樁徑對Mindlin附加應(yīng)力系數(shù)的影響分析

郭帥杰，宋緒國，許再良，隋孝民，任慶昌

(1.鐵道第三勘察設(shè)計(jì)院集團(tuán)有限公司，天津　300251；2.軌道交通勘察設(shè)計(jì)工程實(shí)驗(yàn)室，天津　300251；3.西南交通大學(xué)，成都　610031)

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樁徑對Mindlin附加應(yīng)力系數(shù)的影響分析

郭帥杰1，2，3，宋緒國1，2，許再良2，隋孝民1，任慶昌1

(1.鐵道第三勘察設(shè)計(jì)院集團(tuán)有限公司，天津300251；2.軌道交通勘察設(shè)計(jì)工程實(shí)驗(yàn)室，天津300251；3.西南交通大學(xué)，成都610031)

摘要：基于Mindlin理論關(guān)于點(diǎn)荷載附加應(yīng)力系數(shù)的解析解答，研究不同土體泊松比、樁長條件下樁徑對Mindlin附加應(yīng)力系數(shù)的影響規(guī)律，確定不同偏差標(biāo)準(zhǔn)下必須考慮樁徑影響的最小范圍，并給出需考慮樁徑影響最小范圍的擬合公式。研究結(jié)果表明，土體泊松比Mindlin附加應(yīng)力系數(shù)總體影響較小，統(tǒng)一采用0.35土體泊松比引起附加應(yīng)力計(jì)算偏差一般不超過5%；Midlin附加應(yīng)力計(jì)算中，必須考慮樁徑影響的最小范圍主要與樁徑相關(guān)，且隨樁長的增加而增大；分別采用1%和5%誤差標(biāo)準(zhǔn)時(shí)，必須考慮樁徑影響的最小范圍分別為樁徑的13.6倍和6.41倍。

關(guān)鍵詞：Mindlin方法；附加應(yīng)力系數(shù)；樁徑；樁長；影響范圍

海大學(xué)，工學(xué)博士，E-mail:ggssjj@hhu.edu.cn。

剛性樁復(fù)合地基沉降計(jì)算主要涉及剛性樁加固區(qū)和樁端下臥層附加應(yīng)力確定問題，相較于假定荷載作用于地基表面的Boussinesq解答，Mindlin方法可以進(jìn)行任意深度荷載作用下的附加應(yīng)力計(jì)算，因此，Mindlin方法較Boussinesq方法在理論和計(jì)算結(jié)果的邏輯方面均更為合理[1]。但是，Mindlin方法參數(shù)較多，公式極為繁雜，其在工程中的應(yīng)用經(jīng)歷較長的過程。其中，Geddes將單樁荷載定義為樁端阻力、矩形和線性樁側(cè)阻力3種荷載形式[2]，通過對Mindlin集中應(yīng)力解析解積分，得到單樁荷載作用下樁周土體任一點(diǎn)附加應(yīng)力表達(dá)式，得到三種荷載形式下的附加應(yīng)力系數(shù)?，F(xiàn)有研究結(jié)果也表明[3-5]，Geddes-Mindlin解答較Boussinesq解答更符合樁基礎(chǔ)承載及沉降變形的實(shí)際，前者計(jì)算結(jié)果更為合理且更為接近工程實(shí)測結(jié)果。

必須注意的是，樁端阻力和樁側(cè)摩阻力分布范圍與樁徑直接相關(guān)，但現(xiàn)有關(guān)于Mindlin方法的研究成果較少涉及樁徑對附加應(yīng)力計(jì)算結(jié)果的研究，大多將端阻力和樁側(cè)阻力作為作用于樁體中心軸線上的集中荷載進(jìn)行處理[6-8]?！督ㄖ鼗A(chǔ)設(shè)計(jì)規(guī)范》(GB50007—2002)關(guān)于Mindlin附加應(yīng)力系數(shù)的計(jì)算同樣未考慮樁徑影響，但我國《建筑樁基技術(shù)規(guī)范》(JCG94—2008)通過數(shù)值積分方法給出了考慮樁徑影響的Mindlin附加應(yīng)力系數(shù)。事實(shí)上，Mindlin附加應(yīng)力計(jì)算中關(guān)于樁徑因素的考慮是存在特定范圍的，即附加應(yīng)力計(jì)算點(diǎn)同荷載作用點(diǎn)間距離超過一定限度，樁徑對附加應(yīng)力系數(shù)影響將可忽略。由于現(xiàn)有規(guī)范關(guān)于是否考慮樁徑因素的規(guī)定尚不統(tǒng)一，故樁徑對Mindlin附加應(yīng)力系數(shù)影響規(guī)律及考慮樁徑影響的最小范圍仍需進(jìn)一步研究總結(jié)。

