基于線性移相誤差的N步移相算法

張少丹,李　琳

(上海理工大學(xué) 光電信息與計(jì)算機(jī)工程學(xué)院,上?！?00093)

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基于線性移相誤差的N步移相算法

張少丹,李琳

(上海理工大學(xué) 光電信息與計(jì)算機(jī)工程學(xué)院,上海200093)

摘要移相誤差是影響移相干涉術(shù)測(cè)量精度的主要來源,針對(duì)移相器的線性移相誤差,文中提出一種新型的移相干涉術(shù)算法-N步移相算法。該算法通過最小二乘法估計(jì)出移相器做等步移相時(shí)的實(shí)際移相相位,利用上述估計(jì)值代入相位計(jì)算公式獲得被測(cè)物體的相位分布。同時(shí)對(duì)該算法進(jìn)行仿真研究,其結(jié)果表明,算法能準(zhǔn)確地估計(jì)移相相位,獲得被測(cè)物體的精確相位分布,并可實(shí)現(xiàn)λ/100的高精度測(cè)量,且在測(cè)量精度上明顯優(yōu)于其他算法。

關(guān)鍵詞線性移相誤差;移相干涉術(shù);移相器;相位分布

移相干涉術(shù)是一種被廣泛應(yīng)用于光學(xué)元件測(cè)試、全息干涉術(shù)和散斑計(jì)量等方面的測(cè)量方法[1-4],其具有測(cè)量精度高,重復(fù)性好等特點(diǎn)。但由于移相干涉術(shù)的測(cè)量結(jié)果是對(duì)各幅干涉圖像和移相相位做運(yùn)算所獲得的,然而,在實(shí)際的引用中由于移相器本身的限制,移相誤差無法避免,要實(shí)現(xiàn)精確的移相較為困難,因此,移相誤差是影響測(cè)量精度的主要來源[5-9]。為減小或盡量消除移相誤差對(duì)測(cè)量精度的影響,一般有兩種方法:一是通過對(duì)移相器的標(biāo)定盡量消除移相器的誤差,如文獻(xiàn)[10]通過3個(gè)壓電陶瓷堆削弱移相器的誤差、文獻(xiàn)[11]由迭代最小二乘法削弱移相器的誤差;二是如文獻(xiàn)[12]的4步平均法,文獻(xiàn)[13]的重疊4步平均法,以及文獻(xiàn)[14]中Hariharan的5步算法,通過發(fā)展一種對(duì)移相誤差不敏感的算法,來提高測(cè)量精度的。

本文是第二種,針對(duì)移相器的線性移相誤差,提出的一種新型的移相干涉術(shù)算法—N步移相算法。該算法首先估計(jì)出移相器的實(shí)際相位位移,再運(yùn)用相位計(jì)算公式獲得被檢測(cè)物體的相位。仿真結(jié)果表明,所提算法能準(zhǔn)確地估計(jì)移相相位,獲得峰谷值PV達(dá)到λ/100的相位分布(λ為光源的波長(zhǎng),常用的紅光波長(zhǎng)為770～622 nm),并且對(duì)比4步法、Hariharan的5步算法[14]、4步平均法[12]和5幀算法[6],具有更高的測(cè)量精度。

1移相干涉術(shù)算法

1.1傳統(tǒng)算法

干涉條紋圖像的光強(qiáng)分布可表示為

Ii(x,y)=A(x,y)+B(x,y)cos[φ(x,y)+φi],i=1,2,…,N

(1)

式中,A(x,y)代表背景光強(qiáng),B(x,y)為干涉條紋的調(diào)制度,φ(x,y)為被檢測(cè)相位,φi為參考相位位移。假設(shè)在一個(gè)周期內(nèi)等間距采樣N步,可得到N組光強(qiáng)值,參考相位位移可表示為φi=2π(i-1)/N,i=1,2,…,N。

應(yīng)用最小二乘法對(duì)式(1)進(jìn)行變換

(2)

求得被測(cè)相位為

(3)

(4)

這種方法計(jì)算簡(jiǎn)單,因此得到了廣泛應(yīng)用。

(5)

這是對(duì)上述4步法運(yùn)用平均技術(shù)進(jìn)行改進(jìn)的算法,能更好地減小移相誤差對(duì)測(cè)量精度影響。

1.2步移相算法

本文算法是針對(duì)移相器的線性移相誤差進(jìn)行估計(jì)的N步移相算法。算法原理簡(jiǎn)述如下:

考慮移相器的線性移相誤差,干涉條紋圖的光強(qiáng)分布可表示為

Ii(x,y)=A(x,y)+B(x,y)cos[φ(x,y)+(i-1)[δ+α]],i=1,2,…,N

(6)

式中,δ表示移相器的步進(jìn)相移量,α表示移相器移相δ時(shí)所對(duì)應(yīng)的線性誤差。

設(shè)α+δ=β,β為考慮線性移相誤差時(shí),移相器每一步的實(shí)際移相相位。針對(duì)干涉圖像的一個(gè)像素點(diǎn),對(duì)式(6)進(jìn)行簡(jiǎn)單的分析變換可得到

2cosβ(x,y)Ii-1(x,y)-2cosβ(x,y)Ii-3(x,y)+Ii-4(x,y)=A(x,y)+B(x,y)cos[φ(x,y)+(i-1)β(x,y)]=Ii(x,y)

(7)

對(duì)式(7)用最小二乘法,即

(8)

