一種改進(jìn)的近似等面積QTM剖分模型

趙學(xué)勝，苑爭(zhēng)一，趙龍飛，朱思坤

中國(guó)礦業(yè)大學(xué)(北京)地球科學(xué)與測(cè)繪工程學(xué)院，北京 100083

An Improved QTM Subdivision Model with Approximate Equal-area

ZHAO Xuesheng,YUAN Zhengyi,ZHAO Longfei,ZHU Sikun

College of Geoscience and Surveying Engineering, China University of Mining & Technology(Beijing), Beijing 100083, China

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一種改進(jìn)的近似等面積QTM剖分模型

趙學(xué)勝，苑爭(zhēng)一，趙龍飛，朱思坤

中國(guó)礦業(yè)大學(xué)(北京)地球科學(xué)與測(cè)繪工程學(xué)院，北京 100083

Foundation support： General Program of the National Natural Science Foundation of China(No. 41171306); Young Program of the National Natural Science Foundation of China(No. 41201416)

摘要：為克服傳統(tǒng)QTM格網(wǎng)面積變形較大的缺陷，在“緯線法”剖分的基礎(chǔ)上，引入變經(jīng)緯度等面積剖分的思想，提出了一種新的等面積改進(jìn)剖分模型。該模型通過調(diào)整緯線的位置，確保兩條相鄰緯線間的格網(wǎng)面積總和無變化，從而達(dá)到控制QTM格網(wǎng)面積變化及變化積累的目的。試驗(yàn)結(jié)果表明,該改進(jìn)模型在保留了“緯線法”QTM剖分的優(yōu)點(diǎn)(如計(jì)算簡(jiǎn)單、與經(jīng)緯度格網(wǎng)間的對(duì)應(yīng)關(guān)系明確等)以外，還具有以下優(yōu)勢(shì)：①模型的收斂性更好，格網(wǎng)單元面積最大、最小比最終收斂到1.38，遠(yuǎn)小于“緯線法”的1.73；②中低緯度區(qū)的格網(wǎng)單元面積變化較小，分布連續(xù)，且隨剖分層次的增加，變化大的格網(wǎng)區(qū)域逐漸向兩極移動(dòng)集中；③格網(wǎng)單元的面積變化不會(huì)隨層次的增加而累積增大。

關(guān)鍵詞：全球離散格網(wǎng)；四元三角網(wǎng)；緯線環(huán)；格網(wǎng)幾何變形

隨著全球一體化研究的深入，越來越多的宏觀應(yīng)用需要在大范圍甚至全球尺度上進(jìn)行，傳統(tǒng)地圖投影在有效性、精確性和連續(xù)性等方面具有一定的局限性[1-2]。而全球離散格網(wǎng)(discrete global grid,DGG)模型的提出，為構(gòu)建大范圍、多分辨率、全球統(tǒng)一無縫的空間定位基礎(chǔ)框架提供了一個(gè)新的解決思路。其中，文獻(xiàn)[3]提出的四元三角網(wǎng)(quaternary triangular mesh,QTM)模型具有層次組織、全球連續(xù)和格網(wǎng)單元形狀統(tǒng)一等特性，在許多領(lǐng)域得到了較為廣泛的應(yīng)用，如全球數(shù)據(jù)的組織與管理[4-6]、全球數(shù)據(jù)質(zhì)量與地圖綜合[3]、全球地形可視化[7]、全球多分辨率水淹模擬[8-9]、全球影像數(shù)據(jù)檢索[10]、數(shù)字地形索引及壓縮模型[11]，等。但是該模型同層格網(wǎng)面積變化較大，且變化區(qū)域呈帶狀分布，誤差較難控制，使許多地學(xué)應(yīng)用的統(tǒng)計(jì)分析無法進(jìn)行。所以，構(gòu)建QTM等面積(或近似等面積)剖分單元模型問題，已成為目前制約其廣泛應(yīng)用的主要因素之一。而傳統(tǒng)的球面等面積格網(wǎng)剖分模型，除了應(yīng)用等面積投影(如Rosca&Plonka等面積投影[12]、Snyder等面積投影[13])外，大多數(shù)是采用變經(jīng)緯度剖分方案[14-19]，其格網(wǎng)單元多為球面四邊形，不但存在著嵌套困難及鄰近搜索復(fù)雜等缺陷[2,20]，且很難移植到QTM模型上。為此，文獻(xiàn)[21]提出了一種基于小圓弧的等面積剖分模型，但該方法計(jì)算復(fù)雜，坐標(biāo)轉(zhuǎn)換困難。而文獻(xiàn)[22]針對(duì)傳統(tǒng)投影方法計(jì)算復(fù)雜的缺陷，推導(dǎo)出一種新的等面積投影公式。該公式具有對(duì)稱性，計(jì)算簡(jiǎn)便，但是仍然沒有解決傳統(tǒng)投影方法邊界扭曲嚴(yán)重的缺陷，且球面點(diǎn)定位復(fù)雜，影響坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的效率。文獻(xiàn)[23]提出的基于傳統(tǒng)QTM剖分的改進(jìn)模型——“緯線法”剖分方案，主要提高了格網(wǎng)數(shù)據(jù)與地理坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換效率，但其剖分單元面積變化問題仍然沒有得到實(shí)質(zhì)性的改變。