本文基于集中荷載Mindlin應(yīng)力解析解，通過荷載作用區(qū)域點(diǎn)荷載附加應(yīng)力疊加方法，得到樁周土體任一點(diǎn)位置處總附加應(yīng)力，進(jìn)而得到樁徑對土層附加應(yīng)力的影響規(guī)律。通過不同土體泊松比、樁長及樁徑的Mindlin附加應(yīng)力系數(shù)計(jì)算結(jié)果對比，由數(shù)據(jù)擬合方法得到必須考慮樁徑影響的最小范圍Lmin同樁半徑間的關(guān)系式，在保證Mindlin附加應(yīng)力計(jì)算精度基礎(chǔ)上，避免數(shù)值積分方法的反復(fù)疊加，大幅提高計(jì)算效率，不僅為Mindlin方法在高速鐵路、公路等剛性樁復(fù)合地基沉降計(jì)算中的推廣應(yīng)用奠定基礎(chǔ)，也為沉降模型程序算法的實(shí)現(xiàn)提供技術(shù)支持。

1Mindlin附加應(yīng)力系數(shù)表達(dá)式

1.1　集中荷載作用下的Mindlin附加應(yīng)力

針對地基內(nèi)部一定深度處作用集中力情況，美國學(xué)者M(jìn)indlin在1936年關(guān)于半無限體內(nèi)集中力作用下的附加應(yīng)力分布規(guī)律研究中[9]，得到集中荷載Qb作用下，深度z位置處附加應(yīng)力表達(dá)式(1)，圖1為直角坐標(biāo)系下的計(jì)算簡圖。相應(yīng)地，式(2)為集中荷載附加應(yīng)力系數(shù)。

圖1　Mindlin附加應(yīng)力計(jì)算簡圖

(1)

(2)

式中，σz為集中荷載引起的附加應(yīng)力；Qb為集中荷載；v為泊松比；L為荷載作用點(diǎn)位置坐標(biāo)，z為計(jì)算點(diǎn)深度；m和n為相對于樁長的位置坐標(biāo)參數(shù)，其表達(dá)式分別為m=z/L，n=ρ/L；R1為附加應(yīng)力計(jì)算點(diǎn)與集中荷載作用點(diǎn)間距離；R2為附加應(yīng)力計(jì)算點(diǎn)與集中荷載作用點(diǎn)關(guān)于z=0平面鏡像點(diǎn)間距離。

根據(jù)圖1中附加應(yīng)力計(jì)算點(diǎn)同集中荷載作用點(diǎn)之間的位置關(guān)系，可以得到直角坐標(biāo)系和徑向坐標(biāo)系下R1、R2表達(dá)式

(3)

式中，x、y、ρ分別為附加應(yīng)力計(jì)算點(diǎn)位置坐標(biāo)和徑向坐標(biāo)。

1.2　考慮樁徑影響的Mindlin附加應(yīng)力系數(shù)

