抽屜原理在小學(xué)階段的合理認(rèn)識

山西省晉中市榆次區(qū)郭家堡鄉(xiāng)王村小學(xué) 胡玉馬

抽屜原理又叫做鴿巢原理，指的是一件簡單明了的事實(shí)：為數(shù)眾多的鴿子飛進(jìn)為數(shù)不多的巢穴里，則至少有一個(gè)巢穴飛進(jìn)了兩只或者更多的鴿子。粗略的說就是如果有許多物體放進(jìn)不足夠多的盒子內(nèi)，那么至少有一個(gè)盒子被兩個(gè)或多個(gè)物體占據(jù)。對抽屜原理教師感到難教、學(xué)生普遍感到難以理解，是教與學(xué)的難點(diǎn)。下面通過通過由淺到深，由簡單到復(fù)雜，循序漸進(jìn)的了解抽屜原理，不僅提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，還為他們進(jìn)一步學(xué)習(xí)打下一定的基礎(chǔ)。

模型1：認(rèn)識抽屜原理研究什么

例：把4枝筆放進(jìn)3個(gè)筆筒里，總有一個(gè)筆筒里至少放進(jìn)幾枝筆？

所以，我們要確定問題“總有一個(gè)筆筒里至少放進(jìn)幾枝筆？”到底是在問什么，這是關(guān)鍵。

生：（1，1，2）（0，2，2）（0，1，3）（0，0，4）

師：師生合作探究，三個(gè)筆筒中肯定有一個(gè)筆筒中的筆大于2枝或等于2枝，即至少有2枝。具體哪個(gè)筆筒是這樣的，怎樣找出這個(gè)筆筒，就不是我們所要學(xué)習(xí)的了。這就是我們從今天開始要學(xué)習(xí)的抽屜原理。

模型2：初步探究抽屜原理的計(jì)算方法

例：把7本書放進(jìn)3個(gè)抽屜，不管怎么放，總有一個(gè)抽屜里至少放進(jìn)3本書，為什么？

通過前面對抽屜原理的研究，我們已經(jīng)知道這道題說的是，當(dāng)要把7本書放進(jìn)3個(gè)抽屜里時(shí)，這三個(gè)抽屜對于整體而言是沒有第一第二第三的順序之分的，三個(gè)抽屜完全處于同等的地位。題目里僅僅研究的是不論任何一個(gè)抽屜是放書或者不放書，也不論這個(gè)抽屜是多放書或是少放書，也就是讓我們?nèi)我獾碾S便的放，想怎么放就怎么放，只要我們能把這7本書放完就可以了。所以有很多種的放法，但它們會產(chǎn)生一個(gè)共同的現(xiàn)象，不論放還是不放，也不論多放還是少放，其中肯定能找到這樣一個(gè)抽屜，有3本書或者是比3本書多。

生：（3，3，1）（5，1，1）（1，2，4）（2，2，3）（0，3，4）（0，5，2）（0，6，1）（0，0，7）

師：當(dāng)學(xué)生們研究“總有一個(gè)抽屜里至少放進(jìn)3本書”這個(gè)問題時(shí)，很想知道為什么會這樣，于是他們就想方設(shè)法的去擺，努力去推翻這個(gè)答案。結(jié)果這個(gè)答案在任何時(shí)候都是推不翻的、是絕對正確的。這時(shí)侯學(xué)生通過相互討論或者自學(xué)課本，發(fā)現(xiàn)了下面的計(jì)算方法（7÷3＝2……1），也可以說出“總有一個(gè)抽屜里至少放進(jìn)3本書”的答案是這樣計(jì)算的，即：商＋余數(shù)。

生：先每個(gè)抽屜都平均放2本，剩余的1本不論放進(jìn)哪個(gè)抽屜中，都會出現(xiàn)放3本書的情況。因?yàn)槲覀円芯康?個(gè)抽屜是在一起的，如果這個(gè)抽屜少放了那么其它抽屜就會多放，如果其它抽屜少放了那么這個(gè)抽屜又會多放。為了使3個(gè)抽屜一起都少放，所以我們按它們的平均數(shù)放，再把剩余的書也放進(jìn)去就可以了。

