TMRC-Filter：一種基于Filtered OFDM系統(tǒng)的子帶濾波器設(shè)計(jì)方法*

李穎銳，徐景，劉響，易輝躍

(1 中國科學(xué)院上海微系統(tǒng)與信息技術(shù)研究所 微系統(tǒng)技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海 201800； 2 中國科學(xué)院大學(xué)，北京 100049)

不同于傳統(tǒng)的基于循環(huán)前綴的正交頻分復(fù)用(cyclic prefix-orthogonal frequency division multiple-xing, CP-OFDM)技術(shù)，第五代移動通信系統(tǒng)(the 5th generation mobile communication system, 5G)的新波形技術(shù)需要達(dá)到以下設(shè)計(jì)目標(biāo)：頻譜集中、時域拖尾較小、支持靈活的系統(tǒng)參數(shù)部署等。濾波正交頻分復(fù)用(filtered-orthogonal frequency division multiplexing, Filtered-OFDM)是華為公司提出的一種面向5G的新波形技術(shù)，根據(jù)不同場景的需求，子帶濾波器分別對每個子帶進(jìn)行濾波，不同子帶可以根據(jù)相應(yīng)的鏈路特性和用戶需求調(diào)整系統(tǒng)參數(shù)[1-2]。為能夠適應(yīng)5G新波形的要求，子帶濾波器的設(shè)計(jì)對Filtered-OFDM系統(tǒng)非常重要。具體地，子帶濾波器一般采用有限長單位沖激響應(yīng)(finite impulse response, FIR)濾波器，且其設(shè)計(jì)需要滿足以下5條準(zhǔn)則[3-5]：1) 子帶濾波器阻帶衰減盡可能大，以降低相鄰子帶間干擾(inter-subband interference, IBI)，支持子帶間非同步傳輸；2) 子帶濾波器過渡帶盡可能窄，以減小子帶間的保護(hù)帶寬(guard band)，從而提高頻譜利用率；3) 子帶濾波器的時域沖激響應(yīng)拖尾盡可能小，以降低符號間干擾(inter-symbol interference, ISI)，更好地支持低時延業(yè)務(wù)；4) 子帶濾波器通帶波紋盡可能小，以降低濾波后所帶來的頻率選擇性失真；5) 為了實(shí)現(xiàn)靈活的帶寬分配，子帶濾波器需易于實(shí)現(xiàn)。

FIR濾波器主要有4種設(shè)計(jì)方法：窗函數(shù)法、迭代優(yōu)化法[6-9]、等波紋法[1-10]和頻域抽樣法[11]。從實(shí)現(xiàn)復(fù)雜度與易用性方面考慮，目前，基于Filtered-OFDM系統(tǒng)的子帶濾波器主要采用窗函數(shù)法[1-5,12-15]，即先設(shè)計(jì)滿足目標(biāo)頻率響應(yīng)的線性相位濾波器，然后用窗函數(shù)軟截?cái)嗥鋾r域沖激響應(yīng)得到子帶濾波器。目前，對于基于窗函數(shù)法的FIR子帶濾波器，研究者一般對窗函數(shù)進(jìn)行設(shè)計(jì)優(yōu)化[16-20]，或者優(yōu)化濾波實(shí)現(xiàn)過程[21-23]，就筆者所知，鮮有人從線性相位濾波器角度出發(fā)進(jìn)行研究。目前，線性相位濾波器主要有理想低通濾波器和升余弦濾波器，對應(yīng)的子帶濾波器分別為軟截?cái)郤inC型子帶濾波器(SinC-filter)[1-5,12-13]和軟截?cái)嗌嘞易訋V波器RC-Filter(raised-cosine filter)[14-15]。SinC-Filter的線性相位濾波器為理想低通，由于其通帶邊緣由1直接過渡到0，導(dǎo)致SinC-Filter的時域色散嚴(yán)重，且通帶波紋較大；RC-filter的線性相位濾波器為升余弦函數(shù)，由于升余弦函數(shù)的滾降帶受制于子帶帶寬和滾降系數(shù)，導(dǎo)致RC-Filter的濾波器參數(shù)配置不靈活；且由于RC-Filter的線性相位濾波器通帶邊緣由1緩慢過渡并接近于0，使得滾降頻帶過寬，導(dǎo)致RC-Filter的過渡帶較寬。