為此，本文在“緯線法”QTM剖分的基礎(chǔ)上，引入Bj?rke變經(jīng)緯度剖分的思想，提出一個(gè)基于“緯線環(huán)法”的球面近似等面積四元三角剖分模型。該方案既保留了傳統(tǒng)QTM剖分模型的層次嵌套性、格網(wǎng)統(tǒng)一性和全球無縫連續(xù)性等特點(diǎn)，又將同層格網(wǎng)單元的面積變化控制在了很小的范圍內(nèi)，完全滿足了絕大部分應(yīng)用的需求。

1“緯線環(huán)法”剖分方案基本原理

1.1“分割緯線”的緯度計(jì)算方法

將球面上兩條相鄰緯線間的環(huán)狀區(qū)域稱為“緯線環(huán)”(圖1)。以八分之一球面為例，具體剖分原理如下：對(duì)于某個(gè)特定的剖分層次，首先用八分之一球面的面積去除該層次包含格網(wǎng)單元的個(gè)數(shù)，得到理想剖分單元的面積；接下來從極點(diǎn)開始(B0=90°)，依次確定每條分割緯線的位置，使得相鄰兩條緯線間的“緯線環(huán)”面積，等于該條“緯線環(huán)”所包含的三角形的個(gè)數(shù)與理想剖分單元面積的乘積，從而確保該條“緯線環(huán)”的面積無變化。該方法可以將剖分單元面積變化控制在“緯線環(huán)”的內(nèi)部，從而控制面積變化及變化積累，達(dá)到近似等面積剖分的效果。所以，該剖分方法稱為“緯線環(huán)法”。分割緯線緯度的計(jì)算方法及推導(dǎo)過程如下。

圖1　“緯線環(huán)”及其在XOY面上的投影Fig.1　“Parallel loop” and its projection on the XOY

式(1)為球心位于坐標(biāo)原點(diǎn)的球面方程。根據(jù)二重積分的原理，可以求得相鄰兩條緯線所夾的“緯線環(huán)”的面積(如圖1(a)中陰影部分)，計(jì)算過程如下

(1)

(2)

上述積分中，A表示“緯線環(huán)”的面積；Dxoy為緯線環(huán)在XOY面上的投影區(qū)域；R為球面半徑。化為極坐標(biāo)形式解上述二重積分可得

(3)

以正八面體的一個(gè)面為例，解出八面體上一條“緯線環(huán)”(如圖2(b)中陰影部分)的面積如下

(4)

圖2　分割緯線求解過程示意圖Fig.2　Schematic diagram of solving segmentation parallel

式(4)中，r1=RcosB1、r2=RcosB2，其中，B1、B2為待求的未知數(shù)，用每一條“緯線環(huán)”所包含的格網(wǎng)單元個(gè)數(shù)乘以理想剖分單元面積，得到該條“緯線環(huán)”的理想面積，并代入式(4)的右端構(gòu)造方程，可解出每條分割緯線的緯度。進(jìn)而按照等分經(jīng)度的方法進(jìn)一步分割，得到每一個(gè)QTM格網(wǎng)結(jié)點(diǎn)的經(jīng)緯度坐標(biāo)。分割緯線緯度求解的具體步驟如下。

(1) 首先確定第1條分割緯線的位置(i=1)。此時(shí)，B0=90°、r1=RcosB0、r2=RcosB1，n表示剖分層次。代入式(4)可得

(5)

解式(5)可得，第1條緯線的緯度B1為

(6)

