具有Holling II捕食功能反應(yīng)的捕食系統(tǒng)奇點(diǎn)的穩(wěn)定性與極限環(huán)的存在性

武芳

(南京財(cái)經(jīng)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院，江蘇南京210023)

具有Holling II捕食功能反應(yīng)的捕食系統(tǒng)奇點(diǎn)的穩(wěn)定性與極限環(huán)的存在性

武芳

(南京財(cái)經(jīng)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院，江蘇南京210023)

本文研究了一類具有HollingⅡ型捕食功能反應(yīng)的捕食系統(tǒng)，對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行了定性分析，給出了該系統(tǒng)奇點(diǎn)穩(wěn)定性的相關(guān)討論結(jié)果、系統(tǒng)包含正奇點(diǎn)的全局穩(wěn)定性及極限環(huán)的存在性的證明.

Holling II型捕食系統(tǒng);奇點(diǎn);穩(wěn)定性;極限環(huán)

自上世紀(jì)以來(lái)，各種生物學(xué)模型受到廣泛的關(guān)注，種群之間的捕食關(guān)系也吸引了各個(gè)學(xué)科學(xué)者們的目光，許多學(xué)者對(duì)此已經(jīng)做了大量的研究工作.對(duì)于兩種群相互作用的具有功能反應(yīng)函數(shù)的食餌－捕食模型，人們往往關(guān)心的是系統(tǒng)是否有孤立的周期解，換句話說(shuō)就是系統(tǒng)是否有唯一的極限環(huán)，因?yàn)榉€(wěn)定的極限環(huán)對(duì)應(yīng)穩(wěn)定的種群的生態(tài)平衡.穩(wěn)定的平衡態(tài)對(duì)種群的生存具有十分重要的意義.

文獻(xiàn)［1］研究了具有Holling I型功能反應(yīng)函數(shù)的捕食者－食餌系統(tǒng)，考慮當(dāng)功能反應(yīng)函數(shù)是HollingⅡ型時(shí)，即系統(tǒng)為:

時(shí)，對(duì)系統(tǒng)的平衡點(diǎn)及極限環(huán)進(jìn)行討論.本文考慮當(dāng)系統(tǒng)為具有Holling II捕食功能反應(yīng)的捕食系統(tǒng)

時(shí)，對(duì)系統(tǒng)奇點(diǎn)的穩(wěn)定性及極限環(huán)的存在性進(jìn)行討論.其中K，A，B，Ci，Di(i=1，2)都是正的常數(shù).

1 簡(jiǎn)化參數(shù)

為了方便起見(jiàn)，首先對(duì)系統(tǒng)(2)進(jìn)行參數(shù)化簡(jiǎn).

令u=gx，v=hy，τ=mt，則有:

則(3)，(4)式可簡(jiǎn)化為:

為了與通常的記法一致，用x，y替換u，v，于是系統(tǒng)(2)簡(jiǎn)化為:

其中a，b，d1，d2均為大于零的參數(shù).

2 系統(tǒng)所有可能的奇點(diǎn)

于是所有可能的奇點(diǎn)為:O(0，0)E1(a，0)E*(x*，y*)

其中x*，y*滿足:

即兩條直線l1，l2的交點(diǎn)為E*(x*，y*)，

由方程l1可得解為y1=(1+x)(a－x);由方程l2可得解為

3 奇點(diǎn)的局部穩(wěn)定性

若E*(x*，y*)為正奇點(diǎn)(即存在且為正)，則0＜x*＜a，

又

性質(zhì)1若(H1)成立，則(3)存在唯一的正奇點(diǎn)E*(x*，y*).

下面針對(duì)每一個(gè)可能的奇點(diǎn)討論其穩(wěn)定性.

為了方便下面的證明，首先給出如下說(shuō)明:

若線性系統(tǒng)在奇點(diǎn)A處的特征方程為λ2+pλ+q=0，若特征方程有2個(gè)異號(hào)的實(shí)特征根，那么奇點(diǎn)為鞍點(diǎn)，不穩(wěn)定.若特征方程有2個(gè)同號(hào)的實(shí)根，那么奇點(diǎn)為結(jié)點(diǎn)，如果特征方程中的p＞0，q＞0，則結(jié)點(diǎn)是穩(wěn)定的;如果p＞0，q＞0，則結(jié)點(diǎn)不穩(wěn)定.若特征方程有一對(duì)共軛復(fù)根，則奇點(diǎn)為焦點(diǎn).若特征方程有一對(duì)純虛根那么奇點(diǎn)為中心焦點(diǎn)［1］.詳見(jiàn)文獻(xiàn)［2］.

所以O(shè)(0，0)為鞍點(diǎn)，不穩(wěn)定.

性質(zhì)2(i)若a(b－d1)＞d1，則λ2＞0，E1(a，0)為鞍點(diǎn)，不穩(wěn)定(但此時(shí)E*存在);

(ii)若a(b－d1)＜d1，則λ2＜0，E1(a，0)為結(jié)點(diǎn)，穩(wěn)定(但此時(shí)E*不存在).

則有:

令p=a2－d1+x*(1－a1)，q=(a1－1)x*·(d1－a2)+a1a2，則(7)式可化為:

令f(x)=2x2+(1+b－d1－a)x－d1，考慮f(x*)的正負(fù):

令f(x)=0，得兩根:

(i)當(dāng)p2－4q＞0時(shí)，λ1+λ2=－p，λ1·λ2=q＞0，則λ1，λ2兩根同號(hào):

則E*(x*，y*)是穩(wěn)定的，但不是漸進(jìn)穩(wěn)定的.

