無(wú)側(cè)移半剛性連接箱式模塊化框架的穩(wěn)定分析

曹軻+李國(guó)強(qiáng)+陸燁

摘要：基于《鋼結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范》（GB 50017—2003），利用三柱子框架模型推導(dǎo)了無(wú)側(cè)移半剛性連接箱式模塊化框架柱計(jì)算長(zhǎng)度系數(shù)方程，給出了基于分析假定的柱計(jì)算長(zhǎng)度系數(shù)理論解，提出了針對(duì)無(wú)側(cè)移半剛性連接箱式模塊化框架柱計(jì)算長(zhǎng)度系數(shù)的實(shí)用計(jì)算公式；通過(guò)對(duì)比理論計(jì)算結(jié)果和有限元分析結(jié)果，驗(yàn)證了實(shí)用計(jì)算公式的精確性與適用性；研究了無(wú)側(cè)移半剛性連接箱式模塊化框架柱計(jì)算長(zhǎng)度系數(shù)的各影響因素。結(jié)果表明：柱計(jì)算長(zhǎng)度系數(shù)除了受到半剛性節(jié)點(diǎn)剛度變化的影響外，還受到上下相鄰模塊框架梁對(duì)框架柱約束系數(shù)比值的影響；當(dāng)上下相鄰模塊框架梁對(duì)框架柱約束系數(shù)的比值均為1時(shí)，柱計(jì)算長(zhǎng)度系數(shù)不隨節(jié)點(diǎn)剛度變化而變化。

關(guān)鍵詞：計(jì)算長(zhǎng)度系數(shù)；穩(wěn)定分析；半剛性連接；無(wú)側(cè)移箱式模塊化框架

中圖分類號(hào)：TU323.5文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

Stability Analysis of Nonsway Modular Frame with Semirigid ConnectionCAO Ke1， LI Guoqiang1，2， LU Ye1，2

（1. College of Civil Engineering， Tongji University， Shanghai 200092， China； 2. State Key Laboratory for

Disaster Reduction in Civil Engineering， Tongji University， Shanghai 200092， China）Abstract： Based on Code for Design of Steel Structures（GB 50017—2003） and using the three column subassemblage model， a governing equation for determining the effective length factor of column for nonsway modular frame with semirigid connection was derived. Furthermore， the theoretical solution to evaluate the corresponding column effective length factor was proposed. The effectiveness and accuracy of the simplified calculation formulas were illustrated through comparing the theoretical calculation results and finite element analysis results. At last， influencing factors of effective length factor of column for nonsway modular frame with semirigid connection were investigated. The results show that the effective length factor is affected not only by the connection stiffness but also by the ratio of modified relative stiffness factor. When the ratio of modified relative stiffness factor is 1， the effective length factor doesnt change with connection stiffness.

Key words： effective length factor； stability analysis； semirigid connection； nonsway modular frame

0引言

箱式模塊化鋼結(jié)構(gòu)建筑是預(yù)制裝配式鋼結(jié)構(gòu)建筑的一種具體形式，它是將單個(gè)房間作為預(yù)制單元，在工廠預(yù)制后運(yùn)到工地進(jìn)行現(xiàn)場(chǎng)安裝。每一個(gè)預(yù)制單元可為帶有采暖、給排水及照明等所有管網(wǎng)的裝修完備的房間單元。作為集成化程度很高的預(yù)制裝配式建筑，箱式模塊化建筑已經(jīng)成為新型建筑技術(shù)的主要發(fā)展方向之一[1]。

目前針對(duì)鋼框架的研究與設(shè)計(jì)中常把梁、柱間連接假定為理想的剛接或鉸接，然而實(shí)際工程中大多數(shù)連接介于兩者之間，為半剛性連接[2]。普通的半剛性連接是指框架中梁、柱間連接節(jié)點(diǎn)為半剛性節(jié)點(diǎn)。對(duì)于箱式模塊化鋼結(jié)構(gòu)，在同一模塊箱體內(nèi)部，梁、柱連接采用全焊接連接，而不同箱體之間則采用螺栓節(jié)點(diǎn)連接。因此，對(duì)于箱式模塊化鋼框架，同一箱體內(nèi)梁、柱剛性連接，不同箱體間半剛性連接。