(2) 根據(jù)第1條分割緯線的位置確定第2條的位置(i=2)。將r1=RcosB1、r2=RcosB2代入式(4)可得

(7)

解式(7)，得到第2條緯線的緯度B2為

(8)

(3) 以此類推，遞歸求解各分割緯線的位置，第i條緯線的緯度Bi見式(9)，其中0≤i≤2n，B0=90°

(9)

(4) 接下來按“平分經(jīng)度”的方法確定模型的經(jīng)度間隔，得到剖分單元節(jié)點(diǎn)的經(jīng)緯度坐標(biāo)。借鑒“緯線法”QTM剖分方案[20]，用大圓弧線連接三角形格網(wǎng)的左右兩邊，而底邊用兩點(diǎn)間的緯線代替。

總之，在本文的剖分方法中，由于采用了“緯線環(huán)”的遞歸細(xì)分方法，下一級(jí)單元將保留其上一級(jí)單元的分割緯線，而“經(jīng)度平分”則保證了上下層單元的格網(wǎng)節(jié)點(diǎn)具有簡(jiǎn)單明確的層次對(duì)應(yīng)關(guān)系。這些特性將有利于全球多層次格網(wǎng)數(shù)據(jù)之間的查詢與檢索。

1.2剖分單元面積計(jì)算

球面三角形的3條邊是大圓弧線，由于上述剖分方案中的三角形格網(wǎng)的底邊是緯線，因此不能直接應(yīng)用球面三角形面積計(jì)算公式進(jìn)行計(jì)算。筆者采取文獻(xiàn)[23]求解的方法，將三角形格網(wǎng)的底邊緯線細(xì)分，用大圓弧線代替細(xì)分后的緯線求解子三角形的面積(如圖3所示)。細(xì)分得越密，計(jì)算精度越高。

圖3　剖分單元面積的近似計(jì)算Fig.3　Approximate computation of area of subdivision unit

設(shè)A、B、C為球面上任意3點(diǎn)，X1、X2、X3分別為A、B、C3點(diǎn)的向量(笛卡兒坐標(biāo)系坐標(biāo))，則球面三角形ABC的曲面面積為

(10)

i=1、2、3；X0=X3;X4=X1

(11)

如圖3所示，現(xiàn)將三角形格網(wǎng)單元ABC的緯線底邊AB按經(jīng)度平分成n段，緯線AB的長(zhǎng)度用n段大圓弧線ajaj+1代替，三角形格網(wǎng)ABC的面積用n個(gè)小的球面三角形ajCaj+1來代替，三角形格網(wǎng)的曲面面積的計(jì)算公式如下

(12)

2試驗(yàn)結(jié)果及分析

本試驗(yàn)采用上述方法構(gòu)建了改進(jìn)的球面QTM模型，并與“緯線法”QTM模型進(jìn)行了對(duì)比。以八分之一球面為例，兩種QTM剖分模型及它們之間的疊加效果如圖4所示。從圖中可以看出，改進(jìn)后的“緯線環(huán)”法剖分，其分割緯線向極點(diǎn)方向移動(dòng)，緯度大于相應(yīng)的“緯線法”分割緯線的緯度。本節(jié)將從剖分模型的收斂性、格網(wǎng)單元面積的空間分布以及格網(wǎng)單元面積變化率的分布區(qū)段3個(gè)方面出發(fā)，對(duì)比兩種剖分模型的差異。

2.1剖分模型收斂性分析

以八面體的一個(gè)面為例，計(jì)算了10個(gè)層次的格網(wǎng)單元面積的最大最小值比(area_max/min)、標(biāo)準(zhǔn)差(area_SD)(表1)及其兩種剖分模型隨層次變化的變化趨勢(shì)圖(圖5)。從圖中可以看出：隨著剖分層次的增加，兩種模型的剖分單元面積最大、最小值比越來越大，但其變化速度越來越小，最終收斂到1.38和1.73左右；剖分單元面積標(biāo)準(zhǔn)差越來越小，其變化速度也越來越小，最終趨于穩(wěn)定。

圖4　兩種剖分方案及其疊加效果Fig.4　Two kinds of subdivision schemes and their superposition

層次三角形個(gè)數(shù)緯線法改進(jìn)方法area-max/minarea_SDarea-max/minarea_SD1 41.3538125650.5171364451.1866617550.4714045212161.5304632780.3435906891.2696279240.3042287483641.6770299770.2584875161.3380297100.16774811942561.7147164650.2366518981.3645971140.095451834510241.7242078970.2296806611.3712828960.054390527640961.7265849160.2274552241.3729561820.0304004887163841.7271788710.2267698051.3733728740.0166870418655361.7273260770.2265659271.3734728710.00903159392621441.7273590000.2265079131.3734854700.0048362641010485761.7273444000.2264984791.3734202850.002568582