不考慮樁徑影響時(shí)，樁端荷載為集中力，可得到地基中任意一點(diǎn)處附加應(yīng)力解析解，主要適用于樁徑較小或帶有樁尖的預(yù)制樁。但對于大直徑灌注樁或未設(shè)樁尖的預(yù)應(yīng)力管樁，應(yīng)考慮樁徑對樁周土體附加應(yīng)力的影響。假定樁端荷載為圓形均布荷載，由荷載作用面上微面積集中荷載積分方法進(jìn)行不同位置處附加應(yīng)力計(jì)算，圓形均布荷載微面積積分區(qū)域示意如圖2所示。對于圖2(b)中圓形樁端荷載作用面，得到微面積域dA=rdrdθ范圍內(nèi)集中荷載引起的任意一點(diǎn)附加應(yīng)力dσz表達(dá)式(4)。

(4)

圖2　圓形均布荷載附加應(yīng)力計(jì)算簡圖

對于圖2(b)中樁端微面積域內(nèi)集中力的附加應(yīng)力計(jì)算圖示，圓形樁體為中心對稱體，當(dāng)附加應(yīng)力計(jì)算點(diǎn)M與樁體中心線的徑向距離相等時(shí)，樁端荷載在同一深度圓環(huán)區(qū)域上的附加應(yīng)力均相等。因此，可令計(jì)算點(diǎn)M縱坐標(biāo)y=0，x坐標(biāo)即為M點(diǎn)與樁端軸線間距離ρ，對應(yīng)的，R1和R2表達(dá)式分別為

(5)

式(5)代入式(4)，同時(shí)令rL=r/L，r0L=r0/L，對附加應(yīng)力系數(shù)表達(dá)式(4)進(jìn)一步簡化，得到同式(2)類似的考慮樁徑影響的Mindlin附加應(yīng)力系數(shù)表達(dá)式(6)。

必須說明的是，式(6)中附加應(yīng)力系數(shù)IP1為關(guān)于變量rL的積分函數(shù)，難以獲得其對應(yīng)的解析解答；具體計(jì)算中，由樁端圓形荷載平面內(nèi)的逐點(diǎn)積分，繼而進(jìn)行逐點(diǎn)疊加進(jìn)行求解。

(6)

2樁徑對附加應(yīng)力的影響規(guī)律分析

2.1　土體泊松比影響

現(xiàn)有研究結(jié)果表明[1]，其他條件完全相同時(shí)，Mindlin附加應(yīng)力隨泊松比保持遞增關(guān)系，但是土體泊松比引起的附加應(yīng)力計(jì)算結(jié)果偏差很小，一般不會超過15%。

本文通過對不同泊松比情形下Mlindlin附加應(yīng)力系數(shù)的對比分析，得出如下結(jié)論：土體泊松比對Mindlin附加應(yīng)力系數(shù)影響相對較小，統(tǒng)一采用泊松比v=0.35進(jìn)行Mindlin附加應(yīng)力系數(shù)計(jì)算時(shí)，極端情況下(v=0.25和v=0.45)出現(xiàn)的誤差均不超過10%，一般情況下的誤差可控制在5%范圍之內(nèi)，說明在缺少地層物理性質(zhì)指標(biāo)或進(jìn)行樁基沉降量預(yù)估計(jì)算時(shí)，可統(tǒng)一采用泊松比v=0.35進(jìn)行Mindlin附加應(yīng)力系數(shù)計(jì)算。

2.2　樁徑引起的附加應(yīng)力系數(shù)偏差

考慮樁徑影響時(shí)，式(6)采用二次積分方法進(jìn)行數(shù)值求解，分別于弧度方向和半徑方向定義100×100網(wǎng)格，采用逐網(wǎng)格疊加方法完成式(6)數(shù)值積分計(jì)算。此外，式(6)中附加應(yīng)力系數(shù)積分邊界r0L為樁半徑和樁長的比值，即使樁徑完全相同，樁長L的差異也將影響附加應(yīng)力計(jì)算結(jié)果。

為對比分析樁徑、樁長、土體泊松比對Mindlin附加應(yīng)力系數(shù)計(jì)算結(jié)果的影響，共進(jìn)行v=0.25、0.30、0.35、0.40和0.45，樁半徑r0=0.15、0.20、0.30、0.40、0.50 m和0.60 m以及樁長L=6、10、15、20、30、50 m共5×6×6=180種情形下的附加應(yīng)力系數(shù)計(jì)算。