穩(wěn)定性的設(shè)計(jì)一直是多層多跨鋼框架設(shè)計(jì)的重要組成部分[3]。目前設(shè)計(jì)多層多跨鋼框架有2種方法：一種是傳統(tǒng)的構(gòu)件計(jì)算長(zhǎng)度設(shè)計(jì)法；另一種是高等分析法。各國(guó)針對(duì)鋼框架整體穩(wěn)定性的設(shè)計(jì)仍采用第1種方法，因此，框架結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定問(wèn)題就轉(zhuǎn)化成了柱計(jì)算長(zhǎng)度的計(jì)算問(wèn)題。目前研究與設(shè)計(jì)中確定柱計(jì)算長(zhǎng)度的實(shí)用方法是子結(jié)構(gòu)法和層剛度法[4]。對(duì)于半剛性節(jié)點(diǎn)，國(guó)外學(xué)者普遍采用轉(zhuǎn)動(dòng)彈簧模擬節(jié)點(diǎn)的半剛性性能，以研究半剛性鋼框架柱的計(jì)算長(zhǎng)度取值問(wèn)題。依據(jù)此種方法，Hellesland等[5]、White等[6]和Kishi等[7]對(duì)半剛性連接鋼框架柱的計(jì)算長(zhǎng)度系數(shù)進(jìn)行了研究。隨著鋼結(jié)構(gòu)在中國(guó)的發(fā)展和應(yīng)用，針對(duì)半剛性連接鋼框架穩(wěn)定問(wèn)題的研究逐漸增多，陳紹蕃[3]、陳驥[8]和李國(guó)強(qiáng)等[910]針對(duì)半剛性連接鋼框架的穩(wěn)定問(wèn)題進(jìn)行了研究。

上述研究均針對(duì)梁、柱半剛性連接鋼框架進(jìn)行，對(duì)于半剛性連接箱式模塊化鋼框架的整體穩(wěn)定問(wèn)題，目前各國(guó)尚無(wú)研究報(bào)道。本文采用《鋼結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范》（GB 50017—2003）[11]中的方法，利用子結(jié)構(gòu)模型，推導(dǎo)無(wú)側(cè)移半剛性連接箱式模塊化框架柱的計(jì)算長(zhǎng)度系數(shù)方程，給出計(jì)算長(zhǎng)度系數(shù)的簡(jiǎn)化計(jì)算公式，并通過(guò)對(duì)比有限元分析結(jié)果驗(yàn)證該簡(jiǎn)化計(jì)算公式的精確性。同時(shí)，本文還將分析無(wú)側(cè)移半剛性連接箱式模塊化框架柱計(jì)算長(zhǎng)度系數(shù)的影響因素。

1分析假定

普通半剛性連接框架與半剛性箱式模塊化框架見(jiàn)圖1。由圖1可知，箱式模塊化框架結(jié)構(gòu)形式與普通鋼框架差異較大，因此在箱式模塊化鋼框架的設(shè)計(jì)中不能完全套用普通鋼框架的設(shè)計(jì)方法，而應(yīng)考慮箱體間連接節(jié)點(diǎn)對(duì)框架柱穩(wěn)定性的影響。

圖1普通半剛性連接框架與半剛性連接箱式模塊化框架

Fig.1Common Frame and Modular with Semirigid

Connection Frame with Semirigid Connection Frame參考《鋼結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范》（GB 50017—2003）[11]中關(guān)于普通無(wú)側(cè)移鋼框架柱計(jì)算長(zhǎng)度系數(shù)的有關(guān)假定以及文獻(xiàn)[7]中針對(duì)梁、柱半剛性連接無(wú)側(cè)移鋼框架柱穩(wěn)定性分析的有關(guān)假定，本文采用以下分析假定：

