基于季節(jié)性馬爾科夫模型的鄭州市降雨指數(shù)衍生品定價(jià)

王志良, 魯亮濤， 劉萍萍

(1.華北水利水電大學(xué),河南 鄭州 450045; 2.鶴壁市盤(pán)石頭水庫(kù)建設(shè)管理局，河南 鶴壁 458030)

基于季節(jié)性馬爾科夫模型的鄭州市降雨指數(shù)衍生品定價(jià)

王志良1, 魯亮濤1， 劉萍萍2

(1.華北水利水電大學(xué),河南 鄭州 450045; 2.鶴壁市盤(pán)石頭水庫(kù)建設(shè)管理局，河南 鶴壁 458030)

未來(lái)特定時(shí)間區(qū)間內(nèi)降雨指數(shù)的微小差別,會(huì)對(duì)降雨指數(shù)衍生品的理論價(jià)格產(chǎn)生很大的影響。根據(jù)鄭州市的降雨過(guò)程具有明顯的季節(jié)性特征的特點(diǎn),提出了季節(jié)性馬爾科夫模型,并用此模型對(duì)其降雨頻率進(jìn)行建模。然后,用Gamma分布模擬鄭州市不同季度的日降雨量的分布。最后,對(duì)鄭州市未來(lái)一年的日降雨量進(jìn)行隨機(jī)模擬,并運(yùn)用蒙特卡洛方法,模擬計(jì)算了基于鄭州市第二季度降雨累積指數(shù)的期貨合約的到期收益值。計(jì)算結(jié)果表明,本文提出的季節(jié)性馬爾科夫模型可以更好地模擬鄭州市降雨過(guò)程的統(tǒng)計(jì)特征。

天氣衍生品;季節(jié)性馬爾科夫模型;累積降雨指數(shù);蒙特卡洛模擬

降雨指數(shù)衍生品是一類(lèi)金融衍生工具，主要用來(lái)管理和控制極端天氣風(fēng)險(xiǎn)。與氣溫指數(shù)衍生品定價(jià)問(wèn)題[1-2]相比,降雨指數(shù)衍生品定價(jià)的主要難點(diǎn)是建立精確的降雨預(yù)測(cè)模型[3-4]。使用目前的氣象學(xué)模型[5]預(yù)測(cè)降雨可以得到較好的預(yù)測(cè)結(jié)果，但是氣象學(xué)模型比較復(fù)雜,并且預(yù)測(cè)的時(shí)間區(qū)間有限。因此,應(yīng)用統(tǒng)計(jì)方法解決降雨量的預(yù)測(cè)問(wèn)題很有意義。

降雨過(guò)程的統(tǒng)計(jì)規(guī)律比較復(fù)雜[6],精確地計(jì)算未來(lái)某一時(shí)段的降雨量具有很大的難度。學(xué)者們運(yùn)用了很多統(tǒng)計(jì)學(xué)方法對(duì)此問(wèn)題進(jìn)行了研究。文獻(xiàn)[7]用人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型對(duì)降雨過(guò)程進(jìn)行建模，該模型使用溫度、濕度、風(fēng)速等因素預(yù)測(cè)未來(lái)可能的降雨量。在2014年,Masala用馬爾科夫模型對(duì)降雨頻率序列進(jìn)行了研究[8]。人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型和馬爾科夫模型,都可以提取降雨量序列的部分統(tǒng)計(jì)特征,但其相關(guān)性的時(shí)間滯后項(xiàng)有限,很難提取日降雨量序列在年時(shí)間尺度的季節(jié)性特征。

為了更好地提取降雨量序列的季節(jié)性特征,本文提出季節(jié)性馬爾科夫模型，并將其應(yīng)用于鄭州市降雨指數(shù)衍生品的定價(jià)中。

1 鄭州市降雨統(tǒng)計(jì)特征

河南省是我國(guó)的產(chǎn)糧大省,研究鄭州市的降雨指數(shù)衍生品定價(jià)問(wèn)題具有很好的現(xiàn)實(shí)意義。本文以鄭州市1985—2014年日降雨數(shù)據(jù)集為樣本,數(shù)據(jù)來(lái)自“中國(guó)地面國(guó)際交換站氣候資料日值數(shù)據(jù)集”。

研究鄭州市降雨指數(shù)衍生品定價(jià)問(wèn)題,首先應(yīng)研究鄭州市降雨序列的統(tǒng)計(jì)特征。將數(shù)據(jù)集中30 a的日降雨量序列分為365組,第i組包含每一年中第i天的降雨量數(shù)據(jù),計(jì)算每一組的平均值,得到鄭州市一年中各天的平均降雨量，如圖1所示。