本文設(shè)計(jì)一種縮短型-修正軟截?cái)嗌嘞易訋V波器(TMRC-Filter，truncate modified raised-cosine filter)。與SinC-Filter和RC-Filter相比，TMRC-Filter的線性相位濾波器的滾降帶寬可通過所設(shè)計(jì)的截止幅度參數(shù)自由調(diào)節(jié)，進(jìn)而其頻域響應(yīng)更為靈活，時域色散程度更小。仿真結(jié)果表明，隨著滾降帶寬的增大，TMRC-Filter的阻帶衰減、過渡帶帶寬增大，時域色散程度減小。通過對TMRC-Filter的滾降帶寬和滾降系數(shù)進(jìn)行調(diào)節(jié)，TMRC-Filter可實(shí)現(xiàn)較大的阻帶衰減、較小的時域色散程度、較窄的過渡帶和較小的通帶波紋系數(shù)。仿真結(jié)果進(jìn)一步表明，當(dāng)窗函數(shù)使用漢寧窗，滾降帶寬取0.010 6π時，TMRC-Filter的通帶波紋可達(dá)10-3dB量級，其時域色散程度相比于SinC-Filter改善75%，且在期望阻帶衰減大于等于-60 dB的性能需求下，TMRC-Filter較RC-Filter有超過7%的帶寬改進(jìn)率。將TMRC-Filter與一種迭代優(yōu)化法所實(shí)現(xiàn)的濾波器[8]進(jìn)行對比，其性能與文獻(xiàn)[8]中濾波器的性能相當(dāng)，但是文獻(xiàn)[8]中濾波器會出現(xiàn)生成濾波器的截止頻率不能收斂到目標(biāo)截止頻率的情況，因此需要進(jìn)行多步迭代操作，而TMRC-Filter只需將線性相位濾波器和窗函數(shù)的時域形式進(jìn)行相乘便可獲得，無需多次迭代，實(shí)現(xiàn)較為簡單。

1 基于窗函數(shù)法的子帶濾波器設(shè)計(jì)

窗函數(shù)法[3]子帶濾波器設(shè)計(jì)分為兩步，第1步設(shè)計(jì)滿足目標(biāo)頻率響應(yīng)的線性相位濾波器Fd(ω)，并得到其時域沖激響應(yīng)fd(n)，第2步選擇合適的窗函數(shù)w(n)軟截?cái)鄁d(n)得到子帶濾波器。本節(jié)將提出帶有通帶邊緣截止幅度的TMRC-Filter。首先分析傳統(tǒng) SinC-Filter和RC-Filter的線性相位濾波器的不足，進(jìn)而提出可自由調(diào)節(jié)滾降帶寬的帶有通帶邊緣截止幅度的線性相位濾波器，并進(jìn)行時域色散度分析；然后分析窗函數(shù)軟截?cái)嗌蒚MRC-Filter的過程；最后提出預(yù)留頻帶?B的設(shè)置方法。

1.1 線性相位濾波器設(shè)計(jì)

傳統(tǒng)的采用窗函數(shù)法的子帶濾波器設(shè)計(jì)中，線性相位濾波器設(shè)計(jì)一般基于SinC函數(shù)或升余弦函數(shù)：

a) 對基于SinC函數(shù)的濾波器SinC-Filter，其線性相位濾波器的頻域表達(dá)式為

(1)

b) 對基于升余弦函數(shù)的濾波器RC-Filter，其線性相位濾波器的頻域表達(dá)式為

(2)

式中：B表示子帶帶寬，?B表示預(yù)留頻帶(tone-offset)，Δ表示滾降帶寬，α表示滾降系數(shù)，ω表示頻率。

綜上，如圖1所示，設(shè)計(jì)滿足目標(biāo)頻率響應(yīng)的可自由調(diào)節(jié)滾降帶寬的帶有通帶邊緣截止幅度δ的線性相位濾波器：