（1）子框架模型中所有桿件材料均為完全彈性。

（2）所有梁、柱均為等截面形式。

（3）梁內(nèi)軸力較小，可以忽略。

（4）同層中各柱將同時(shí)屈曲，不考慮同層各柱之間的相互影響。

（5）子框架模型中所有柱穩(wěn)定函數(shù)一致。

（6）子框架屈曲時(shí)，各梁近端及遠(yuǎn)端的轉(zhuǎn)角大小相等，方向相反，即各梁按單向曲率彎曲。

（7）同一模塊內(nèi)梁、柱連接為剛性連接，不同模塊間連接為半剛性連接。

（8）不同模塊間連接節(jié)點(diǎn)的半剛性性能用具有一定轉(zhuǎn)動(dòng)剛度的轉(zhuǎn)動(dòng)彈簧模擬。

（9）子框架模型中上下相鄰柱變形曲線相似，即各柱柱端轉(zhuǎn)角對(duì)應(yīng)成比例。

包含無(wú)側(cè)移半剛性連接箱式模塊化框架的任一柱CD及所有與柱CD相連構(gòu)件的子框架模型如圖2（a）所示，其中，P為子框架所受軸壓力，θ為節(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)角，bi（i=1，2，3，4），cj（j=1，2，3）分別為各梁、柱編號(hào)。根據(jù)分析假定（4），同層中各柱變形相同，故柱MN與柱CD不會(huì)產(chǎn)生相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)，柱MN對(duì)柱CD的穩(wěn)定系數(shù)沒(méi)有影響，可將無(wú)側(cè)移模塊化子框架模型簡(jiǎn)化，如圖2（b）所示，其中，θA，θB，θC，θD，θE，θF，θG，θH，θI，θJ均為轉(zhuǎn)角，R1，R2均為半剛性節(jié)點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)剛度。該子框架模型與傳統(tǒng)的三柱子框架模型類似[8]，包括柱c2[圖2（b）中的柱CD]，2根約束柱c1，c3，4根約束梁b1，b2，b3，b4。相同模塊內(nèi)梁、柱均為剛性連接，相鄰模塊間為半剛性連接。

圖2無(wú)側(cè)移箱式模塊化子框架模型及其簡(jiǎn)化模型

Fig.2Subassemblage Model for Nonsway Modular

Frame and Its Simplification Model2轉(zhuǎn)角位移方程

由于半剛性連接箱式模塊化框架中模塊內(nèi)梁、柱均為剛性連接，節(jié)點(diǎn)的半剛性性能只在不同模塊間體現(xiàn)，故針對(duì)單個(gè)構(gòu)件而言，構(gòu)件的轉(zhuǎn)角位移方程與普通多層多跨鋼框架相同。

按照分析假定（3），框架梁只承受端彎矩作用，如圖3（a）所示，其轉(zhuǎn)角位移方程為[2]

MA=kbLb（4θA-2θB）（1）

式中：MA為梁A端彎矩；kb為子框架梁抗彎剛度；Lb為子框架梁跨度。

由分析假定（6）可知，梁發(fā)生單向曲率彎曲變形，即θA=θB[圖3（a）]，則梁A端彎矩可表示為

MA=2kbLbθA（2）

無(wú)側(cè)移子框架中框架柱受軸力及端彎矩共同作用，如圖3（b）所示，其中，MB為梁B端彎矩，Lc為子框架柱長(zhǎng)度），此時(shí)框架梁、柱的轉(zhuǎn)角位移方程可用穩(wěn)定函數(shù)表示為[2]

MA=kcLc（siiθC+sijθD）（3）

MB=kcLc（sjiθC+sjjθD）（4）

sii=sjj=kLcsin（kLc）-（kLc）2cos（kLc）2-2cos（kLc）-kLcsin（kLc）（5）

sij=sji=（kL）2c-kLcsin（kLc）2-2cos（kLc）-kLcsin（kLc）（6）

k=Pkc（7）

圖3無(wú)側(cè)移箱式模塊化框架梁、柱單元轉(zhuǎn)角位移模型

Fig.3Slopedeflection Model of Beam Element and

Column Element for Nonsway Modular Frame式中：kc為子框架柱抗彎剛度；sii，sij，sji，sjj均為穩(wěn)定函數(shù)。

