一種預(yù)處理的恒模波束形成算法*

尹申燕,曾 浩,趙 靜

(1.中電集團(tuán)第29研究所,四川 成都 610036;2.重慶大學(xué),重慶 400044)

波束形成技術(shù)已廣泛用于通信、雷達(dá)、聲納等領(lǐng)域[1-2]。波束形成技術(shù)通常包括非盲自適應(yīng)波束合成與盲自適應(yīng)波束合成。非盲自適應(yīng)波束形成算法通過發(fā)送訓(xùn)練序列或者根據(jù)期望信號(hào)的波達(dá)方向DOA(Direction of Arrival)來捕獲期望信號(hào)，并抑制干擾信號(hào)。但發(fā)送訓(xùn)練序列會(huì)占用一定的頻譜資源[3]，在頻譜資源日益緊張的今天無疑不合適宜，而根據(jù)期望信號(hào)的DOA來捕獲期望信號(hào)時(shí)，期望信號(hào)的DOA估計(jì)往往存在誤差，DOA誤差也會(huì)導(dǎo)致自適應(yīng)算法失效[4]，而捕獲不到期望信號(hào)。盲波束形成算法利用信號(hào)本身的性質(zhì)來捕獲信號(hào)，如恒模特性、高斯性以及循環(huán)平穩(wěn)性[5-6]。恒模波束形成算法利用了信號(hào)的恒模特性來捕獲期望信號(hào)，不需要訓(xùn)練序列，節(jié)省了頻譜資源，也不需要考慮期望信號(hào)DOA估計(jì)存在誤差時(shí)穩(wěn)健性差的問題。但傳統(tǒng)恒模算法由于僅利用了信號(hào)的恒模特性，當(dāng)期望信號(hào)和干擾信號(hào)都為恒模信號(hào)且干擾信號(hào)的功率大于期望信號(hào)的功率(即干擾信號(hào)的恒模特性大于期望信號(hào)的恒模特性)時(shí)，傳統(tǒng)恒模算法會(huì)捕獲恒模特性強(qiáng)的干擾信號(hào),出現(xiàn)干擾捕獲現(xiàn)象[7]。

本文利用天線陣列接收到的數(shù)據(jù)矩陣的協(xié)方差矩陣與期望信號(hào)的功率，構(gòu)造新的協(xié)方差矩陣，新的協(xié)方差矩陣關(guān)于期望信號(hào)對角最小化，將新的協(xié)方差矩陣的最小特征值對應(yīng)的特征向量作為恒模迭代算法的初始值進(jìn)行迭代運(yùn)算，此算法能夠很好地克服干擾捕獲問題，捕獲期望信號(hào)并抑制干擾信號(hào)。

1 自適應(yīng)陣列天線模型

自適應(yīng)陣列天線包括了天線陣面、射頻前端、信號(hào)采樣和信號(hào)處理模塊[8]，其結(jié)構(gòu)框圖如圖1所示。

圖1 自適應(yīng)陣列天線結(jié)構(gòu)

由于射頻信號(hào)頻率高，直接射頻采樣要求后級(jí)ADC轉(zhuǎn)換速率高，這樣采樣數(shù)據(jù)量增大,后級(jí)DSP或FPGA處理的運(yùn)算量也會(huì)加大，系統(tǒng)的實(shí)時(shí)性變差，故將天線接收到的信號(hào)進(jìn)行下變頻到中頻處理。天線陣列接收到的模擬射頻信號(hào)x(t)在射頻前端與本振信號(hào)混頻，得到模擬的中頻信號(hào)。利用奈奎斯特采樣定理對模擬中頻信號(hào)進(jìn)行采樣，得到數(shù)字中頻信號(hào)，不妨設(shè)經(jīng)ADC采樣后的數(shù)字中頻信號(hào)為y(t)，根據(jù)應(yīng)用環(huán)境，選擇相應(yīng)的自適應(yīng)濾波算法得到權(quán)矢量w(t)，用權(quán)矢量 w(t)對各陣元接收到的信號(hào)進(jìn)行加權(quán)求和來有效地合并各陣元接收到的信號(hào)，以捕獲期望信號(hào)并抑制干擾信號(hào)。