(3)

圖1 TMRC-Filter的線性相位濾波器的幅度響應(yīng)Fig.1 Magnitude response of linear phase filter for the TMRC-Filter

相比于線性相位濾波器(1)和(2)中的預(yù)留頻帶?B，所設(shè)計(jì)的線性相位濾波器(3)中?B不再由經(jīng)驗(yàn)值設(shè)置，而是可以進(jìn)行確定性設(shè)置，設(shè)置方法見1.4節(jié)，從而可以避免預(yù)留頻帶?B設(shè)置過大或者過小帶來的性能損失問題。x(|ω|,α,B)表示滾降函數(shù)，為便于與RC-Filter和SinC-Filter進(jìn)行對比分析，此處滾降函數(shù)取為升余弦函數(shù)，即

(4)

式中：Δ表示滾降帶寬，可以自由調(diào)節(jié)。與RC-Filter的線性相位濾波器(2)不同的是，線性相位濾波器(3)的滾降帶寬Δ不再由B和α決定，而是可以自由調(diào)節(jié)；δ=x(|B+?B+Δ|)表示截止幅度，受滾降帶寬Δ控制，可以通過調(diào)節(jié)滾降帶寬Δ來調(diào)節(jié)截止幅度δ，特別地，當(dāng)Δ=0時，δ=1，此時線性相位濾波器(3)與(1)等價；當(dāng)Δ=απ時，δ=0，此時線性相位濾波器(3)與(2)等價。線性相位濾波器(3)的時域沖激響應(yīng)為

=(B+?B+Δ)sinc((B+?B+Δ)n)+

(B+?B)sinc((B+?B)n)+

(5)

1.2 線性相位濾波器的時域色散度分析

由文獻(xiàn)[25]可知，可以用Δn來衡量濾波器能量在時間上的散布情況：

(6)

(7)

為評估滾降帶寬Δ對時域色散值Δn的改善程度，定義參數(shù)ηΔn

(8)

取α=0.015 ，ηΔn隨滾降帶寬Δ和子帶帶寬B的變化如圖2所示。

圖2 滾降帶寬和子帶帶寬對時域色散值的影響Fig.2 Influences of rolled-off bandwidth and subband bandwidth on time localization

由圖2可知，ηΔn隨著滾降帶寬Δ的增加而增加，當(dāng)Δ∈[0.01π,0.015 π]時，ηΔn增加較為緩慢，且ηΔn(Δ)不受子帶帶寬B影響。

1.3 軟截?cái)嗌蒚MRC-Filter

根據(jù)窗函數(shù)法[3]，由合適的窗函數(shù)w(n)軟截?cái)嗑€性相位濾波器(3)的時域沖激響應(yīng)fd(n)得到TMRC-Filterf(n)，即

f(n)=fd(n)w(n),0≤n≤L-1,

(9)

式中：L為濾波器的階數(shù)，可選擇的窗函數(shù)w(n)有漢寧窗、布萊克曼窗、凱澤窗、哈明窗等[14-18]。

TMRC-Filter的幅度響應(yīng)為

=S(ω)+R(ω),

(10)

其中，W(ω)是窗函數(shù)的幅度響應(yīng)

R(ω)=R0(B+?B+ω);

(11)

由式(10)、式(11)可知，TMRC-Filter幅度響應(yīng)可以表示為S(ω)和R(ω)的和；其中S(ω)等價于SinC函數(shù)子帶濾波器的幅度響應(yīng)，R(ω)等價于滾降函數(shù)與窗函數(shù)的卷積結(jié)果，對SinC函數(shù)子帶濾波器的幅度特性S(ω)進(jìn)行修正，從而降低TMRC-Filter的通帶波紋系數(shù)，增大阻帶衰減。由于增加了滾降帶寬Δ，相比于SinC函數(shù)子帶濾波器，TMRC-Filter的過渡帶增大，因此，Δ不可設(shè)置過大。