柱計(jì)算長(zhǎng)度系數(shù)μ可表示為

μ=πkLc（8）

將式（8）代入式（5），（6），可得由柱計(jì)算長(zhǎng)度系數(shù)μ表示的穩(wěn)定函數(shù)[8]為

sii=sjj=（π/μ）sin（π/μ）-（π/μ）2cos（π/μ）2-2cos（π/μ）-（π/μ）sin（π/μ）（9）

sij=sji=（π/μ）2-（π/μ）sin（π/μ）2-2cos（π/μ）-（π/μ）sin（π/μ）（10）3柱計(jì)算長(zhǎng)度系數(shù)的計(jì)算方程

根據(jù)分析假定，子框架屈曲時(shí)各梁、柱的轉(zhuǎn)角如圖2（b）所示，其中，柱CD為目標(biāo)柱，柱CD端轉(zhuǎn)角分別為θC，θD，梁CH兩端轉(zhuǎn)角θC=θH，梁DI兩端轉(zhuǎn)角θD=θI；假定半剛性節(jié)點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)剛度為R1，R2，節(jié)點(diǎn)內(nèi)彎矩分別為MB，ME，則柱AB的B端轉(zhuǎn)角θB=θC-MB/R1，梁BG兩端轉(zhuǎn)角θB=θG=θC-MB/R1；同理，柱EF的E端轉(zhuǎn)角θE=θD-ME/R2，梁EJ兩端轉(zhuǎn)角θE=θJ=θD-ME/R2；由分析假定（9）可知，柱AB的A端轉(zhuǎn)角θA=（θC-MB/R1）θD/θC，柱EF的F端轉(zhuǎn)角θF=（θD-ME/R2）θC/θD。

引入構(gòu)件線剛度i′，則有

i′=k0L（11）

式中：k0為構(gòu)件抗彎剛度；L為構(gòu)件長(zhǎng)度。

當(dāng)子框架屈曲時(shí)，各桿件端部的轉(zhuǎn)角位移方程可表示為

MBG=2ib1（θC-MBR1）（12）

MCH=2ib2θC（13）

MDI=2ib3θD（14）

MEJ=2ib4（θD-MER2）（15）

MBA=ic1[sii（θC-MBR1）+sij（θD-MBθDR1θC）]（16）

MCD=ic2（siiθC+sijθD）（17）

MDC=ic2（siiθD+sijθC）（18）

MEF=ic3[sii（θD-MER2）+sij（θC-MER2θCθD）]（19）

式中：ib1，ib2，ib3，ib4分別為梁b1，b2，b3，b4的線剛度；ic1，ic2，ic3分別為柱c1，c2，c3的線剛度。

由節(jié)點(diǎn)B的平衡條件可得

MB=MBA+MBG（20）

將式（12），（16）代入式（20），有

MB=R1θC[（siiic1+2ib1）θC+sijic1θD]R1θC+（siiic1+2ib1）θC+sijic1θD（21）

由節(jié)點(diǎn)C的平衡條件可得

MB+MCH+MCD=0（22）

將式（13），（17），（21）代入式（22），有

（siiR1ic1+2R1ib1+2R1ib2+2siiic1ib2+

4ib1ib2+siiR1ic2+s2iiic1ic2+2siiib1ic2）θ2C+

（sijR1ic1+2sijib2ic1+2siisijic1ic2+sijR1ic2+

2sijib1ic2）θCθD+s2ijic1ic2θ2D=0（23）

同理，由節(jié)點(diǎn)E的平衡條件可得

ME=MEF+MEJ（24）

將式（15），（19）代入式（25），有

ME=R2θD[（siiic3+2ib4）θD+sijic3θC]R2θD+（siiic3+2ib4）θD+sijic3θC（25）

由節(jié)點(diǎn)D的平衡條件可得

ME=MDI+MDC=0（26）

將式（14），（18），（25）代入式（26），有

（siiR2ic3+2R2ib4+2R2ib3+2siiib3ic3+

4ib3ib4+siiR2ic2+s2iiic2ic3+2siiib4ic2）θ2D+

（sijR2ic3+2sijic3ib3+2siisijic2ic3+sijR2ic2+

2sijib4ic2）θCθD+s2ijic2ic3θ2C=0（27）

引入框架梁對(duì)框架柱的約束系數(shù)Ki（i=1，2，3，4）及半剛性節(jié)點(diǎn)對(duì)框架柱的約束系數(shù)Ji（i=1，2，3，4），有

