6]利用系數(shù)的對稱性在Fallow結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上作了改進(jìn)。但Fallow結(jié)構(gòu)假定系統(tǒng)時(shí)鐘等于輸出采樣率，這種假設(shè)隨著微電子技術(shù)的高速發(fā)展明顯過于保守，文獻(xiàn)[9]提出了一種以高速乘法累加器為核心的FIR濾波器結(jié)構(gòu)，通過邏輯設(shè)計(jì)中時(shí)間-空間的互換，以最優(yōu)的資源消耗來實(shí)現(xiàn)各種性能的FIR濾波器。任意采樣頻率轉(zhuǎn)換濾波器的實(shí)現(xiàn)可借鑒這種時(shí)空權(quán)衡的設(shè)計(jì)思想，以高速乘法器在TO內(nèi)作多次乘法運(yùn)算以實(shí)現(xiàn)邏輯資源的優(yōu)化。

令nTO=(ik+μ)TI，其中0≤μ<1，根據(jù)式(1)，Y(n)可以寫成：

Y(nTO)=

(9)

顯然Y(n)的計(jì)算過程是一卷積運(yùn)算，需要L次乘法和加法運(yùn)算，圖4是采用單個(gè)乘法累加器完成濾波所有乘加運(yùn)算的實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)：輸入數(shù)據(jù)序列X(i)依次存于數(shù)據(jù)緩存中，啟動信號開啟計(jì)數(shù)器通過計(jì)數(shù)跳轉(zhuǎn)將式(9)中計(jì)算所需的L個(gè)數(shù)據(jù)(通過數(shù)據(jù)選擇器Mux)和濾波器系數(shù)(預(yù)存于ROM中)依次送入乘法累加器，L個(gè)時(shí)鐘后濾波器的當(dāng)前輸出Y(n)計(jì)算完畢。如果L較大或是輸出采樣率較高，單個(gè)乘法累加器無法在TO內(nèi)完成L次乘加運(yùn)算，需要多個(gè)乘法累加器協(xié)同工作，參考文獻(xiàn)[9]中MAC級聯(lián)結(jié)構(gòu)對圖4略作修改即可。

圖4　最佳內(nèi)插濾波器的實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)

雖然h(t)是連續(xù)時(shí)間函數(shù)(圖2(d))，但它是由h4(t)和時(shí)域閘門函數(shù)卷積而成，所以h(t)僅需保存h4(t)的系數(shù)共N個(gè)。h4(t)對于TI是無符號間串?dāng)_的VB，零系數(shù)有L個(gè)，非零系數(shù)為N-L。根據(jù)式(9)，當(dāng)μ=0時(shí)，只需X(ik-L/2)即可計(jì)算Y(n)；當(dāng)μ≠0時(shí)，根據(jù)μ的取值不同非零系數(shù)被分為M-1組，每組有L個(gè)非零系數(shù)參與計(jì)算當(dāng)前的輸出Y(n)。因此根據(jù)μ可將h(t)的系數(shù)分為M組，每組L個(gè)系數(shù)(μ=0時(shí)以零系數(shù)補(bǔ)足)分別存入圖4的ROM中，μ作為地址指針指向各組系數(shù)的首地址，計(jì)數(shù)器作為組內(nèi)偏移地址依次將該組系數(shù)逐個(gè)讀出送往乘法累加器。

內(nèi)插濾波器的關(guān)鍵參數(shù)μ在每次計(jì)算濾波器輸出時(shí)都需要更新，令μ(nTO)記做μn，根據(jù)式(9)，有：

(10)

(11)

圖5是μn的計(jì)算實(shí)現(xiàn)，其中nCO采用步進(jìn)為CO的累加計(jì)數(shù)器來計(jì)算，通過常數(shù)除法器除以CI得到，最后將nCO/CI的整數(shù)部分直接丟棄得到μ。

圖5μ的計(jì)算實(shí)現(xiàn)

5結(jié)語

本文提出了一種設(shè)計(jì)任意采樣頻率轉(zhuǎn)換濾波器的方法，該設(shè)計(jì)以FIR濾波器為原型，頻率響應(yīng)精確可控，是各種應(yīng)用場合通用的數(shù)字內(nèi)插濾波器設(shè)計(jì)方法，尤其適用于需要高性能濾波的場合。

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HE Jianbiao, WANG Hongyuan, GUO Yue. A Novel Architecture of FIR Filter Based on FPGA[J]. Microelectronics & Computer,2008,25:47-50.

中圖分類號TP391

DOI:10.3969/j.issn.1672-9722.2016.02.039

作者簡介:何健標(biāo)，男，博士，工程師，研究方向:通信與信息系統(tǒng)以及數(shù)字信號處理。

基金項(xiàng)目:“深圳市公共文化數(shù)字工程實(shí)驗(yàn)室(深圳市重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室)”、“南山區(qū)移動互聯(lián)技術(shù)公共服務(wù)平臺”資助。

*收稿日期:2015年8月11日,修回日期:2015年9月20日