圖5　area_max/min和area_SD隨剖分層次的收斂特征Fig.5　Convergent characters of area_max/min and area_SD by partition levels increasing

2.2剖分單元面積變化分布區(qū)段研究

根據(jù)式(13)計(jì)算格網(wǎng)單元相對(duì)于理想剖分單元的面積變化率。其中，area為剖分單元面積；areanorm為理想剖分單元面積。

(13)

原“緯線法”QTM剖分單元面積變化率分布區(qū)段見表2?？梢钥闯觯涸心Ｐ驮谇皫讓悠史种忻娣e變化率的分布無明顯規(guī)律，在第4層以后趨于穩(wěn)定，只有22%左右的格網(wǎng)單元面積變化率在±5%以內(nèi)，同時(shí)，模型的面積變化情況并沒有隨著層次的增加得到改善。

改進(jìn)后的“緯線環(huán)法”QTM剖分單元面積變化率分布區(qū)段見表3?？梢钥闯觯涸摳倪M(jìn)模型在前幾層剖分中面積變化率的分布無明顯規(guī)律，在第5層以后趨于穩(wěn)定，50%以上的格網(wǎng)單元面積變化率分布在(-1%，1%)以內(nèi)；將該區(qū)段進(jìn)一步細(xì)分，并統(tǒng)計(jì)了剖分單元面積率在6—10層的分布情況，可以看出，格網(wǎng)單元面積變化情況繼續(xù)得到改善，第8層以后剖分單元面積變化率被控制在±0.25%以內(nèi)達(dá)90%以上，到第10層則達(dá)到99.3%。

表2　“緯線法”剖分單元面積變化率分布區(qū)段

表3　“緯線環(huán)法”剖分單元面積變化率分布區(qū)段

2.3剖分單元面積變化位置分布研究

以八面體的一個(gè)面為例，將球面剖分5、6、7層，給每個(gè)面積變化率分布區(qū)段對(duì)應(yīng)一個(gè)特定的灰度值，借助DirectX繪制了剖分模型面積變化率的位置分布灰度圖(如圖6、7、8)。圖中淺色區(qū)域的格網(wǎng)單元面積變化率較小，深色區(qū)域較大。

從圖6—圖8及其層次變化可以看出：①“緯線法”剖分得到的QTM剖分模型，只有中緯度區(qū)域有少量格網(wǎng)面積變化在1%以內(nèi)，并呈帶狀分布，高緯度和赤道附近區(qū)域大部分格網(wǎng)單元的面積變化率均大于5%；②改進(jìn)后的“緯線環(huán)法”QTM剖分模型，中低緯度區(qū)域大部分格網(wǎng)單元的面積變化率集中在1%以內(nèi)，且分布均勻，只有高緯度近極點(diǎn)區(qū)域格網(wǎng)面積變化率較大；③隨著剖分層次的增加，“緯線法”剖分模型的變化區(qū)域無明顯變化，而改進(jìn)后“緯線環(huán)法”剖分模型，其變化邊界(變化率=1%)逐漸向極點(diǎn)方向移動(dòng)，變化率<1%的范圍越來越大。

圖6　剖分單元面積變化率的位置分布(第5層)Fig.6　Location distributions of the area variation rate of subdivision units (the 5th level)

圖7　剖分單元面積變化率的位置分布(第6層)Fig.7　Location distributions of the area variation rate of subdivision units (the 6th level)

圖8　剖分單元面積變化率的位置分布(第7層)Fig.8　Location distributions of the area variation rate of subdivision units (the 7th level)

3結(jié)語

本文針對(duì)傳統(tǒng)QTM模型格網(wǎng)面積變形較大的缺陷，在“緯線法”QTM剖分的基礎(chǔ)上，提出一種近似等面積的剖分方案——“緯線環(huán)法”QTM剖分模型。通過與“緯線法”剖分模型進(jìn)行對(duì)比試驗(yàn)，得出以下結(jié)論：