K1=ib1ic1，K2=ib2ic2，K3=ib3ic2，K4=ib4ic3（28）

J1=R1ic1，J2=R1ic2，J3=R2ic2，J4=R2ic3（29）

將式（28），（29）代入式（23），（27），有

（siiJ2+2J2K1+2J1K2+2siiK2+4K1K2+

siiJ1+s2ii+2siiK1）θ2C+（sijJ2+2sijK2+

2siisij+sijJ1+2sijK1）θCθD+s2ijθ2D=0（30）

（siiJ3+2J3K4+2J4K3+2siiK3+4K3K4+

siiJ4+s2ii+2siiK4）θ2D+（sijJ3+2sijK3+

2siisij+sijJ4+2sijK4）θCθD+s2ijθ2C=0（31）

式（30），（31）為只含二次項(xiàng)的二元二次方程組，可采用因式分解進(jìn)行簡(jiǎn)化，令

（θC+α1θD）（α2θC+α3θD）=0（32）

將式（32）代入式（30），有

α2=siiJ2+2J2K1+2J1K2+2siiK2+4K1K2+

siiJ1+s2ii+2siiK1（33）

α1α3=s2ij（34）

α1α2+α3=sijJ2+2sijK2+

2siisij+sijJ1+2sijK1（35）

同理，令

（α4θC+θD）（α5θC+α6θD）=0（36）

將式（36）代入式（31），有

α6=siiJ3+2J3K4+2J4K3+2siiK3+4K3K4+

siiJ4+s2ii+2siiK4（37）

α4α5=s2ij（38）

α4α6+α5=sijJ3+2sijK3+

2siisij+sijJ4+2sijK4（39）

聯(lián)立式（32），（36），并引入邊界條件0.5<μ<1，可得滿足條件的屈曲方程為

detα2α3

α5α6=0（40）

將計(jì)算所得α1，α2，…，α6代入式（40），有

{s2ii+2[J2K1+（J1+2K1）K2]+sii[J1+J2+

2（K1+K2）]}{s2ii+2[J4K3+（J3+2K3）K4]+

sii[J3+J4+2（K3+K4）]}-14s2ij[2sii+J1+J2+

2（K1+K2）+[J21+2J1（J2+2K1-2K2）+（J2-

2K1+2K2）2]1/2[2sii+J3+J4+2（K3+K4）+

[J23+2J3（J4+2K3-2K4）+（J4-2K3+

2K4）2]1/2=0（41）

將式（9），（10）代入式（41），即可得到關(guān)于柱計(jì)算長(zhǎng)度系數(shù)μ的計(jì)算公式。4柱計(jì)算長(zhǎng)度系數(shù)的簡(jiǎn)化計(jì)算公式

對(duì)于梁、柱剛接無(wú)側(cè)移多層多跨框架柱，各國(guó)較為通用的實(shí)用柱計(jì)算長(zhǎng)度系數(shù)公式為[8]

μ=0.64K1K2+1.4（K1+K2）+31.28K1K2+2（K1+K2）+3（42）

柱計(jì)算長(zhǎng)度系數(shù)公式最早于1966年被法國(guó)鋼結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范所采用[12]。1978年，歐洲鋼結(jié)構(gòu)協(xié)會(huì)將其列入了歐洲鋼結(jié)構(gòu)規(guī)范。Dumonteil[13]指出該公式不僅足夠精確，而且便于電算。中國(guó)規(guī)范[14]也將該公式作為確定框架柱計(jì)算長(zhǎng)度系數(shù)的推薦公式。

對(duì)于無(wú)側(cè)移半剛性連接箱式模塊化子框架，當(dāng)半剛性連接轉(zhuǎn)動(dòng)剛度很大時(shí)，可認(rèn)為節(jié)點(diǎn)剛接，此時(shí)柱的計(jì)算長(zhǎng)度系數(shù)可采用式（42）計(jì)算，其中