對于剩余的書如果大于1本時(shí)，還是用上面的計(jì)算方法嗎？有的學(xué)生會直接說可以，有的學(xué)生經(jīng)過思考會說好象不行了。

模型3：進(jìn)一步探究抽屜原理的計(jì)算方法

例：把8本書放進(jìn)3個(gè)抽屜，不管怎么放，總有一個(gè)抽屜里至少放進(jìn)多少本書呢？

通過前面對抽屜原理的認(rèn)識，學(xué)生會有下面的答案：8÷3＝2……2，2＋2＝4。

生：我是按（3，3，2）擺的，里面就出現(xiàn)了比4本書還少的情況了。

師：先把能平均放到抽屜里的書放進(jìn)去，這樣平均每個(gè)抽屜就可以先都放2本書了。這時(shí)余下的2本書，此時(shí)學(xué)生就能很容易地想到為了少放，不要把余下的2本書都放進(jìn)一個(gè)抽屜里去，而是再分給2個(gè)抽屜，就會出現(xiàn)最少放3本書的答案了。所以為了找到“總有一個(gè)抽屜里至少放進(jìn)多少本書”的答案，我們要對剩余下的課本繼續(xù)進(jìn)行再一次的分散，而絕對不能放在一起，就能找到至少放幾本書的情況了。

生：8÷3＝2……2，2＋1＝3。

師：商加1。

所以只要有余下的書，不論余下多少本書，答案都是商加1，當(dāng)然前提是按平均分散的方法去放。

模型4：抽屜原理的簡單應(yīng)用

在數(shù)學(xué)問題中有一類與“存在性”有關(guān)的問題。例如，任意13人中，至少有兩人的出生月份相同。任意367名學(xué)生中，一定存在兩名學(xué)生，他們在同一天過生日。在這類問題中，只需要確定某個(gè)物體（或某個(gè)人）的存在就可以了，并不需要指出是哪個(gè)物體（或哪個(gè)人），也不需要說明是通過什么方式把這個(gè)物體（或人）找出來的。這類問題依據(jù)的理論，我們稱之為“抽屜原理”。

通過前面的研究，我們可以采用平均分散的方法來找這個(gè)物體（或這個(gè)人）?！俺閷显怼钡淖兓芏啵瑧?yīng)用更具靈活性。我們應(yīng)有意識地培養(yǎng)學(xué)生的“模型”思想。

所以當(dāng)我們面對一個(gè)具體問題時(shí)，能否將這個(gè)具體問題和“抽屜問題”聯(lián)系起來，能否找到該問題中的具體情境和“抽屜原理”的“一般化模型”之間的內(nèi)在關(guān)系，能否找出該問題中什么是“待分的東西”，什么是“抽屜”，是影響能否解決該問題的關(guān)鍵。

總結(jié)

抽屜原理簡單易懂，主要用于證明某些存在性或至少類的問題，在生活中抽屜原理的應(yīng)用非常廣泛，解決了生活中一些模糊不清的問題，方便了人們的生活。在這類問題中，只需要確定某個(gè)物體（或某個(gè)人）的存在就可以了，并不需要指出是哪個(gè)物體（或哪個(gè)人），也不需要說明通過什么方式把這個(gè)存在的物體（或人）找出來。這類問題依據(jù)的理論，我們稱之為“抽屜原理”。

本文通過循序漸進(jìn)的方法使學(xué)生逐步學(xué)會運(yùn)用一般性的數(shù)學(xué)方法來思考問題，發(fā)展學(xué)生的抽象思維能力。抽屜原理在小學(xué)課本上雖然沒有明確的定義，但是它的價(jià)值是非常高的。它雖然只是一個(gè)小原理，但是在數(shù)學(xué)中確是必不可少的，它的數(shù)學(xué)思想和技巧是我們值得深刻理解和探索的。在學(xué)習(xí)抽屜原理的過程中，學(xué)生會覺得它只有幾個(gè)原則，但我們不能忽略它所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，只有掌握了這種思想和把握了這種解題技巧，那么我們孩子的數(shù)學(xué)素養(yǎng)就會有所提高。所以學(xué)好抽屜原理對學(xué)生有很大的益處。