1.4 預(yù)留頻帶設(shè)置方法

預(yù)留頻帶?B=0和預(yù)留頻帶?B≠0兩種情況下的線性相位濾波器與窗函數(shù)卷積后生成的子帶濾波器的幅度響應(yīng)如圖3所示。由圖1可知，當(dāng)?B=0時，線性相位濾波器的通帶截止頻率為B，線性相位濾波器與窗函數(shù)卷積后生成的子帶濾波器的幅度響應(yīng)如圖3實(shí)線所示，子帶濾波器的通帶邊緣處最后一個正肩峰G所對應(yīng)的頻率為ωg，但為了既節(jié)省頻帶資源又避免通帶波紋對邊緣子載波的影響，子帶濾波器的通帶邊緣最后一個正肩峰應(yīng)盡量出現(xiàn)在B處，如圖3虛線所示，因此?B的設(shè)置保證子帶濾波器通帶邊緣處的最后一個正肩峰G所對應(yīng)的的頻率為B，則此時線性相位濾波器的通帶截止頻率B+?B必須滿足

(12)

即

(13)

圖3 ?B=0和?B≠0情況下子帶濾波器幅度響應(yīng)Fig.3 Magnitude responses of the filter at ?B=0 and ?B≠0

本章設(shè)計(jì)可自由調(diào)節(jié)滾降帶寬的帶有通帶邊緣截止幅度的線性相位濾波器，用窗函數(shù)軟截?cái)嘣摼€性相位濾波器的時域沖激響應(yīng)生成TMRC-Filter，并提出預(yù)留頻帶?B的設(shè)置方法。

2 仿真分析

濾波器的技術(shù)指標(biāo)主要有通帶截止頻率、阻帶截止頻率、阻帶衰減、過渡帶帶寬以及通帶波紋，為便于對TMRC-Filter進(jìn)行性能仿真分析，對技術(shù)指標(biāo)定義見表1。

表1 濾波器性能指標(biāo)定義Table 1 Definitions of performance parameters of the filter

本文將TRMC-Filter與SinC-Filter，RC-Filter進(jìn)行對比。為了增加所設(shè)計(jì)線性相位濾波器的普適性，仿真中改變不同的窗函數(shù)進(jìn)行分析。本仿真實(shí)驗(yàn)設(shè)置仿真參數(shù)見表2。

表2 仿真系統(tǒng)參數(shù)列表Table 2 System parameter settings

2.1 TMRC-Filter的通帶波紋和阻帶衰減

以漢寧窗函數(shù)為例，取α=0.015 ，由式(13)得到TMRC-Filter(Δ=0,δ=1)、TMRC-Filter(Δ=0.006 π,δ=0.654 5)、TMRC-Filter(Δ=0.010 6π,δ=0.197 7)、TMRC-Filter (Δ=0.015 π,δ=0)的預(yù)留頻帶?B分別為0.013 5B、0.006 65B、0.009 4B、0.009 4B。不同Δ下，TMRC-Filter幅度響應(yīng)如圖4所示，其相應(yīng)的通帶波紋系數(shù)和最小阻帶衰減如表3所示。其中，當(dāng)Δ=0時，δ=1，此時TMRC-Filter與SinC-Filter等價；當(dāng)Δ=απ=0.015 π時，δ=0，此時TMRC-Filter與RC-Filter等價。

由表3和圖4(a)可知，當(dāng)Δ取值0、0.006π、0.0106π、0.015π時，TMRC-Filter最小阻帶衰減As分別為-44、-47、-55、-68 dB，即TMRC-Filter的最小阻帶衰減幅度隨著Δ的增大而變大，與RC-Filter，SinC-Filter相比，TMRC-Filter的最小阻帶衰減幅度處于兩者之間；Δ越小，TMRC-Filter的過渡帶帶寬度越小，且TMRC-Filter的過渡帶帶寬度小于RC-Filter的過渡帶帶寬度。