K1=ib1+ib2ic1+ic2（43）

K2=ib3+ib4ic2+ic3（44）

式（43），（44）為無(wú)側(cè)移半剛性連接箱式模塊化框架柱的邊界條件，當(dāng)半剛性連接轉(zhuǎn)動(dòng)剛度R1，R2足夠大時(shí)，無(wú)側(cè)移半剛性連接箱式模塊化框架柱計(jì)算長(zhǎng)度系數(shù)的簡(jiǎn)化計(jì)算公式應(yīng)該能回歸到式（42）的形式。

根據(jù)上述分析，無(wú)側(cè)移半剛性連接箱式模塊化框架柱計(jì)算長(zhǎng)度系數(shù)的簡(jiǎn)化計(jì)算公式如下

μ=0.64K′1K′2+1.4（K′1+K′2）+31.28K′1K′2+2（K′1+K′2）+3（45）

K′1=J2K1+（J1+α）K2J2+J1+α（46）

K′2=J3K4+（J4+α）K3J3+J4+α（47）

式中：K′1，K′2均為修正的柱端約束參數(shù)；α為待定常數(shù)。

當(dāng)半剛性連接轉(zhuǎn)動(dòng)剛度R1，R2足夠大時(shí)，可認(rèn)為節(jié)點(diǎn)剛接，此時(shí)R1，R2為等階無(wú)窮大，式（46），（47）可退化為式（43），（44）。

通過(guò)式（41）得到的柱計(jì)算長(zhǎng)度系數(shù)方程為超越方程，可通過(guò)數(shù)學(xué)軟件求出其數(shù)值解；通過(guò)實(shí)用柱計(jì)算長(zhǎng)度系數(shù)公式求得的柱計(jì)算長(zhǎng)度系數(shù)為μ′，采用最小二乘法，使得μ′與μ相對(duì)誤差最小，可求得待定常數(shù)α的取值為0.2。針對(duì)幾種常見(jiàn)Ki，Ji（i=1，2，3，4）值，μ，μ′及其相對(duì)誤差見(jiàn)表1。實(shí)用柱計(jì)算長(zhǎng)度系數(shù)公式所得值與理論公式所得值相對(duì)誤差均值為-1.19%。表1柱計(jì)算長(zhǎng)度系數(shù)的理論值、實(shí)用公式值與有限元值對(duì)比

Tab.1Comparison of Effective Length Factors of Columns Between Theoretical Results， Simplified Formulas

Results and Finite Element Results編號(hào)影響因素K1K2K3K4J1J2J3J4μμ′μ″μ′-μμ/%μ″-μμ/%10.20.60.60.60.750.750.750.750.861 80.855 40.819 8-0.740 8-4.870 720.40.60.80.20.504.005.002.000.880 60.877 30.842 1-0.370 0-4.376 030.60.40.81.04.000.250.753.000.834 20.836 70.799 70.296 6-4.138 5 40.80.40.62.03.002.005.001.000.774 50.774 50.723 0-0.001 7-6.644 0 51.00.41.50.22.005.001.004.000.781 60.775 70.733 9-0.758 5-6.099 7 61.50.41.00.65.001.004.000.250.839 60.836 30.810 7-0.394 7-3.447 3 72.00.81.52.50.502.000.750.250.711 10.698 80.676 6-1.734 2-4.847 482.50.42.02.50.250.753.002.000.736 40.693 60.735 7-5.818 4-0.088 9注：μ″為有限元模型所得柱計(jì)算長(zhǎng)度系數(shù)。5柱計(jì)算長(zhǎng)度系數(shù)的數(shù)值驗(yàn)證