假設(shè)采用N個(gè)陣元的均勻線陣，陣元間距為d，采樣快拍數(shù)為K。中頻采樣后期望信號(hào)為s0(k),其DOA為θ0，設(shè)期望信號(hào)的方向矢量 v0:

其中，T 表示轉(zhuǎn)置,φ0=k0dsinθ0，k0為自由空間波數(shù)。 空間中同時(shí)存在 I個(gè)同頻干擾 si(k)，i=1,2,…，I,其對應(yīng) DOA分別為 θi，方向矢量分別為 vi:

其中，φi=k0dsinθi。系統(tǒng)中存在加性高斯白噪聲，則 ADC采樣后陣列接收到的信號(hào)表示為矢量快拍y(k)：

其中，k為采樣快拍序號(hào)，A為期望信號(hào)與各個(gè)干擾信號(hào)的方向矢量v(θi)組成的流型矩陣：

s(k)為期望信號(hào)與干擾信號(hào)組成的矢量快拍：

n(k)為加性高斯白噪聲。

根據(jù)相應(yīng)應(yīng)用環(huán)境，如雷達(dá)、聲納、衛(wèi)星通信等環(huán)境，選擇適當(dāng)?shù)拿せ蚍敲ぷ赃m應(yīng)濾波算法產(chǎn)生權(quán)矢量w(k)，各陣元接收信號(hào)y(k)經(jīng)權(quán)矢量 w(k)加權(quán)求和得到信號(hào)z(k):

式中，H表示共軛轉(zhuǎn)置。多陣元接收到的多路信號(hào)合成一路信號(hào)，使得陣列方向圖的主瓣對準(zhǔn)期望信號(hào)，零陷對準(zhǔn)干擾信號(hào)，最大限度地捕獲期望信號(hào)并抑制干擾信號(hào)。

2 恒模波束形成算法

2.1 最小二乘恒模算法

最小二乘恒模算法LSCMA(Least Square Constant Modules Algorithm)是利用非線性最小二乘即高斯法來推廣設(shè)計(jì)的恒模算法[9]。由于發(fā)射信號(hào)具有恒定的包絡(luò)，設(shè)陣列輸出端期望信號(hào)的幅值為1，則代價(jià)函數(shù)為:

其中，|gk(w)|為第k個(gè)信號(hào)的非線性函數(shù)，代價(jià)函數(shù)具有部分Taylor級(jí)數(shù)展開的平方和形式:

式(8)中d稱為偏差向量，且

代價(jià)函數(shù)F(w+d)相對于偏差向量d的梯度向量為:

令▽d(F(w+d))=0，則使代價(jià)函數(shù)F(w+d)最小的偏差向量為:

將偏差向量d與權(quán)向量w(k)相加，即可得到使得代價(jià)函數(shù)最小的新的權(quán)矢量w(k+1)，即:

式(12)中，

r(k)代表對z的硬限幅運(yùn)算，

2.2 預(yù)處理的最小二乘恒模算法

設(shè)天線陣列接收到的數(shù)據(jù)矩陣的協(xié)方差矩陣為Ry:

Ry的特征根中有 N-(I+1)個(gè)最小特征根且為重根 σ2，σ2為噪聲功率，有I+1個(gè)較大的特征根，這I+1個(gè)較大的特征根取決于信號(hào)功率、信號(hào)的時(shí)間相關(guān)性和陣列的空間相關(guān)性[10]。

若只有兩個(gè)功率分別為P1、P2的信源作用于陣列，且兩個(gè)信源在時(shí)間上獨(dú)立無關(guān)，協(xié)方差矩陣兩個(gè)較大的特征值分別為:

由于代價(jià)函數(shù)中將期望信號(hào)輸出設(shè)為1，故恒模算法會(huì)捕獲恒模特性強(qiáng)的信號(hào)，存在誤收斂特性。恒模算法對權(quán)矢量的初始值十分敏感，不恰當(dāng)?shù)某跏蓟瘯?huì)導(dǎo)致恒模算法收斂到局部極小值點(diǎn)。由以上分析得知協(xié)方差矩陣的特征值與信號(hào)功率相關(guān)，故對協(xié)方差矩陣做相應(yīng)的預(yù)處理，得到新的協(xié)方差矩陣并使得新的協(xié)方差矩陣關(guān)于期望信號(hào)對角最小化，利用新的協(xié)方差矩陣最小特征值對應(yīng)的特征向量作為權(quán)值的初始值，使得權(quán)值能夠收斂到最小點(diǎn)，以實(shí)現(xiàn)無論期望信號(hào)功率大還是干擾信號(hào)功率大時(shí)都能捕獲期望信號(hào)，預(yù)處理的最小二乘算法具體步驟如下：

(1)構(gòu)造新的協(xié)方差矩陣Ryy=Ry-NPE,其中P為期望信號(hào)功率，E為單位矩陣；

(2)求協(xié)方差矩陣Ryy的最小特征值對應(yīng)的特征向量v0；

(3)初始化 w(0)=v0，k=0；

(4)迭代更新 k=k+1：

(5)取收斂后的權(quán)矢量w(K)進(jìn)行波束合成。

3 仿真分析

采用均勻線陣進(jìn)行仿真分析，陣元數(shù) N=8，若期望信號(hào)功率為 10 dB，干擾信號(hào)功率為8 dB，期望信號(hào)入射角度為 30°,干擾信號(hào)入射角度為-30°,期望信號(hào)和干擾信號(hào)均為QPSK調(diào)制信號(hào)，且存在加性高斯白噪聲，其方向圖如2所示。

圖 2期望信號(hào)功率大于干擾信號(hào)功率方向圖

由圖2可知,在期望信號(hào)功率大于干擾信號(hào)功率的

上式中，ρ12表示空間相關(guān)系數(shù)。當(dāng) ρ12=0時(shí)，有：情況下，采用LSCMA自適應(yīng)濾波算法和預(yù)處理的LSCMA自適應(yīng)濾波算法都能使陣列的主瓣對準(zhǔn)期望信號(hào)來向，零陷對準(zhǔn)干擾信號(hào)來向。

若期望信號(hào)功率為8 dB,干擾信號(hào)功率為10 dB，其他仿真條件同圖2仿真條件一樣,則仿真結(jié)果如圖3所示。

圖3 期望信號(hào)功率小于干擾信號(hào)功率方向圖

由圖3可知，在當(dāng)期望信號(hào)功率小于干擾信號(hào)功率的情況下，采用LSCMA自適應(yīng)濾波算法，陣列的主瓣對準(zhǔn)干擾信號(hào)來向，零陷對準(zhǔn)期望信號(hào)來向，出現(xiàn)了干擾捕獲現(xiàn)象；而采用預(yù)處理的LSCMA自適應(yīng)濾波算法，陣列的主瓣仍然能夠正確地指向期望信號(hào)來向，零陷對準(zhǔn)干擾信號(hào)來向。

利用接收數(shù)據(jù)矩陣的協(xié)方差矩陣和期望信號(hào)的功率構(gòu)造新的協(xié)方差矩陣，并將新的協(xié)方差矩陣最小特征值對應(yīng)的特征向量作為權(quán)值的初始值作為權(quán)值的初始值，能夠克服傳統(tǒng)的最小二乘恒模算法在干擾功率比期望信號(hào)功率大時(shí)出現(xiàn)的干擾捕獲的問題。

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