神奇的莫比烏斯圈

渠慎情

本期話題劉同學的文章提到了莫比烏斯圈，它簡單，卻又令人神往。一百多年過去了，很多數(shù)學家、科學家、藝術家以及作家仍對其興趣盎然，充滿幻想。

如果你也有興趣的話，我們可以共同參與，來體會一下莫比烏斯圈的神奇。

操作一

取一個長方形紙帶ABCD（如圖1），把紙帶AB端固定不動，扭轉CD端半圈后，使得點A與點D重合，且點B與點C重合，就可得到莫比烏斯圈（如圖2）。

操作說明

這是最簡單的莫比烏斯圈。它的得到看似“一扭一粘”，其實，在這條看似簡單的紙帶上蘊含著許多數(shù)學、科學及藝術的思想。

操作二

用一支筆沿著帶子的中線描痕。如果筆不離開紙帶，那么筆尖能回到原點嗎？（見圖3）

操作說明

能回到原點（如圖4）。這體現(xiàn)了莫比烏斯圈單面的性質。

操作三

在紙帶的邊緣找一點A，如果你手不離紙，沿著紙帶向前移動，你還能回到點A嗎？

操作說明

能回到A點。這體現(xiàn)了莫比烏斯圈單邊的性質。

操作四

用一把剪刀沿著莫比烏斯圈的中心線剪開，結果是否會得到一個完整的圈呢？如果能剪出一個圈，那這個新圈是單邊單面的，還是雙邊雙面的？剪一剪，看一看。

操作說明

是一個圈，但不是單邊單面的。

實際上，如果初始環(huán)（圈）是扭轉n（奇數(shù)）個半圈得到的，那么沿紙帶的中心線剪開后得到的結果是扭轉2n+2個半圈的環(huán)。如果初始環(huán)是扭轉偶數(shù)個半圈得到的，那么沿中心線剪開后的結果是兩個分離的、更窄的，卻和原來一樣的環(huán)帶。

操作五

如果在紙條上劃兩條線，把紙條三等分，給中間部分涂色，粘成莫比烏斯圈。再用剪刀沿畫線剪開，猜一猜，剪開后的結果是什么，是一個大圈？還是三個圈兒？

操作說明

都不是。紙帶不是一分為二，而是一大一小（涂色部分）的相扣環(huán)。涂色的環(huán)與原來的紙帶長度相同，另一個長度是原紙帶的2倍長。如果把這些紙帶緊挨在一起，那么表面上會出現(xiàn)三個環(huán)，其中涂色的環(huán)似乎與其他兩個分離。

操作六

設想一個由某種透明的帶所構成的莫比烏斯圈的世界。在這樣的世界里有一個“平面人”，他是如同二維的側面黑色影像（如圖6）那樣出現(xiàn)在帶上的。這人從帶上的某個點開始散步，他走啊走，終于回到了原點。當他回到原地時，有什么奇怪的事情發(fā)生嗎？如果他一直走下去，什么時候是盡頭？

操作說明

這個“平面人”翻了個個，上下顛倒了，就像改變了方向?？墒?，他永遠也走不到盡頭。

這在劉同學的文章中有提及，即與手性有關。

操作七

查閱資料，看看莫比烏斯圈在現(xiàn)實生活中有哪些實際應用；有哪些莫比烏斯圈的藝術呈現(xiàn)形式？是一尊充滿神奇的雕塑，還是一段充滿懸念的時間旅行？