為驗(yàn)證無(wú)側(cè)移半剛性連接箱式模塊化框架柱穩(wěn)定分析的正確性，采用有限元分析軟件SAP2000建立如圖4（a）所示的5層框架模型，層高為3 m，長(zhǎng)邊方向跨度為6 m，短邊方向跨度為2.4 m，梁、柱最大劃分長(zhǎng)度為0.1 m。梁采用槽鋼截面，柱采用方鋼管截面，底部柱腳剛接。文獻(xiàn)[7]在梁、柱半剛性連接無(wú)側(cè)移框架柱的計(jì)算長(zhǎng)度系數(shù)推導(dǎo)中考慮了半剛性節(jié)點(diǎn)的非線性彎矩轉(zhuǎn)角關(guān)系模型，指出豎向荷載作用下節(jié)點(diǎn)內(nèi)部可能已經(jīng)存在較大轉(zhuǎn)角，使得半剛性節(jié)點(diǎn)的實(shí)際剛度小于初始剛度。對(duì)于模塊化鋼框架，在豎向荷載作用下，上下相鄰模塊間的相對(duì)轉(zhuǎn)角很小，半剛性連接內(nèi)的彎矩可忽略不計(jì)，故本文直接采用半剛性節(jié)點(diǎn)的初始剛度進(jìn)行計(jì)算。模塊間連接采用線性彈簧模擬，約束彈簧X，Y，Z方向的平動(dòng)自由度以及彈簧X，Y方向的轉(zhuǎn)動(dòng)剛度按實(shí)際連接節(jié)點(diǎn)的初始剛度取值。毛磊[15]針對(duì)一種常用的模塊箱體連接節(jié)點(diǎn)進(jìn)行了節(jié)點(diǎn)試驗(yàn)，得到該種節(jié)點(diǎn)的初始轉(zhuǎn)動(dòng)剛度為4 930 kN·m·rad-1，有限元模型中按照該值進(jìn)行計(jì)算。約束框架頂層柱柱頂節(jié)點(diǎn)沿X，Y方向的轉(zhuǎn)動(dòng)自由度與平動(dòng)自由度，約束框架底層柱柱底節(jié)點(diǎn)沿X，Y方向的轉(zhuǎn)動(dòng)自由度與沿X，Y，Z方向的平動(dòng)自由度，使得整個(gè)框架的屈曲主要集中在中間3層。為模擬無(wú)側(cè)移條件，約束各梁、柱節(jié)點(diǎn)沿X，Y方向的平動(dòng)自由度。在框架頂層柱頂端施加單位豎向荷載，對(duì)框架進(jìn)行特征值屈曲分析，分析時(shí)剛度采用零初始條件零預(yù)應(yīng)力狀態(tài)，特征值收斂容差為1×10-9。

模型屈曲變形如圖4（b）所示。從圖4（b）可見(jiàn)，框架的1階屈曲模態(tài)與理論推導(dǎo)中所假設(shè)的子框架變形模態(tài)基本一致，且符合理論推導(dǎo)中的各分析假定。由有限元軟件所得柱計(jì)算長(zhǎng)度系數(shù)μ″及其與μ的相對(duì)誤差見(jiàn)表1。有限元模型所得結(jié)果與理論公式所得結(jié)果的相對(duì)誤差均值為-4.31%。

圖4有限元模型及其屈曲變形

Fig.4Finite Element Model and Its Buckling Deformation從圖4和表1可以看出，各柱實(shí)際變形與理論假設(shè)并不完全一致，且有限元模型所得柱計(jì)算長(zhǎng)度系數(shù)較理論值普遍偏小，這是由于理論計(jì)算采用的子框架模型假設(shè)各柱變形曲線相似，同時(shí)整個(gè)分析模型上下完全對(duì)稱。有限元模型中框架頂層、底層柱遠(yuǎn)端約束，且頂柱、底柱約束并不完全相同，這導(dǎo)致了整個(gè)模型并非完全上下對(duì)稱，各柱實(shí)際變形與理論假設(shè)并不完全一致，使得理論計(jì)算模型中假定的框架邊界約束條件弱于有限元模型。6柱計(jì)算長(zhǎng)度系數(shù)的影響因素