圖1 鄭州市30 a的日平均降雨量

從圖1中可以看出,鄭州市日平均降雨量呈現(xiàn)出第一季度和第四季度降雨量較少,第二季度和第三季度的降雨量較多的特征。鄭州市日平均降雨量序列具有明顯的周期性。

2 季節(jié)性馬爾科夫模型

與一階馬爾科夫模型一樣,一階季節(jié)性馬爾科夫模型滿足無(wú)后效性,即滿足下式[9]:

(1)

式中：t=1,2,…,T；T為隨機(jī)過(guò)程{Xt}的周期。這里所說(shuō)的周期的意思是隨機(jī)變量Xt的分布列與隨機(jī)變量Xt+T的分布列相同。

對(duì)于兩狀態(tài)季節(jié)性馬爾科夫模型來(lái)說(shuō),其轉(zhuǎn)移概率矩陣為：

(2)

式中pjk(t)(j,k=0,1)表示隨機(jī)過(guò)程{Xt}在t時(shí)刻處于狀態(tài)j,在t+1時(shí)刻處于狀態(tài)k的概率。

將時(shí)間序列{xt}轉(zhuǎn)換為狀態(tài)序列{st}。對(duì)于鄭州市的日降雨量序列,如果某一天降雨量是零,就將其設(shè)定為“0”,表示該天沒(méi)有降雨。如果某一天降雨量不是零,就將其設(shè)定為“1”,表示該天降雨。

為了給出轉(zhuǎn)移概率矩陣的一個(gè)估算方法,這里需要對(duì)狀態(tài)序列{st}進(jìn)行一些處理。假設(shè)隨機(jī)過(guò)程{Xt}的周期為T(mén),按照周期將狀態(tài)序列{st}分為n組,每組包含一個(gè)周期的數(shù)據(jù)。然后,將每組中的第i個(gè)數(shù)據(jù)取出來(lái),按時(shí)間順序排序后作為一個(gè)向量,用Vi(i=1,2,…,T)表示，例如：

V1=[s1,s1+T,s1+2T,…,s1+(n-1)T]。

對(duì)鄭州市日降雨?duì)顟B(tài)序列來(lái)說(shuō),V1就是每年中第1天的狀態(tài)值按時(shí)間順序排序的向量。

根據(jù)季節(jié)性馬爾科夫模型轉(zhuǎn)移概率矩陣的含義,這里給出它的一個(gè)估計(jì)方法為：

(3)

式中njk(t)表示在向量Vt中元素為j、在向量Vt+1中對(duì)應(yīng)位置的元素為k的數(shù)值對(duì)個(gè)數(shù)。但這里的njk(T)是一種特殊情況,它表示向量Vt中元素為j、在向量V1中對(duì)應(yīng)位置的下一個(gè)元素為k的數(shù)值對(duì)個(gè)數(shù)。

對(duì)于鄭州市來(lái)說(shuō),將30 a的日降雨量數(shù)據(jù)分為30組,每組包含其中一年的數(shù)據(jù),也就是說(shuō)將周期T設(shè)定為365,按上述方法計(jì)算其轉(zhuǎn)移概率矩陣,其中p01(t)(t=1,2,…,365)的計(jì)算結(jié)果如圖2所示。圖2表明,鄭州市一年中晴天轉(zhuǎn)移到雨天的概率與時(shí)間有關(guān),從一年中的第1天開(kāi)始,隨著時(shí)間的推移,逐漸變大,然后變小。說(shuō)明季節(jié)性馬爾科夫模型可以提取鄭州市日降雨?duì)顟B(tài)序列的轉(zhuǎn)移概率矩陣的周期性特征。

圖2 晴天轉(zhuǎn)移到雨天的比率序列

季節(jié)性馬爾科夫模型可以用來(lái)模擬未來(lái)一個(gè)周期內(nèi)隨機(jī)過(guò)程{Xt}的狀態(tài)序列。

首先，估算隨機(jī)過(guò)程{Xt}的初始概率分布列[p0(0)p1(0)]。其中p0(0)表示初始狀態(tài)為“0”的概率,p1(0)表示初始狀態(tài)為“1”的概率。這里給出一個(gè)估算方法：

(4)

式中Z為狀態(tài)序列{st}中元素為k的個(gè)數(shù),T為狀態(tài)序列{st}中元素的個(gè)數(shù)。

然后，計(jì)算在未來(lái)一個(gè)周期內(nèi),隨機(jī)變量Xt在時(shí)刻t的概率分布列[p0(t)p1(t)]為：

[p0(t)p1(t)]= [p0(t-1)p1(t-1)]·

(5)

