基于非線性控制器設(shè)計的離散混沌系統(tǒng)同步方法

周　雙,謝紹斌,萬　康

(空軍工程大學(xué) 信息與導(dǎo)航學(xué)院,陜西 西安　710077)

基于非線性控制器設(shè)計的離散混沌系統(tǒng)同步方法

周雙,謝紹斌,萬康

(空軍工程大學(xué) 信息與導(dǎo)航學(xué)院,陜西 西安710077)

摘要在混沌通信系統(tǒng)工程化過程中,要求實時信號接收處理,實現(xiàn)收發(fā)兩端系統(tǒng)的快速同步。為解決該問題,提出了以非線性控制器設(shè)計為基礎(chǔ)的快速同步方案。針對離散混沌系統(tǒng),采用Lyapunov函數(shù)同步法判定準(zhǔn)則和反饋同步原理,合理設(shè)計了響應(yīng)系統(tǒng)中的非線性控制器。仿真結(jié)果表明,同步誤差可快速地穩(wěn)定于零點,驗證了該快速同步方法的正確性和有效性。

關(guān)鍵詞Lyapunov函數(shù)法;離散混沌系統(tǒng);非線性控制器;快速同步

A Synchronization Method for Discrete Chaotic Systems Based on Nonlinear Controller Design

ZHOU Shuang,XIE Shaobin,WAN Kang

(School of Information and Navigation,Air Force Engineering University,Xi’an 710077,China)

AbstractIn chaotic communication engineering,signals are required to be received and processed in real-time,thus the need for fast synchronization.A fast synchronization scheme based on nonlinear controller design is put forward.The nonlinear controller in response system is designed for discrete chaotic systems by adopting the Lyapunov function method and feedback synchronization principle.The simulation results show that synchronization error can quickly stabilize to near zero,verifying the correctness and effectiveness of the fast synchronization method.

KeywordsLyapunov function method;discrete chaotic system;nonlinear controller design;fast synchronization

自從1990年P(guān)ecora和Carrol發(fā)現(xiàn)了混沌的同步性,提出PC同步法,并且采用電路實現(xiàn)之后[1-2],混沌保密通信已成為信息安全領(lǐng)域的研究熱點?；煦绫Ｃ芡ㄐ乓蟀l(fā)送端和接收端的混沌系統(tǒng)同步,并提出了多種同步方法,如驅(qū)動-響應(yīng)同步法[1]、主動-被動同步法[3]、線性耦合同步法[4-5]、反饋控制同步法[6-7]等。本文針對混沌通信工程化過程中的同步問題,提出了一種基于非線性控制器設(shè)計的離散混沌系統(tǒng)同步方法,同步誤差可迅速穩(wěn)定在零點附近,實現(xiàn)收發(fā)兩端混沌系統(tǒng)的快速同步。

1混沌同步的判定準(zhǔn)則

一般地,混沌系統(tǒng)的同步問題都轉(zhuǎn)化為同步誤差系統(tǒng)穩(wěn)定性問題來研究,討論同步誤差系統(tǒng)的穩(wěn)定性,采用經(jīng)典的 Lyapunov函數(shù)法[8]。

Lyapunov函數(shù)法:對于同步誤差系統(tǒng)en=yn-xn,如果存在關(guān)于誤差en的函數(shù)V(en),滿足:

(1)V(en)≥0,且只有在en=0時,V(en)=0;

(2)V(en+1)-V(en)≤0,且只有在en=0時V(en+1)-V(en)=0,

則同步誤差系統(tǒng)en的極限趨于零,即

(1)

此時,同步誤差系統(tǒng)en=yn-xn是漸進(jìn)穩(wěn)定的,即混沌系統(tǒng)可漸進(jìn)地達(dá)到同步。

該混沌同步判定準(zhǔn)則是混沌同步的充要條件,對于自治或非自治系統(tǒng),甚至超混沌系統(tǒng),只要能找到合適的Lyapunov函數(shù),該判定準(zhǔn)則都是適用的。

2非線性控制器設(shè)計的快速同步原理

2.1　反饋同步原理

反饋同步原理[9]利用驅(qū)動系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)的誤差信號,通過施加反饋控制使響應(yīng)系統(tǒng)跟蹤驅(qū)動系統(tǒng),從而實現(xiàn)混沌系統(tǒng)的同步。系統(tǒng)框圖如圖1所示。

圖1　反饋同步法系統(tǒng)框圖

反饋同步原理分為參數(shù)反饋和狀態(tài)變量反饋兩種。參數(shù)反饋是指利用反饋的誤差信號去調(diào)整系統(tǒng)的參數(shù);狀態(tài)變量反饋是指將反饋的誤差信號直接加到響應(yīng)系統(tǒng)的狀態(tài)變量上去,不改變系統(tǒng)的參數(shù)[10]。在實際混沌通信工程中,并不希望混沌系統(tǒng)的參數(shù)發(fā)生改變,因此這里僅討論狀態(tài)變量反饋,其基本原理為:設(shè)n維自治離散迭代映射為驅(qū)動系統(tǒng),由差分方程表示為

xn+1=G(xn)