通過(guò)定性分析可知，框架柱計(jì)算長(zhǎng)度系數(shù)除了受到半剛性節(jié)點(diǎn)對(duì)柱約束系數(shù)J1，J2，J3，J4的影響以外，還受到框架梁對(duì)框架柱約束系數(shù)比值K1/K2，K4/K3的影響。當(dāng)K1/K2，K4/K3均為1時(shí)，子框架各柱的柱端約束系數(shù)相同，此時(shí)子框架屈曲時(shí)各柱的柱端轉(zhuǎn)角相同，半剛性節(jié)點(diǎn)內(nèi)的彎矩為0，此時(shí)柱計(jì)算長(zhǎng)度系數(shù)不隨半剛性連接節(jié)點(diǎn)剛度變化而改變，其簡(jiǎn)化計(jì)算公式（45）很好地反映了這一特性。通常無(wú)側(cè)移半剛性連接箱式模塊化框架中K1/K2，K4/K3并不為1，此時(shí)節(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)剛度將會(huì)對(duì)柱的計(jì)算長(zhǎng)度系數(shù)產(chǎn)生影響。

由子框架的對(duì)稱性可知，K4/K3對(duì)柱計(jì)算長(zhǎng)度系數(shù)的影響與K1/K2完全相同，故假設(shè)J1=J2=J3=J4，K1=K3=K4=1，僅改變J1及K2，以研究在不同K1/K2取值情況下J1對(duì)框架柱計(jì)算長(zhǎng)度系數(shù)μ的影響，所得結(jié)果如圖5所示。

圖5不同K1/K2情況下μ隨J1的變化曲線

Fig.5μJ1 Curves Under Different K1/K2 Cases從圖5可知：

（1）當(dāng)K1/K2=1時(shí)，柱計(jì)算長(zhǎng)度系數(shù)μ不隨J1的變化而變化，這與定性分析結(jié)果一致。

（2）當(dāng)K1/K2<1時(shí)，柱計(jì)算長(zhǎng)度系數(shù)μ隨J1的變大而變大并逐漸趨于穩(wěn)定。這是由于當(dāng)K1/K2<1時(shí)，節(jié)點(diǎn)對(duì)柱c2的彎矩方向與柱c2變形方向相同，該彎矩使柱c2的臨界荷載變小，μ值增大，且該彎矩隨節(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)剛度的增大而逐漸增大。反之，當(dāng)K1/K2>1時(shí)，μ隨J1的變大而變小并逐漸趨于穩(wěn)定。

（3）目前在模塊化建筑的設(shè)計(jì)中常忽略模塊間連接節(jié)點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)剛度，將其按照鉸接節(jié)點(diǎn)計(jì)算，這種方法可能導(dǎo)致柱計(jì)算長(zhǎng)度系數(shù)偏小，從而高估柱的穩(wěn)定承載力。7結(jié)語(yǔ)

（1）無(wú)側(cè)移半剛性連接箱式模塊化框架與普通鋼框架及梁、柱半剛性連接鋼框架有較大差別，針對(duì)無(wú)側(cè)移半剛性連接箱式模塊化鋼框架的穩(wěn)定計(jì)算不能直接套用傳統(tǒng)的計(jì)算方法，而應(yīng)采用本文提出的方法進(jìn)行計(jì)算。

（2）本文提出的實(shí)用柱計(jì)算長(zhǎng)度系數(shù)公式與理論解擬合精度較高，能夠較好地替代理論計(jì)算方法，簡(jiǎn)化無(wú)側(cè)移半剛性連接箱式模塊化框架柱的穩(wěn)定計(jì)算過(guò)程。

（3）有限元模型所得計(jì)算長(zhǎng)度系數(shù)較理論值普遍偏小， 這是由于有限元模型中子框架頂層、底層柱遠(yuǎn)端約束與分析模型并不完全相同導(dǎo)致的。有限元模型所得柱計(jì)算長(zhǎng)度系數(shù)與理論解的相對(duì)誤差均值為-4.31% ，在合理范圍內(nèi)，證明了理論分析的正確性。

（4）柱計(jì)算長(zhǎng)度系數(shù)除了受到半剛性節(jié)點(diǎn)剛度變化影響外，還受到上下相鄰模塊框架梁對(duì)框架柱約束系數(shù)比值K1/K2，K4/K3的影響；設(shè)計(jì)中若忽略模塊間連接節(jié)點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)剛度，將其按照鉸接節(jié)點(diǎn)計(jì)算可能會(huì)導(dǎo)致柱計(jì)算長(zhǎng)度系數(shù)偏小，從而高估柱的穩(wěn)定承載力。參考文獻(xiàn)：

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