式中t=1,2,…,T。

最后,設(shè)定一個(gè)參數(shù)為λ(0<λ<1),如果p0(t)>λ,就將其對(duì)應(yīng)的狀態(tài)設(shè)定為“0”；否則,就將其對(duì)應(yīng)的狀態(tài)設(shè)定為“1”。這樣,就得到了未來(lái)一個(gè)周期內(nèi)隨機(jī)過(guò)程{Xt}的狀態(tài)序列。這里給出一個(gè)設(shè)置λ的方法：根據(jù)歷史數(shù)據(jù),計(jì)算出一個(gè)周期內(nèi)狀態(tài)處于“0”的平均值。先令λ=0.01，模擬出隨機(jī)過(guò)程{Xt}的1個(gè)狀態(tài)序列，計(jì)算狀態(tài)為“0”的元素個(gè)數(shù)M；然后以0.01為步長(zhǎng)增加λ的取值，重復(fù)前述計(jì)算過(guò)程，直到λ=0.99,得到99個(gè)模擬的M；當(dāng)模擬的M值與歷史數(shù)據(jù)計(jì)算的狀態(tài)處于“0”的平均值最接近時(shí)，λ就取對(duì)應(yīng)的值。

3 降雨量模型

模擬計(jì)算降雨量序列,除了需要得到是否降雨的狀態(tài)序列,還要模擬出每天的降雨量。降雨量數(shù)據(jù)都為大于等于零的值,鄭州市日降雨量又具有非對(duì)稱(chēng)、右偏的特征。因此,用Gamma分布來(lái)描述鄭州市日降雨量是合適的。其概率密度函數(shù)為：

(6)

式中：α為形狀參數(shù)；β為尺度參數(shù)；Γ(α)為Gamma函數(shù)在點(diǎn)α的值。

Gamma分布的極大似然函數(shù)為：

(7)

對(duì)極大似然函數(shù)L(α,β)求對(duì)數(shù),然后分別對(duì)α和β求偏導(dǎo)數(shù),并令偏導(dǎo)數(shù)等于零,可得到Gamma分布的極大似然估計(jì)：

(8)

(9)

(10)

4 鄭州市降雨指數(shù)衍生品定價(jià)

芝加哥商品交易所是全球衍生品交易最為活躍的交易所之一,基于日降雨量累積指數(shù)CR的降雨指數(shù)衍生品合約是其天氣市場(chǎng)的重要組成部分。

日降雨量累積指數(shù)CR指的是在時(shí)間區(qū)間[τ1,τ2]內(nèi)的降雨總量,其計(jì)算式為：[9]

(11)

式中Y(t)為日降雨量序列。

計(jì)算鄭州市降雨指數(shù)衍生品的到期收益值,首先要模擬計(jì)算鄭州市未來(lái)某一時(shí)間區(qū)間的日降雨量序列。鄭州市日降雨量序列具有以年為周期的特征,因此,這里設(shè)定季節(jié)性馬爾科夫模型中的周期T為365 d。用鄭州市1985年到2014年的日降雨量序列,可以計(jì)算出季節(jié)性馬爾科夫模型的轉(zhuǎn)移概率矩陣Mt(t=1,2,…,365)。這里給出M1，即：

由于鄭州市日降雨量極不均勻,這里將鄭州市日降雨量樣本分為4個(gè)集合,第i個(gè)集合包含第i個(gè)季度的樣本。然后分別估計(jì)相應(yīng)的Gamma分布的參數(shù),結(jié)果見(jiàn)表1。

鄭州市1985—2014年的年平均降雨天數(shù)為76.9 d，取整后為77 d。將參數(shù)λ設(shè)為0.69時(shí)，模擬出的年平均降雨天數(shù)為52 d；將參數(shù)λ設(shè)為0.70時(shí)，模擬出的年平均降雨天數(shù)為78 d。綜合考慮，將參數(shù)λ設(shè)為0.70，然后模擬計(jì)算出鄭州市2015年降雨頻率序列。

表1 四個(gè)季度的Gamma分布參數(shù)的極大似然估計(jì)

根據(jù)鄭州市降雨頻率序列和降雨量的Gamma分布,可以模擬鄭州市的降雨過(guò)程。其具體方法是：如果降雨頻率序列的值為“1”,就隨機(jī)產(chǎn)生一個(gè)相應(yīng)季度的Gamma分布的隨機(jī)數(shù),作為該天的降雨量。如此模擬鄭州市未來(lái)一年的降雨過(guò)程,計(jì)算結(jié)果如圖3所示。