圖4 濾波器的幅度響應(yīng)隨Δ的變化Fig.4 Magnitude response vs. Δ

由表3和圖4(b)可知，TMRC-Filter和RC-Filter的通帶波紋達(dá)到10-3量級，明顯小于SinC-Filter的通帶波紋值。

表3 TMRC-Filter性能指標(biāo)Table 3 Performance of the proposed TMRC-Filter

由表3和圖4的結(jié)果分析可知，Δ的存在顯著降低了通帶波紋系數(shù)。通過Δ的調(diào)節(jié)，可自由調(diào)節(jié)濾波器的阻帶衰減和過渡帶帶寬。Δ的取值有兩個要求：Δ應(yīng)盡可能小以獲得較窄的過渡帶；Δ又應(yīng)盡可能大以獲得較小的時域色散值和較大的阻帶衰減。因此，這兩個要求是相互矛盾的，不可能同時滿足。Δ的取值應(yīng)該在較窄的過渡帶、較小的時域色散度及較大的阻帶衰減之間進(jìn)行折衷。由2.2節(jié)圖2可知，當(dāng)Δ=0.010 6π時，ηΔn=0.75，相比于SinC-Filter，TMRC-Filter時域色散度改善較大，并結(jié)合圖4(a)可知其通波紋系數(shù)較小，阻帶衰減較大，且相比于 RC-Filter，其過渡帶帶寬較小。

2.2 TMRC-Filter的過渡帶

以漢寧窗函數(shù)為例，取α=0.015,Δ=0.010 6π，不同期望阻帶衰減Ag下，3種子帶濾波器的期望過渡帶帶寬U見表4。

表4 TMRC-Filter性能指標(biāo)Table 4 Performance of the proposed TMRC-Filter

由表4可知，當(dāng)期望阻帶衰減Ag大于等于-60 dB時，3個濾波器的過渡帶帶寬度關(guān)系為URC>UTMRC>USinC，此時TMRC-Filter的過渡帶UTMRC較RC-Filter有較大的改進(jìn)，定義濾波器的帶寬改進(jìn)率為

(14)

不同參數(shù)下的TMRC-Filter的帶寬改進(jìn)率如表5所示。

表5 TMRC-Filter帶寬利用的改進(jìn)率Table 5 Improvement rate of bandwidth utilization of TMRC-Filter

由表5可知，當(dāng)期望阻帶衰減大于等于-60 dB時，TMRC-Filter較RC-Filter有超過7%的帶寬改進(jìn)率。但相比于SinC-Filter，TMRC-Filter的過渡帶寬度仍然較寬。

2.3 改變不同的窗函數(shù)進(jìn)行性能分析

當(dāng)窗函數(shù)為文獻(xiàn)[16]所提出的窗函數(shù)時，不同子帶濾波器的性能指標(biāo)見表6(其中，☆表示濾波器性能達(dá)不到要求)。

表6 TMRC-Filter性能指標(biāo)Table 6 Performance of the proposed TMRC-Filter

由表6可知，此窗函數(shù)下，TMRC-Filter、RC-Filter和SinC-Filter 3種濾波器的通帶波紋相當(dāng)；TMRC-Filter和RC-Filter的最小阻帶衰減明顯大于SinC-Filter，且當(dāng)期望阻帶衰減小于等于-85 dB時，SinC-Filter已失去其過渡帶較窄的優(yōu)勢；當(dāng)期望阻帶衰減大于等于-94 dB時，3個濾波器的過渡帶關(guān)系為URC>UTMRC>USinc，此時TMRC-Filter的過渡帶UTMRC較RC-Filter有較大的改進(jìn)，利用公式(14)，計(jì)算其帶寬改進(jìn)率見表7，可以看出，當(dāng)期望阻帶衰減大于等于-94 dB時，TMRC-Filter較RC-Filter超過7%的帶寬改進(jìn)率。當(dāng)期望阻帶衰減大于等于-80 dB時，TMRC-Filter的過渡帶寬度略大于SinC-Filter。因此當(dāng)Filtered-OFDM系統(tǒng)對帶外輻射要求不高時，SinC-Filter整體性能較好；當(dāng)系統(tǒng)對帶外輻射要求較高時，TMRC-Filter更能滿足性能需求。

表7 TMRC-Filter帶寬利用的改進(jìn)率Table 7 Improvement rate of bandwidth utilization of TMRC-Filter

