基于偏微分方程的乘性噪聲去噪算法

張化朋，任少美

(南京郵電大學 理學院，江蘇 南京 210046)

基于偏微分方程的乘性噪聲去噪算法

張化朋，任少美

(南京郵電大學 理學院，江蘇 南京 210046)

圖像去噪是圖像處理中最基本的問題，也是當前研究的熱點。近年來，國內(nèi)外學者對去除乘性噪聲進行了大量的研究，在AA模型的基礎(chǔ)上提出了許多去除合成孔徑雷達圖像中的伽馬噪聲的模型，它們都可以有效地去除圖像中的噪聲，但是共同的缺點是原圖像的細節(jié)丟失并且計算速度慢。針對這些問題，引入了權(quán)重函數(shù)，在此基礎(chǔ)上給出一種基于偏微分方程的去除圖像乘性噪聲的變分模型。然后使用交替迭代法，求出了該模型的數(shù)值解，并從理論上說明了該迭代序列的收斂性。數(shù)值實驗結(jié)果表明，所提出的模型保持了較好的去噪效果，能夠較好地抑制圖像中的“階梯效應”；與其他模型相比，該算法處理速度快，極大地縮短了運算時間。

圖像去噪；合成孔徑雷達圖像；伽馬噪聲；偏微分方程；交替迭代法

0 引 言

隨著科學技術(shù)的發(fā)展，信息的交流顯得尤為重要，而圖像傳輸在信息交流中作用很大，但是圖像中的各類噪聲嚴重影響了圖片的后續(xù)應用，因此圖像去噪非常重要。根據(jù)噪聲與信號之間的關(guān)系，圖像中的噪聲可以分為兩類：乘性噪聲和加性噪聲。其中，乘性噪聲廣泛存在于合成孔徑雷達(Synthetic Aperture Rader,SAR)圖像中，如何有效去除SAR圖像中的乘性噪聲是SAR圖像處理領(lǐng)域近年來研究的熱點問題[1-4]。

SAR圖像中的乘性噪聲服從伽馬(Gamma)分布，故稱為伽馬(Gamma)噪聲。因此，如何有效地去除伽馬噪聲是SAR圖像處理領(lǐng)域的首要問題。去除伽馬噪聲的方法有：基于小波變換、基于濾波和基于偏微分方程(Partial Differential Equation,PDE)[5-7]。其中，基于偏微分方程的去噪方法是通過變分的思想去除SAR圖像中的噪聲。雖然現(xiàn)有的模型均可以去除伽馬噪聲，但都存在明顯的“階梯效應”，速度也較慢。因此，目前需要解決的問題是如何在保留現(xiàn)有模型優(yōu)勢的基礎(chǔ)上，提高去噪效果并加快去噪速度。

為了解決此問題，在文獻[4]中的模型的基礎(chǔ)上，引入?yún)?shù)函數(shù)[8-9]，文中提出了一種新的去除SAR圖像中乘性噪聲的變分模型。該模型不僅較好地抑制了噪聲，避免了“階梯效應”，而且能很好地保護圖像的邊緣細節(jié)與紋理特征，運行速度也較快。

1 去噪模型

近年來，許多學者針對伽馬噪聲提出了很多基于偏微分方程的去噪模型[10-11]。Rudin等提出了RLO模型，在一定程度上可以去噪，但是會出現(xiàn)“階梯效應”。Alubert和Aujor根據(jù)最大后驗估計提出了AA模型，Huang等利用對數(shù)變換，提出了HNW模型：

(1)

為了利用文獻[9]的思想，結(jié)合參數(shù)函數(shù)a(x)：

(2)

它的作用是邊緣檢測和控制去噪時的平滑速度。

其中，a1，t為正則化參數(shù)。

2 迭代算法及收斂性分析

受文獻[4，11]的啟發(fā)，利用交替最小化算法[12](AlternatingMinimizationAlgorithm，AMA)求解問題(3)。設(shè)w0為初始數(shù)據(jù)，求解下列兩個優(yōu)化問題:

(4)