注由(i)，(ii)，(iii)可以總結(jié)出:

4 包含正奇點(diǎn)的全局穩(wěn)定性

取V函數(shù):

于是沿著系統(tǒng)(3)，V函數(shù)對(duì)時(shí)間t的導(dǎo)數(shù)為:

由于體育活動(dòng)需要場(chǎng)地與體育器材，就需要具備一定經(jīng)費(fèi)的投入，只有在體育方面進(jìn)行經(jīng)費(fèi)的投入，幼兒園才能進(jìn)行體育活動(dòng)[3]。經(jīng)過(guò)對(duì)成都市龍府幼兒園的調(diào)查，發(fā)現(xiàn)幼兒園的體育方面的經(jīng)費(fèi)一般來(lái)自政府的投入和自籌，而幼兒園在體育方面的經(jīng)費(fèi)與幼兒園的類別有非常大的關(guān)系，成都市幼兒園在體育活動(dòng)經(jīng)費(fèi)的投入方面出現(xiàn)不均衡的情況，一些民辦幼兒園由于體育方面的經(jīng)費(fèi)不足，導(dǎo)致活動(dòng)場(chǎng)地和體育器材都出現(xiàn)短缺的情況，這種情況的出現(xiàn)導(dǎo)致幼兒健康教育方面的目標(biāo)很難完成。

而

于是

而

于是

因此

取K1=b，K2=1，則:

其二次型矩陣為:

5 包含正奇點(diǎn)的極限環(huán)的存在性

由以上結(jié)果可知，在(H2)條件下，E*存在但不穩(wěn)定.

取L1=x－a=0，?y＞0，有:

故當(dāng)軌線與x=a相遇時(shí)，均從直線x=a右方穿入左方;

?x∈［0，a］，有:

6 使用Matlab軟件進(jìn)行數(shù)值模擬，驗(yàn)證奇點(diǎn)的局部穩(wěn)定性

(1)已知O(0，0)為鞍點(diǎn)，不穩(wěn)定.取a=2，b=3，d1=2，d2=4，則圖形如圖1所示，顯然O(0，0)不穩(wěn)定.

圖1

(2)E1(a，0)點(diǎn)的局部穩(wěn)定性，如:

取a=4，b=2，d1=d2=1，則如圖2所示.

很顯然，此時(shí)E1(a，0)不穩(wěn)定;

取a=1，b=3，d1=2，d2=1，則穩(wěn)定性如圖3所示，此時(shí)E1(a，0)穩(wěn)定于(1，0)點(diǎn).

圖2

圖3

取a=2，b=2，d1=1，d2=1.則E*(x*，y*)漸進(jìn)穩(wěn)定，如圖4所示.

取，b=4，d1=1，d2=2，則E*(x*，y*)漸進(jìn)穩(wěn)定，如圖5所示.

圖4

圖5

圖6

［1］范學(xué)良，雒志學(xué)，張宇功.一類具HollingⅡ型功能反應(yīng)的食餌－捕食者模型的定性分析［J］.云南民族大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2014，23(3):190－194.

［2］馬知恩.種群生態(tài)學(xué)的數(shù)學(xué)建模與研究［M］.合肥:安徽教育出版社，1996.

［3］劉啟寬，張兆強(qiáng)，陳沖.一類具有功能反應(yīng)的食餌－捕食模型的定性分析［J］.重慶理工大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2010(1):118－122.

［4］匡奕群，邱梅青.一類具功能反應(yīng)的食餌－捕食者模型的定性分析［J］.生物數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2008，22(4):629－633.

［5］王育全.一類具HollingⅠ型功能反應(yīng)的食餌－捕食者模型的極限環(huán)及平衡點(diǎn)的全局穩(wěn)定性［J］.懷化學(xué)院學(xué)報(bào)，1989(5):6.

［6］陳柳娟，孫建華.具Holling第Ⅱ類功能性反應(yīng)的捕食者－食餌系統(tǒng)的定性分析［J］.生物數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2003，18(1):33－36.

［7］陳曉鷹，朱婉珍.具有HollingⅡ型功能性反應(yīng)的捕食者－食餌種群SIS模型定性分析［J］.廈門大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2005，44 (1):16－19.

［8］馬知恩.常微分方程定性與穩(wěn)定性方法［M］.北京:科學(xué)出版社，2001.

［9］堵秀鳳.具有收獲率的Holling III類功能性反應(yīng)捕食模型的定性分析［J］.哈爾濱理工大學(xué)學(xué)報(bào)，2009，14(6):92－95.

［10］張芷芬.微分方程定性理論［M］.北京:科學(xué)出版社，1985.

Discussion on the Stability of Singular Point and the Existence of Limit Cycle for A Class of Predator－prey System with Holling II Functional Response

WU Fang
(School of Applied Mathematics，Nanjing University of Finance and Economics，Nanjing，210023，China)

This paper studies the stability of singular point and the existence of limit cycle for a class of predator－prey systems with Holling II functional response，and carries on the qualitative analysis to the system，and gives the discussion results of the stability of singular point and the singularity global stability and the proof of the existence of limit cycle.Finally，numerical examples are put forward to illustrate the effectiveness of the discussion in the article.

Holling II predator－prey system;singular point;stability;limit cycle

O193;Q141

A

1672－2590(2016)03－0018－12

2016－04－04

武芳(1990－)，女，山東棗莊人，南京財(cái)經(jīng)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院碩士研究生.