(2)

其中,x=(x1,x2,…,xn)T為狀態(tài)變量。

在響應(yīng)系統(tǒng)中增加一個反饋控制函數(shù)

yn+1=F(yn)+U(xn,yn)

(3)

其中,y=(y1,y2,…,yn)T為狀態(tài)變量;U(xn,yn)為反饋控制函數(shù)。選擇合適的U(xn,yn),使得n→∞時,U(xn,yn)→0和yn→xn,即式(3)的解漸近跟蹤式(2)的解,從而實現(xiàn)離散混沌系統(tǒng)的同步。

2.2　非線性控制器設(shè)計及證明

本文采用Lyapunov函數(shù)法判定準(zhǔn)則,在反饋同步原理的基礎(chǔ)上,提出了一種基于非線性控制器設(shè)計的離散混沌系統(tǒng)快速同步方法。驅(qū)動系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)分別如式(2)和式(3)。

將非線性控制器U分解為兩項

(4)

其中

(5)

證明如下:

定義誤差系統(tǒng)en=yn-xn,則

構(gòu)造Lyapunov函數(shù)

(6)

則對式(6)求差分方程可得

(7)

顯然,Vn≥0,若滿足

p2-1<0

(8)

3舉例分析

3.1　Bernulli映射

Bernulli映射,中文又被稱為伯努利映射,其是一種直線型映射。

Bernulli映射的數(shù)學(xué)表達(dá)式為

(9)

其中,μ為參數(shù),當(dāng)1<μ≤2時,系統(tǒng)達(dá)到混沌狀態(tài)[11]。Bernulli映射分岔圖如圖2所示,Bernulli映射相圖如圖3所示。取值范圍為xn∈[-0.5,0.5]。

圖2　Bernulli映射分岔圖

圖3　Bernulli映射相圖

3.2　Bernulli映射快速同步設(shè)計

設(shè)驅(qū)動系統(tǒng)如式(9),則設(shè)計響應(yīng)系統(tǒng)為

(10)

根據(jù)式(4)可知

(11)

設(shè)誤差系統(tǒng)為en=yn-xn,則

en+1=yn+1-xn+1=p(yn-xn)

(12)

3.3　Bernulli映射快速同步仿真分析

由于參數(shù)p與采樣步數(shù)的關(guān)系難以用具體函數(shù)表示,所以本文采取數(shù)值仿真方法,優(yōu)選參數(shù)p的大小。在數(shù)值仿真實驗中,設(shè)p步長為0.01,且p∈(-1,1),則參數(shù)p與采樣步數(shù)的關(guān)系如圖4所示。根據(jù)圖4優(yōu)選參數(shù)p,可見當(dāng)p=0時,采樣步數(shù)最少,可實現(xiàn)離散混沌系統(tǒng)的快速同步。

圖4　參數(shù)p與收斂步數(shù)關(guān)系圖

選取參數(shù)p=0,假設(shè)驅(qū)動系統(tǒng)(9)和響應(yīng)系統(tǒng)(10)的初始值分別為x0=-0.4,y0=0.4,此時同步誤差系統(tǒng)的初始值為e0=0.8。圖5為Bernulli映射同步誤差曲線,可見當(dāng)采樣步數(shù)<3時,en已穩(wěn)定在零點附近,實現(xiàn)了兩個離散混沌系統(tǒng)的快速同步;圖6為Bernulli映射同步過程模擬結(jié)果,從另一個角度驗證了同步誤差曲線的正確性。

圖5　同步誤差曲線

圖6　驅(qū)動-響應(yīng)波形圖

4結(jié)束語

根據(jù)混沌通信工程的實際需要,在反饋同步原理的基礎(chǔ)上,通過合理設(shè)計響應(yīng)系統(tǒng)的非線性控制器,最終實現(xiàn)了離散混沌系統(tǒng)的快速同步。該快速同步方法的優(yōu)點是收斂速度快,具有普遍性和穩(wěn)定性,數(shù)值仿真驗證了其正確性和有效性。在混沌通信工程中,一直存在混沌同步速度慢的問題,因此,該快速同步方法具有研究意義和實際應(yīng)用意義。

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作者簡介:周雙(1990—),女,碩士研究生。研究方向:混沌同步及其在保密通信中的應(yīng)用。謝紹斌(1962—),男,副教授,碩士生導(dǎo)師。研究方向:混沌信號理論及其應(yīng)用。

基金項目:國家自然科學(xué)基金資助項目(61202490);航空科學(xué)基金資助項目(20BZC15008)

收稿日期:2015- 05- 11

中圖分類號TN918

文獻(xiàn)標(biāo)識碼A

文章編號1007-7820(2016)01-065-03

doi:10.16180/j.cnki.issn1007-7820.2016.01.017