由上面(8)式求得

(9)

考慮到采集到的圖像存在光強(qiáng)誤差,對(duì)整幅圖像求取平均值,得到

(10)

式中,M和L分別是干涉條紋圖中有效的行列像素點(diǎn)。

考慮到線性移相誤差,對(duì)4步法進(jìn)行改進(jìn),每4幅干涉圖像為一組,求取平均值得到相位計(jì)算公式為

(11)

本算法的關(guān)鍵是對(duì)實(shí)際移相相位β的估計(jì)。若能精確地估計(jì)出β,再通過相位計(jì)算公式就能夠精確地檢測(cè)出被檢測(cè)物體的相位。

2仿真結(jié)果與分析

Matlab仿真的目的是為了校驗(yàn)該算法能否準(zhǔn)確估計(jì)實(shí)際移相相位,以及能得到被測(cè)物體的精確相位分布。

首先,校驗(yàn)該算法能否準(zhǔn)確估計(jì)出實(shí)際相位位移。對(duì)移相器的線性誤差用百分?jǐn)?shù)來表示,即

當(dāng)E的取值范圍為[-50%,50%]時(shí),β的理論值β1和β的估計(jì)值β2如表1所示。理論值與實(shí)際值之間存在的誤差平均值為0.000 004。

表1　β的理論值β1與估計(jì)值β2比較

其次,校驗(yàn)該算法能否準(zhǔn)確的測(cè)量出被測(cè)物體的相位分布,圖1為實(shí)際的相位分布。當(dāng)E=-50%時(shí),運(yùn)用本文的算法得到的相位分布如圖2所示。圖3為實(shí)際相位與本算法得到的相位差值。由圖可知,該算法能精確地復(fù)原被檢測(cè)物體的相位。

圖1　實(shí)際的相位分布

圖2　本文的算法得到的相位分布

圖3　實(shí)際相位與本算法得到的相位差值

最終,比較本文算法與4步法、Hariharan的5步算法[14]、4步平均法[12]和于飛的5幀算法[6]在不同的線性移相誤差時(shí)所得到的峰谷值和均方根值RMS。圖4和圖6分別為本算法在不同線性誤差是的PV值和RMS值,圖5和圖7分別為這5種算法各自在的取值范圍為時(shí),所對(duì)應(yīng)PV值和RMS值。由圖5和圖7得出,對(duì)于PV值,4步平均法和5步法對(duì)線性移相誤差有一定削弱作用,4步法和5幀算法對(duì)線性移相誤差較為敏感。對(duì)于RMS值,當(dāng)線性移相誤差較小時(shí),5幀算法對(duì)線性移相誤差有一定的削弱作用,當(dāng)誤差較大時(shí),5步法有一定的優(yōu)勢(shì)。而本文的算法在整個(gè)E=[-50%,50%]時(shí),PV值和RMS值都明顯優(yōu)于其他4種算法,具有更高的測(cè)量精度。

圖4　本算法在不同線性誤差時(shí)的PV值

圖5　5種算法在不同線性誤差時(shí)的PV值

圖6　本算法在不同線性誤差時(shí)的RMS值

圖7　5種算法在不同線性誤差時(shí)的RMS值

從仿真結(jié)果可看到,本算法可準(zhǔn)確地估計(jì)出考慮了線性移相誤差時(shí)移相器的實(shí)際相位位移。同時(shí),可看出該算法求解被測(cè)物體相位的峰谷值PV遠(yuǎn)小于0.01,達(dá)到λ/100的相位分布。

3結(jié)束語

本文的N步移相算法,首先運(yùn)用最小二乘法估計(jì)實(shí)際的移相相位,再利用此移相相位計(jì)算被測(cè)物體的相位分布。由仿真結(jié)果可看出,本算法可有效地消除由于移相器的線性移相誤差而引起的復(fù)原誤差,提高相位檢測(cè)時(shí)的精度,使檢測(cè)精度的峰谷值PV達(dá)到λ/100。該算法簡(jiǎn)單,實(shí)用性較強(qiáng),只要求移相器作等步移相,且不用受到移相步數(shù)N的限制,只需N>4即可。

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N-Sample Phase-Shifting Algorithm Based on Linear Phase-Shift Error

ZHANG Shaodan,LI Lin

(School of Optical-Electrical and Computer Engineering,University of Shanghai for

Science and Technology,Shanghai 200093,China)

AbstractPhase-shift error is always the main source of the measurement precision in phase-shifting interferometry.In this paper,a new phase-shifting interferometry algorithm named N-sample phase-shifting algorithm is proposed,which can greatly reduce the phase reset error caused by linear phase shifting deviation.Firstly,step phase shifts of phase shifter are estimated.Secondly,the phase distribution of a fringe pattern is calculated by using the obtained phase shifts.Computer simulation shows the proposed algorithm accurately estimates the phase shift and obtains the phase distribution with an accuracy of λ/100,much better than those of existing algorithms.

Keywordslinear phase-shift error;phase-shifting interferometry;phase shifter;phase distribution

中圖分類號(hào)TN247;O436

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼A

文章編號(hào)1007-7820(2016)02-030-04

doi:10.16180/j.cnki.issn1007-7820.2016.02.008

作者簡(jiǎn)介:張少丹(1991—),女,碩士研究生。研究方向:圖像處理。李琳(1983—),女,副教授,碩士生導(dǎo)師。研究方向:魯棒控制等。

收稿日期:2015- 07- 06