泊松過(guò)程的兩種定義及其等價(jià)性證明

王小芹,尚晶,王欣梅,李華慧

（安陽(yáng)學(xué)院數(shù)學(xué)教研室,河南安陽(yáng)455000）

泊松過(guò)程的兩種定義及其等價(jià)性證明

王小芹,尚晶,王欣梅,李華慧

（安陽(yáng)學(xué)院數(shù)學(xué)教研室,河南安陽(yáng)455000）

泊松過(guò)程在概率論及隨機(jī)過(guò)程教材中常見(jiàn)的定義有兩種,但往往沒(méi)有給出其嚴(yán)格的等價(jià)性證明.借助一階線性微分方程的求解和泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)公式,并利用數(shù)學(xué)歸納法證明,給出了這兩種定義等價(jià)性的詳細(xì)證明過(guò)程.

泊松過(guò)程；兩種定義；一階線性微分方程；等價(jià)性證明

許多隨機(jī)現(xiàn)象可以用Poisson過(guò)程來(lái)描述,并且自然界中的許多物理過(guò)程也可以用Poisson來(lái)刻畫(huà).理論上,Poisson過(guò)程是最重要的一類更新計(jì)數(shù)過(guò)程,同時(shí)也是一種最簡(jiǎn)單的連續(xù)時(shí)間純間斷馬氏鏈,因此有必要對(duì)其深入研究,但常見(jiàn)的資料中往往只給出兩種定義,沒(méi)有給出其嚴(yán)格的等價(jià)性證明[1-3],或者只給出簡(jiǎn)單思路[4].本文中給出這兩種定義等價(jià)性的詳細(xì)證明過(guò)程.

1 預(yù)備知識(shí)

計(jì)數(shù)過(guò)程定義：

圖1中的t1,t2,...是“質(zhì)點(diǎn)”依次出現(xiàn)的時(shí)刻.

一階線性微分方程求解[5]

定義1（Poisson過(guò)程Ⅰ）

（1）在不相重疊的區(qū)間上的增量具有獨(dú)立性；

（2）對(duì)于充分小的?t

其中常數(shù)λ>0,稱為過(guò)程N(yùn)(t)的強(qiáng)度,ο(?t)是當(dāng)?t→0關(guān)于?t的高階無(wú)窮小；

（3）對(duì)于充分小的?t

（4）N(0)=0.

定義2（Poisson過(guò)程Ⅱ）

若計(jì)數(shù)過(guò)程{N( t), t≥0}滿足以下3個(gè)條件：

（i）它是平穩(wěn)獨(dú)立增量過(guò)程；

（ii）對(duì)任意的t>t0≥0,增量N( t)?N( t0)~(λ(t?t0))；

（iii）N(0)=0.

那么稱{N( t), t≥0}是一強(qiáng)度為λ的泊松過(guò)程.

2 主要結(jié)果及證明（等價(jià)性證明）

證明：定義Ⅰ?定義Ⅱ

顯然,條件（i）（,iii）成立,只需證明N(t0,t)服從參數(shù)為λ(t?t0)的泊松分布,且只與時(shí)間差t?t0有關(guān),即條件（ii）.

移項(xiàng)

兩邊同時(shí)除以?t得

令?t→0得

又N(t0,t0)=0,故P0(t0,t0)=1.

求解滿足初始條件的一階線性微分方程

由初始條件P0(t0,t0)=1,及一階線性微分方程情形1,

步驟2：計(jì)算Pk(t0,t ),k≥1

由和概率事件公式和條件1可得

因?yàn)?/p>

所以

由條件2和（1）式得

移項(xiàng)

兩邊同時(shí)除以?t得

令?t→0得

又N(t0,t0)=0,故Pk(t0,t0)=0,k≥1

求解滿足初始條件的遞歸線性微分方程

步驟3：k=1時(shí)

如此重復(fù),依次令k=2,3,...,可計(jì)算出

假設(shè)k-1時(shí)結(jié)論成立,則

條件3得證.

條件4得證.

綜上所述,泊松過(guò)程常見(jiàn)的兩種定義是等價(jià)的.

[1]盛驟.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)[M].北京：高等教育出版社,2001：328-340.

[2]王梓坤.隨機(jī)過(guò)程通論[M].北京：北京師范大學(xué)出版社.2010.

[3]楊廣宇.隨機(jī)過(guò)程[M].鄭州：鄭州大學(xué)出版社,2012：31-35.

[4]陳立強(qiáng).泊松過(guò)程兩種定義等價(jià)性證明[J].安康學(xué)院學(xué)報(bào).2014,26（4）：98-100.

[5]王鴻業(yè).常微分方程[M].鄭州：鄭州大學(xué)出版社,2010：21-26.

[6]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析[M].北京：高等教育出版社,2001：51-53.

（責(zé)任編輯：盧奇）

Two kinds of definition from Poisson process and equivalence proof

WANG Xiaoqin,SHANG Jing,WANG Xinmei,LI Huahui
（Math StaffRoom,AnyangUniversity,Anyang455000,China）

There are two kinds of common definition about Poisson process in respect to the theory of probability and stochastic process,but its strict equivalence are not be proven.Therefore,the detailed proof of equivalence was given based on linear first-order differential equation and Taylor series and by using mathematical induction in this paper.

Poisson process；two kinds of definition；linear first-order differential equation；equivalence proof

O211.62

A

1008-7516（2016）05-0048-04

10.3969/j.issn.1008-7516.2016.05.010

2016-08-31

王小芹（1990—）,女,河南新鄉(xiāng)人,碩士,講師.主要從事馬氏過(guò)程分析研究.