(1) 面積變化小。隨著格網(wǎng)的不斷細(xì)化，格網(wǎng)單元面積的最大最小值之比越來越大，標(biāo)準(zhǔn)差越來越小，變化速度越來越小，最終都趨于收斂。相比之下，改進(jìn)后的“緯線環(huán)法”剖分模型的面積收斂性更好，這表明改進(jìn)模型的格網(wǎng)面積分布更加均勻，各格網(wǎng)單元之間有更好的相似性。改進(jìn)后的剖分模型，格網(wǎng)單元的面積變化率更小，至第10層剖分，“緯線法”QTM模型只有22%左右的格網(wǎng)面積變化率在5%以內(nèi)，而“緯線環(huán)法”QTM模型99%以上的格網(wǎng)面積變化率被控制在0.25%以內(nèi)。

(2) 位置分布明確。隨著剖分層次的增加，改進(jìn)后的“緯線環(huán)法”剖分模型，變化邊界向兩極移動(dòng)，中低緯度區(qū)域近似等面積剖分。此外，面積變化不會(huì)隨剖分層次的增加而積累，相反會(huì)逐漸減小。這一特點(diǎn)，非常有利于誤差控制與分析。

(3) 計(jì)算簡(jiǎn)便。相比于“投影法”以及“小圓弧法”得到的等面積球面離散格網(wǎng)模型，該改進(jìn)后的QTM剖分模型由于不需要復(fù)雜的數(shù)學(xué)變換，計(jì)算更加簡(jiǎn)便。

此外，由于改進(jìn)模型的三角形格網(wǎng)的底邊或頂邊(上三角形對(duì)應(yīng)底邊，下三角型對(duì)應(yīng)頂邊)為緯線，格網(wǎng)與常規(guī)地理坐標(biāo)間的對(duì)應(yīng)關(guān)系更加明確。

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(責(zé)任編輯：叢樹平)

修回日期： 2015-06-25

First author： ZHAO Xuesheng (1967—), male, professor, majors in modeling & 3D visualization of the global discrete grids.

E-mail： zxs@cumtb.edu.cn

Corresponding author： YUAN Zhengyi

E-mail： yuanzhengyi001@163.com

An Improved QTM Subdivision Model with Approximate Equal-area

ZHAO Xuesheng,YUAN Zhengyi,ZHAO Longfei,ZHU Sikun

College of Geoscience and Surveying Engineering, China University of Mining & Technology(Beijing), Beijing 100083, China

Abstract：To overcome the defect of large area deformation in the traditional QTM subdivision model, an improved subdivision model is proposed which based on the “parallel method” and the thought of the equal area subdivision with changed-longitude-latitude. By adjusting the position of the parallel, this model ensures that the grid area between two adjacent parallels combined with no variation, so as to control area variation and variation accumulation of the QTM grid. The experimental results show that this improved model not only remains some advantages of the traditional QTM model(such as the simple calculation and the clear corresponding relationship with longitude/latitude grid, etc), but also has the following advantages: ①this improved model has a better convergence than the traditional one. The ratio of area_max/min finally converges to 1.38, far less than 1.73 of the “parallel method”; ②the grid units in middle and low latitude regions have small area variations and successive distributions; meanwhile, with the increase of subdivision level, the grid units with large variations gradually concentrate to the poles; ③the area variation of grid unit will not cumulate with the increasing of subdivision level.

Key words：discrete global grid system; QTM; parallel ring method; geometry deformation of grid

通信作者：苑爭(zhēng)一

作者簡(jiǎn)介：第一 趙學(xué)勝(1967—)，男，教授，研究方向?yàn)槿螂x散格網(wǎng)建模與三維可視化。

收稿日期：2014-11-17

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金面上項(xiàng)目(41171306)；國(guó)家自然科學(xué)基金青年項(xiàng)目(41201416)

中圖分類號(hào)：P208

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1001-1595(2016)01-0112-07

引文格式：趙學(xué)勝，苑爭(zhēng)一，趙龍飛,等.一種改進(jìn)的近似等面積QTM剖分模型[J].測(cè)繪學(xué)報(bào)，2016,45(1)：112-118.DOI:10.11947/j.AGCS.2016.20140598.

ZHAO Xuesheng,YUAN Zhengyi,ZHAO Longfei,et al.An Improved QTM Subdivision Model with Approximate Equal-area[J]. Acta Geodaetica et Cartographica Sinica,2016,45(1):112-118.DOI:10.11947/j.AGCS.2016.20140598.