2.4 誤碼率分析

使用濾波器對子帶進(jìn)行濾波，其中，TMRC-FOFDM使用TMRC-Filter對子帶進(jìn)行濾波，RC-FOFDM使用RC-Filter對子帶進(jìn)行濾波，SinC-FOFDM使用SinC-Filter對子帶進(jìn)行濾波。將濾波后的發(fā)送信號經(jīng)過高斯信道，得到其對應(yīng)的誤碼率(bit error rate, BER)見圖5。

圖5 高斯信道中系統(tǒng)誤碼率Fig.5 BER performance in Gaussian channel

由圖5可知，TMRC-FOFDM、RC-FOFDM誤碼率近似，且接近于傳統(tǒng)的OFDM的誤碼率，說明所設(shè)計(jì)的濾波器對信號未造成明顯的失真。對于高信噪比下，TMRC-FOFDM、RC-FOFDM相比于SinC-FOFDM誤碼率較小，說明帶有滾降帶的子帶濾波器TMRC-Filter、RC-Filter的通帶波紋小于SinC-Filter的通帶波紋。

2.5 與其他FIR濾波器對比分析

為體現(xiàn)所設(shè)計(jì)濾波器優(yōu)勢，本節(jié)將對 TMRC-Filter和文獻(xiàn)[8]所提出FIR濾波器的性能進(jìn)行對比分析。文獻(xiàn)[8]所設(shè)計(jì)的濾波器為基于高斯函數(shù)近似(Gaussian-based approximation, GBA)的迭代濾波器，該濾波器易于實(shí)現(xiàn)，且可控制過渡帶帶寬，本文將該濾波器命名為GBA-Based-Filter。

仿真實(shí)驗(yàn)子帶帶寬為0.585 9π，濾波器長度為513。對于TMRC-Filter，其滾降帶寬Δ=0.010 6π，對應(yīng)的截止幅度為δ=0.197 7，滾降系數(shù)α=0.015；由于GBA-Based-Filter是通過優(yōu)化過渡帶帶寬度來進(jìn)行迭代實(shí)現(xiàn)，因此不同過渡帶帶寬的濾波器性能不同，取目標(biāo)過渡帶帶寬度分別為0.01 π、0.025 π、0.04 π，得到與TMRC-Filter的性能對比結(jié)果分別如圖6所示。

圖6 GBA-Based-Filter與TMRC-Filter的幅度響應(yīng)Fig.6 Magnitude responses of GBA-Based-Filter and TMRC-Filter

由圖6可知，當(dāng)GBA-Based-Filter的過渡帶帶寬優(yōu)化到0.01π時，雖然其過渡帶帶寬窄于TMRC-Filter，但其性能在通帶波紋和阻帶衰減方面均差于TMRC-Filter；當(dāng)GBA-Based-Filter的過渡帶帶寬優(yōu)化到0.025 π時，其過渡帶帶寬和TMRC-Filter相似，雖然其通帶波紋略優(yōu)于TMRC-Filter，但其阻帶衰減略差于TMRC-Filter；當(dāng)GBA-Based-Filter的過渡帶帶寬優(yōu)化到0.04π時，雖然其性能在通帶波紋方面略優(yōu)于TMRC-Filter，但過渡帶帶寬較寬，且兩種濾波器在阻帶衰減方面性能相當(dāng)。

3 總結(jié)

本文針對Filtered OFDM系統(tǒng)設(shè)計(jì)一種子帶濾波器。為滿足Filtered OFDM系統(tǒng)對帶寬分配靈活、較高時頻效率以及非同步傳輸?shù)囊螅O(shè)計(jì)的子帶濾波器可通過調(diào)節(jié)滾降帶寬，實(shí)現(xiàn)較大的阻帶衰減、較窄的過渡帶帶寬、較小的通帶波紋以及較大的時域色散程度，且實(shí)現(xiàn)較為簡單。但本文并未給出滾降帶寬與4個性能指標(biāo)的理論數(shù)學(xué)關(guān)系，因此，推導(dǎo)出滾降帶寬與4個性能指標(biāo)的閉合表達(dá)式是接下來要進(jìn)行的工作。