根據(jù)式(6)不同樁徑和樁長條件下的Mindlin附加應(yīng)力系數(shù)計(jì)算結(jié)果，將其與式(2)不考慮樁徑影響的解析計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對比，經(jīng)式(7)的進(jìn)一步計(jì)算處理，得到不同樁長和泊松比條件下樁徑因素引起的Mindlin附加應(yīng)力系數(shù)偏差百分比δ1。

(7)

根據(jù)前述180種情形的計(jì)算結(jié)果，經(jīng)式(7)處理后，分別得到泊松比v=0.35，樁長L分別為6，15 m和30 m時(shí)，0.15、0.30 m和0.60 m樁徑情形下，相較于式(2)解析解答，樁徑引起的Mindlin附加應(yīng)力系數(shù)偏差分布云圖如圖3所示。

圖3　樁徑引起的附加應(yīng)力系數(shù)偏差云圖

根據(jù)圖3中不同樁長和樁徑條件下的Mindlin附加應(yīng)力系數(shù)偏差分布云圖，樁長相同時(shí)，相對于式(2)不考慮樁徑影響的解析解，式(6)考慮樁徑引起附加應(yīng)力系數(shù)偏差幅值及范圍均隨樁徑的增加而增大。同時(shí)，樁徑相同情況下，考慮樁徑引起的偏差百分比δ1數(shù)值和分布范圍隨樁長的增加而減小，即樁長越大，樁徑引起的附加應(yīng)力系數(shù)偏差百分比分布范圍越小。

必須指出的是，Mindlin附加應(yīng)力系數(shù)公式中樁長L的影響均體現(xiàn)為相對意義，隱含于m、n和r0L參數(shù)之中。前述得到的樁徑影響結(jié)論僅是針對深度比值m和徑向坐標(biāo)比值n意義上的結(jié)論，反映在絕對的深度坐標(biāo)z和徑向坐標(biāo)ρ上，其實(shí)際影響區(qū)域可能表現(xiàn)出完全相反的變化規(guī)律。因此，絕對意義上的樁徑、樁長以及泊松比對附加應(yīng)力系數(shù)偏差計(jì)算結(jié)果的影響仍需要進(jìn)一步的分析。

3考慮樁徑影響的最小范圍Lmin

3.1　最小范圍確定方法

根據(jù)圖3中考慮樁徑引起的附加應(yīng)力系數(shù)偏差百分比分布云圖，以樁端中心為基點(diǎn)，樁端下臥層附加應(yīng)力計(jì)算點(diǎn)與樁端中性點(diǎn)距離越大，相應(yīng)的偏差百分比越小，當(dāng)計(jì)算點(diǎn)與樁端基點(diǎn)距離超過一定限度后，樁徑引起的附加應(yīng)力系數(shù)計(jì)算誤差將可忽略。因此，可分別設(shè)定δ1=1%和5%兩種情形的偏差控制標(biāo)準(zhǔn)，以此確定不同控制標(biāo)準(zhǔn)下考慮樁徑影響的最小范圍Lmin。Lmin確定過程如下：①由建筑物或工程沉降變形控制等級確定相對應(yīng)的附加應(yīng)力計(jì)算偏差控制標(biāo)準(zhǔn)；②以圖3中的樁端中心為基點(diǎn)，確定滿足相應(yīng)偏差標(biāo)準(zhǔn)(如1%、5%等)對應(yīng)的樁端下臥土層中最遠(yuǎn)位置處n和m值；③由式(8)確定不同偏差標(biāo)準(zhǔn)下，附加應(yīng)力計(jì)算中必須考慮樁徑影響的最小范圍Lmin。

(8)

3.2　最小范圍Lmin影響因素分析

根據(jù)前述不同土體泊松比、樁徑和樁長條件下Mindlin附加應(yīng)力計(jì)算結(jié)果，由式(8)確定Mindlin附加應(yīng)力系數(shù)計(jì)算中必須考慮樁徑影響的最小范圍Lmin，繼而得到Lmin關(guān)于樁徑、樁長以及土體泊松比的變化趨勢。其中，泊松比v=0.35時(shí)，Lmin關(guān)于樁徑與樁長的變化趨勢如圖4所示，圖5為Lmin關(guān)于土體泊松比的變化趨勢。