根據(jù)交替最小化算法的思想，求解新模型的算法如下：

Step1：初始化。給定參數(shù)a1，σ，k，p，t,以及初始數(shù)據(jù)w0，并令m=1。

Step2：根據(jù)牛頓迭代法，利用式(4)求解zm。

Step3：根據(jù)數(shù)值化方法[13-14]，并利用式(5)求解wm。

Step5：輸出去噪后的圖像。

下面證明迭代序列w0,z1,w1,z2,…,wm-1,zm的收斂。由式(4)和式(5)可知，wm=S(zm)=S(R(wm-1))=T(wm-1)，因此有下面的定理。

根據(jù)文獻[4，11]，可以通過下面幾個引理證明定理1，這里不再證明定理1。

引理1：算子R是非膨脹的，算子S是1/2-平均非膨脹的，算子T是非膨脹的。

引理3：模型(2)對應的泛函是強制的。

引理4：算子T至少存在一個不動點。

3 實驗結(jié)果與分析

為了驗證模型的有效性及可行性，本節(jié)將在相同的計算機軟件與硬件下采用MATLABR2009a對Lena和Babala圖像進行仿真實驗。為了定量比較，選取以下4個度量作為性能指標：信噪比(SignaltoNoiseRatio,SNR)、絕對誤差(RelativeError,ReErr)、峰值信噪比(PeakSignaltoNoiseRatio,PSNR)、均方根誤差(MeanSquareError,MSE)。顯然，SNR和PSNR越大，去噪效果越好；MSE和ReErr越小，去噪效果越好。實驗中分別對兩幅圖像添加視數(shù)為10、30、50的伽馬噪聲，并與AA模型、RLO模型、HNW模型進行比較，去噪效果見圖1～3。

另外，表1～3分別給出了圖1～3對應的去噪后的客觀指標值。

圖1 實驗結(jié)果1

圖2 實驗結(jié)果2

圖3 實驗結(jié)果3

圖像視數(shù)模型SNR/dBReErrPSNR/dBMSE運行時間Lena10AA模型6.41540.321715.53540.02836.883RLO模型8.42660.265817.19420.019132.509HNW模型10.46450.184720.35780.009220.353文中模型11.5540.096326.05150.00255.1987

表2 圖2的數(shù)值實驗結(jié)果

表3 圖3的數(shù)值實驗結(jié)果

從表1～3可以看出：對于人工產(chǎn)生的伽馬噪聲，比較SNR,PSNR值，文中模型都高于其他模型，而ReErr,MSE值均低于其他模型。另外，文中模型的收斂速度更快。

4 結(jié)束語

文中引入新的正則項，建立了一個新的去除SAR圖像中伽馬噪聲的變分模型，既去除了噪聲，又改善了去噪質(zhì)量。

數(shù)值實驗結(jié)果表明，新模型可以很好地去除噪聲，并有效地抑制“階梯效應”。

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andApplications,2010,362(2):415-426.

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Algorithm of Removing Multiplicative Noise Based on Partial Differential Equation

ZHANG Hua-peng,REN Shao-mei

(College of Science，Nanjing University of Posts and Telecommunications，Nanjing 210046，China)

Image denoising is the most basic problem in image processing and also the current research focus.In recently years,there are a lot of researches on the multiplicative noise removal by domestic and foreign scholars.Based on AA model,many models for removal of Gamma noise in synthetic aperture radar image are proposed,which can remove the noise effectively,but the common disadvantage is loss of the original image’s detail and slow computing speed.Aiming at them,introducing weight function,a new variational model based on partial differential equation is proposed to remove the multiplicative noise.An alternating minimization algorithm is introduced to solve the problem for the model.What’s more,the convergence for the variational problem is illustrated in theroy.Experimental results show that the proposed model has a good denoising effect and restrains the “staircase effect”.Compared with the other models,the algorithm is faster and greatly decreases the computational time.

image denoising;synthetic aperture radar image;Gamma noise;Partial Differential Equation (PDE);alternating minimization algorithm

2016-01-23

2016-05-18

時間：2016-10-24

國家自然科學基金資助項目(11301281)

張化朋(1982-)，男，副教授，博士，研究方向為模糊泛函分析；任少美(1989-)，女，碩士研究生，研究方向為圖像處理。

http://www.cnki.net/kcms/detail/61.1450.TP.20161024.1117.080.html

TP301.6

A

1673-629X(2016)11-0090-03

10.3969/j.issn.1673-629X.2016.11.020