圖3 年降雨過(guò)程模擬序列

圖3表明，季節(jié)性馬爾科夫模型和分季度的Gamma分布,可以很好地提取鄭州市日降雨量的季節(jié)性特征。

降雨指數(shù)期貨合約是降雨指數(shù)衍生品的一種,合同規(guī)定了在未來(lái)某一時(shí)刻,交易雙方以在簽訂合約時(shí)刻規(guī)定的價(jià)格交割某種降雨指數(shù)。另外，降雨指數(shù)期貨合約還規(guī)定了合約標(biāo)的、合約乘數(shù)、單位、最小變動(dòng)單位、合約月份、交易時(shí)間、交易保證金和交割方式等。

假設(shè)一個(gè)基于鄭州市日降雨量累積指數(shù)CR的期貨合約,合約月份為2015年第二季度3個(gè)月，合約標(biāo)的是122個(gè)指數(shù)點(diǎn),合約乘數(shù)為1個(gè)指數(shù)點(diǎn)10元,最小變動(dòng)單位為1個(gè)指數(shù)點(diǎn),交割方式為用人民幣交割。

對(duì)于賣(mài)方來(lái)說(shuō),售出一份這樣的合約，到期收益值WS由下式給出：

WS=10(CR-122)。

(12)

結(jié)合季節(jié)性馬爾科夫模型和分時(shí)段Gamma分布,用蒙特卡洛方法模擬100 000次2015年第二季度的降雨過(guò)程,計(jì)算賣(mài)方相應(yīng)的到期收益值WS,結(jié)果見(jiàn)表2。

表2中的數(shù)據(jù)表明，對(duì)于假設(shè)的合約，如果賣(mài)方運(yùn)用本文的模型，計(jì)算其售出一份合約，到期收益值為-497元，是虧損的，他將會(huì)停止輸出此合約，改為售出標(biāo)的指數(shù)較低的合約。

表2 到期收益值WS的均值與方差

5 結(jié) 語(yǔ)

降雨指數(shù)衍生品是一類(lèi)重要的金融衍生工具,可以用來(lái)對(duì)沖極端天氣造成重大損失的風(fēng)險(xiǎn)。鄭州市降雨指數(shù)的統(tǒng)計(jì)特征非常復(fù)雜,一年之中降雨天數(shù)較少,日降雨量的波動(dòng)性較大。本文提出的季節(jié)性馬爾科夫模型可以提取第二季度和第三季度降雨天數(shù)較多,第一季度和第四季度降雨天數(shù)較少的特征。由于一年之中的日降雨量并不平均,第二季度和第三季度的日降雨量相對(duì)較大,本文將樣本分為4個(gè)部分, 不同部分包含不同季節(jié)的樣本，分別計(jì)算其Gamma分布參數(shù),用來(lái)描述日降雨量的年周期性特征。結(jié)合季節(jié)性馬爾科夫模型和分季節(jié)Gamma分布,本文模擬了鄭州市未來(lái)一年日降雨量序列,計(jì)算出未來(lái)降雨指數(shù)的期望值。用季節(jié)性馬爾科夫模型和分時(shí)段的概率分布模型,可以較好地提取鄭州市日降雨量的季節(jié)性特征，從而計(jì)算得到合約到期價(jià)值的期望值。但是,用此模型得到的合約到期價(jià)值的方差較大，需要建立更好的模型,減小計(jì)算出的指數(shù)的方差。

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(責(zé)任編輯：陳海濤)

Valuing Rainfall Index Derivatives of Zhengzhou Based on Seasonal Markov Model

WANG Zhiliang1, LU Liangtao1， LIU Pingping2

(1.North China University of Water Resources and Electric Power, Zhengzhou 450045, China; 2.Panshitou Reservior Construction and Administration Bureau, Hebi 458030, China)

During the process of pricing rainfall index derivatives, the minute difference existed in the predicted value of rainfall index in the future specific temporal interval, will significantly influence the theory price of rainfall index derivatives. In the article, we proposed the seasonal Markov model for the obvious seasonal characteristics of rainfall process in Zhengzhou, the rainfall frequency was modeling with this model. Then, the distribution of the daily rainfall in the different season in Zhengzhou was simulated with Gamma. Finally, the daily rainfall of the future year in Zhengzhou was randomly simulated, the yield-to-maturity value of the futures contracts based on the accumulated rainfall index of the second quarter in Zhengzhou was simulated and calculated. The calculation results show that the seasonal Markov model can preferably simulate the statistical characteristics of the rainfall process of Zhengzhou City.

weather derivatives; seasonal Markov model; rainfall index; Monte-Carlo simulation

2016-02-17

河南省科技廳基礎(chǔ)與前沿研究(142300410175)。

王志良(1966—),男,河南舞陽(yáng)人,教授,碩導(dǎo),博士,主要從事水文水資源研究。E-mail:wzl@ncwu.edu.cn。

10.3969/j.issn.1002-5634.2016.02.005

TV125；O29

A

1002-5634(2016)02-0033-04