圖4(a)中，1%和5%偏差標(biāo)準(zhǔn)對應(yīng)的考慮樁徑影響時(shí)的最小范圍Lmin均隨樁徑的增加而增大，其中，1%偏差標(biāo)準(zhǔn)對應(yīng)的Lmin隨樁徑變化區(qū)間為1.80～7.62 m，最大變化幅度為5.82 m；5%偏差標(biāo)準(zhǔn)對應(yīng)的Lmin隨樁徑變化區(qū)間為0.67～3.41 m，最大變化幅度為2.74 m，并且1%偏差標(biāo)準(zhǔn)下Lmin數(shù)值遠(yuǎn)大于5%偏差標(biāo)準(zhǔn)。圖4(b)中，Lmin隨樁長的增加基本保持增加趨勢(樁徑較大情形)，即樁長越長，需考慮樁徑影響的區(qū)域范圍越大，1%和5%偏差標(biāo)準(zhǔn)對應(yīng)的Lmin隨樁長的最大變化區(qū)間分別為6.01～7.02 m(最大變化幅度1.01 m)和2.77～3.41 m(最大變化幅度0.64 m)，此現(xiàn)象并不同于圖3中附加應(yīng)力系數(shù)偏差百分比云圖。其原因分析如下：圖3中考慮樁徑影響的區(qū)域?qū)崬楦郊討?yīng)力計(jì)算點(diǎn)深度z和徑向坐標(biāo)ρ關(guān)于樁長L的比值，雖然云圖中的附加應(yīng)力系數(shù)偏差分布區(qū)域隨樁長的增加而減少，但最小影響范圍Lmin隨樁長的增加卻表現(xiàn)為增加趨勢。此外，圖4(b)中最小范圍隨樁長逐漸增大的變化趨勢在樁徑較大時(shí)(r0>0.30 m)表現(xiàn)的更為明顯，樁徑較小時(shí)，則為先增加后減小或逐漸減小的趨勢。

圖4　最小范圍Lmin關(guān)于樁徑和樁長的變化趨勢

圖5為1%和5%偏差標(biāo)準(zhǔn)下，Lmin隨土體泊松比v變化趨勢，從圖中可明顯看出，Lmin隨土體泊松比v基本保持不變或小幅增加趨勢，其增加幅度遠(yuǎn)小于樁徑對Lmin的影響，說明土體泊松比對Lmin相對大小的影響基本可以忽略，此結(jié)論與前述土體泊松比對Mindlin附加應(yīng)力系數(shù)影響的研究結(jié)果一致。

圖5　最小范圍關(guān)于泊松比的變化趨勢

綜合圖4和圖5中不同樁徑、樁長及土體泊松比對Lmin的影響趨勢及其變化區(qū)間，可以確定Lmin相對大小主要決定于樁徑，而樁長影響次之，土體泊松比引起的樁徑影響范圍Lmin的變化最小。

3.3　最小范圍Lmin擬合公式

基于以上分析，確定樁徑、樁長及土體泊松比對Lmin影響趨勢后，得到Lmin相對大小的主要決定因素為樁徑。忽略樁長和土體泊松比影響，建立起Lmin與主要決定因素樁體半徑r0間的擬合關(guān)系；擬合關(guān)系式中Lmin的取值為樁徑相同時(shí)，樁長和土體泊松比不同情況下對應(yīng)的Lmin最大值。

圖6為1%和5%附加應(yīng)力偏差標(biāo)準(zhǔn)下得到的必須考慮樁徑影響的最小范圍Lmin與樁半徑r0間的關(guān)系曲線。根據(jù)數(shù)據(jù)點(diǎn)分布特點(diǎn)，采用截距為0的線性擬合方程。1%和5%偏差標(biāo)準(zhǔn)對應(yīng)的線性擬合曲線方程的斜率分別為13.6和6.41，即當(dāng)附加應(yīng)力計(jì)算點(diǎn)和樁端荷載作用點(diǎn)距離分別大于13.6r0和6.41r0時(shí)，即可不考慮樁徑對Mindlin附加應(yīng)力系數(shù)的影響，可直接采用集中力作用下的解析式(2)進(jìn)行計(jì)算。

