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    廣義逆及其在線性方程組中的應(yīng)用

    2016-03-09 18:21:59陳保周
    當(dāng)代旅游 2015年6期
    關(guān)鍵詞:線性方程組矩陣

    陳保周

    摘 要:現(xiàn)實(shí)生活中,很多現(xiàn)實(shí)問題最終都可以轉(zhuǎn)化成線性方程組的求解問題,如何求解線性方程組的解成為解決很多問題的關(guān)鍵。線性代數(shù)課程中可以解決系數(shù)矩陣為可逆方陣的線性方程組的解的問題,而對于系數(shù)矩陣不是方陣或者不可逆的時(shí)候,是沒有很好的方法的。本文首先給出了一般矩陣廣義逆的概念。然后利用矩陣的廣義逆指出了線性方程組解的存在條件,并給出了具體的求解步驟,最后列舉了具體的求解實(shí)例。本文的研究對于一般線性方程組的求解問題具有一定的指導(dǎo)意義。

    關(guān)鍵詞:矩陣;廣義逆矩陣;線性方程組;最小二乘解

    一、引言

    現(xiàn)實(shí)生活中,很多現(xiàn)實(shí)問題最終都可以轉(zhuǎn)化成線性方程組的求解問題,如何求解線性方程組的解成為解決很多問題的關(guān)鍵。線性代數(shù)課程中對于相容線性方程組 ,如果矩陣 是方陣且可逆,那么線性方程組的解。對于不相容的方程組我們通常稱為無解。無解的線性方程組是很乏味且沒有實(shí)際意義的。但事實(shí)上,在很多實(shí)際問題中,如數(shù)據(jù)處理、多元分析、最優(yōu)化理論、現(xiàn)代控制理論、網(wǎng)絡(luò)理論等學(xué)科中,我們所遇到的方程組往往是不相容的方程組。所以,我們就在想當(dāng)一個(gè)方程組的系數(shù)矩陣不是方陣或者不可逆的時(shí)候,是不是也存在類似的解的表達(dá)形式呢?對于這類問題,E.H.Moore于1920年在美國數(shù)學(xué)會(huì)上提出了他的廣義逆矩陣的一個(gè)論文摘要。論文發(fā)表在他死后的1935年。直到1955年,R.Penrose發(fā)表了和E.H.Moore等價(jià)的廣義逆矩陣?yán)碚?,同年Rao提出了更一般的廣義逆矩陣的概念。廣義逆矩陣的出現(xiàn),不僅從理論上還從實(shí)際應(yīng)用上使得線性方程組的理論更加系統(tǒng)化,為線性方程組的求解問題提供了更廣闊的思路。當(dāng)一個(gè)方程組的系數(shù)矩陣不是方陣或者不可逆的時(shí)候,我們不能求得的解,而可以利用廣義逆矩陣求得 使得 最小,當(dāng)為歐式范數(shù)時(shí),這樣的解稱為線性方程組的最小二乘解。這就是本文將要討論的問題。

    二、相關(guān)定義與定理

    定義1 設(shè) 是行最大秩的 階實(shí)矩陣 ,如果存在一個(gè)階矩陣 ,當(dāng)右乘后得到一個(gè) 階單位陣I,即 則叫做的右逆,

    記作 (1)

    一般來說,右逆 可用下面的方法來計(jì)算,因?yàn)槭?滿秩的方陣,故有 (2)

    比較式(1) 和(2),可得 (3)

    定義2 設(shè)是列最大秩的實(shí)矩陣,如果存在一個(gè)階矩陣,當(dāng)左乘后得到一個(gè) 階單位陣,即 (4)

    則 叫做的左逆,記做 ,這就是說,有 (5)

    同理可得計(jì)算的公式是 (6)

    這里值得指出的是,對于行(或列)最大秩的階矩陣,和是不可能同時(shí)存在的。顯然,當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí),同時(shí)存在,并且就等于普通的逆矩陣 。

    定義3 設(shè)復(fù)矩陣,若有一個(gè)矩陣,滿足:

    及 (AX)H=AX,

    則稱為的最小二乘廣義逆,記作

    定理1 不相容方程組AX=b有最小二乘解

    , (7)

    其中是的最小二乘廣義逆.

    證明 設(shè)是的一個(gè)最小二乘廣義逆,,于是對任意的恒有,

    所以,是不相容方程組Ax=b的最小二乘解.

    必須注意,矛盾方程組(不相容方程組)的最小二乘解導(dǎo)致的誤差平方和(即在最小二乘意義下)是唯一的,但是,最小二乘解可以不惟一。為此,有下面的定理。

    定理2 不相容方程組Ax=b的最小二乘解可表示為

    , (8)

    其中是任意列向量.

    證明 先證(8)式中的確為最小二乘解.因?yàn)槭茿x=b的最小二乘解,所以取最小值,而,所以,

    也取最小值,即為最小二乘解.

    再證Ax=b的任一個(gè)最小二乘解必可表示成(8)式的形式.事實(shí)上,類似于定理1的證明有

    從而有,即,這說明 為齊次線性方程組Ax=0的一個(gè)解,所以,

    ,即 ,

    其中是任意列向量.

    如定理2所述,不相容方程組的最小二乘解不是唯一的,而由前面章節(jié)知道最小二乘廣義逆也不是唯一的,并且,最小二乘廣義逆的通式與最小二乘解的通式(8)形式上有類似之處。

    三、實(shí)例分析

    在最小二乘解、曲線擬合和多元線性回歸分析中常常要計(jì)算不相容方程組的最小二乘解.廣義逆矩陣的理論使得求不相容方程組最小二乘解的方法簡單化、標(biāo)準(zhǔn)化、規(guī)范化了.整個(gè)求解過程的關(guān)鍵在于求出的最小二乘廣義逆,而用不著先求誤差平方和,再利用極值條件,最后求解一個(gè)新的方程組等一系列煩瑣的步驟。

    參考文獻(xiàn):

    [1] 徐仲等. 矩陣論簡明教程[M].北京:科學(xué)出版社,2005.6

    [2] 王松林,楊振海.廣義逆矩陣及其應(yīng)用[M].北京:北京工業(yè)大學(xué)出版社,1996.

    [3] 陳永林.廣義逆矩陣的理論和方法[M].南京:南京師范大學(xué)出版社,2005.

    [4] 周衛(wèi)春.矩陣廣義逆在線性方程組求解中的應(yīng)用研究[J]物流工程與技術(shù)2013(2)

    [5] 周金森.廣義逆矩陣與線性方程組的解[J]漳州職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào) 2006.04第8卷第2期

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