圖6　最小范圍關(guān)于樁半徑擬合曲線

4結(jié)論

通過集中荷載作用解析解和考慮樁徑影響的均布荷載數(shù)值積分解答關(guān)于Mindlin附加應(yīng)力系數(shù)計(jì)算結(jié)果的對比分析，得到樁徑、樁長以及土體泊松比對Mindlin附加應(yīng)力系數(shù)的影響規(guī)律，確定Lmin主要決定因素為樁徑，并由數(shù)據(jù)擬合方法得到Lmin關(guān)于樁半徑r0的擬合公式，主要得到以下幾點(diǎn)結(jié)論。

(1)土體泊松比對Mindlin附加應(yīng)力系數(shù)計(jì)算結(jié)果的影響很小，統(tǒng)一采用0.35泊松比引起的附加應(yīng)力計(jì)算偏差一般不超過10%。

(2)樁徑相對大小影響Mindlin附加應(yīng)力系數(shù)計(jì)算結(jié)果，但存在影響范圍；當(dāng)附加應(yīng)力計(jì)算點(diǎn)與荷載作用點(diǎn)距離超過某一特定限值時(shí)，樁徑引起的Mindlin附加應(yīng)力計(jì)算偏差將可忽略。

(3)Mindlin附加應(yīng)力系數(shù)計(jì)算中，必須考慮樁徑影響的最小范圍Lmin，其主要決定于樁徑，隨樁徑的增加而增大；分別采用1%和5%附加應(yīng)力系數(shù)偏差控制標(biāo)準(zhǔn)時(shí)，當(dāng)附加應(yīng)力計(jì)算點(diǎn)與荷載作用點(diǎn)距離分別超過13.6r0和6.41r0，即可統(tǒng)一采用集中荷載附加應(yīng)力解析表達(dá)式計(jì)算Mindlin附加應(yīng)力。

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Research on Pile Radius Influence on the Coefficient of Mindlin Additive Stress

GUO Shuai-jie1，2，3， SONG Xu-guo1，2， XU Zai-liang1， SUI Xiao-min1， REN Qing-chang1

(1.The Third Railway Survey and Design Institute Group Corporation， Tianjin 300251， China;

2.Laboratory of Rail Transportation Survey and Design， Tianjin 300251， China;

3.Southwest Jiaotong University， Chengdu 610031， China)

Abstract：Based on the analytical solution of Mindlin theory for the additive stress calculation induced by point loading， relationship between pile radius and Mindlin additive stress coefficient is discussed in detail with different poisson ratio and pile length. Subsequently， the minimum influence range of pile radius under different error standard is determined， and the fitting equation of influence range is obtained accordingly. Research results indicate that the influence of the soil poisson ratio on the additive stress is at a very low level， and the greatest error is normally less then 5% if the poisson ratio value of 0.35 is applied. During the calculation of Mindlin additive stress coefficient， the minimum influence range of pile radius is mainly determined by pile radius， and would keep increasing with the increasing of the pile length. Moreover， if error standards of 1% and 5% are accepted respectively， the minimum influence range of pile radius should be 13.6 and 6.41 times of the pile radius respectively.

Key words：Mindlin method; Additive stress; Pile radius; Pile length; Influence range

作者簡介：郭帥杰(1987—)，男，工程師，在站博士后，2014年畢業(yè)于河

基金項(xiàng)目：中國鐵路總公司科技研究開發(fā)計(jì)劃項(xiàng)目(2014G003-B)

收稿日期：2015-06-08

中圖分類號：TU473.12

文獻(xiàn)標(biāo)識碼：ADOI:10.13238/j.issn.1004-2954.2016.01.002

文章編號：1004-2954(2016)01-0008-06