冗余驅(qū)動液壓振動臺內(nèi)力耦合動態(tài)抑制策略*

高長虹　叢大成　楊志東　曲智勇

(哈爾濱工業(yè)大學 機電工程學院, 黑龍江 哈爾濱150001)

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冗余驅(qū)動液壓振動臺內(nèi)力耦合動態(tài)抑制策略*

高長虹叢大成楊志東?曲智勇

(哈爾濱工業(yè)大學 機電工程學院, 黑龍江 哈爾濱150001)

摘要：冗余振動臺通常采用零位線性化方法進行自由度控制和內(nèi)力耦合抑制.當系統(tǒng)運動范圍較大時,這種近似方法會使得系統(tǒng)產(chǎn)生較大的運動誤差,內(nèi)力抑制效果變差.針對此問題,文中以具有兩個冗余自由度和較大運動范圍的冗余驅(qū)動液壓振動臺為研究對象,建立系統(tǒng)運動學和動力學模型,分析系統(tǒng)的內(nèi)力空間構(gòu)成,提出了一種基于內(nèi)力空間基底實時求解的內(nèi)力耦合動態(tài)抑制策略,通過實時獲取冗余自由度空間上的力并對其進行動態(tài)抑制來達到減小內(nèi)力的目的.仿真結(jié)果表明:所提出的內(nèi)力抑制策略能有效地降低冗余振動臺耦合內(nèi)力.

關(guān)鍵詞：液壓振動臺;冗余驅(qū)動;零位線性化;內(nèi)力耦合;運動控制

振動臺是進行振動環(huán)境模擬試驗的重要設(shè)備,已廣泛應(yīng)用于航空、航天、船舶、汽車、建筑等領(lǐng)域[1- 4].為了使系統(tǒng)擁有較大的出力,振動臺通常采用液壓冗余驅(qū)動并聯(lián)形式.由于系統(tǒng)使用液壓缸的數(shù)目大于控制的自由度數(shù)目,各液壓缸在運動過程中會因為各自的動態(tài)特性不一致或安裝誤差等原因造成較大的內(nèi)力耦合現(xiàn)象[5-7].這種內(nèi)力對外不做功,但減小了系統(tǒng)的凈出力,嚴重時會造成機構(gòu)的破壞,導致系統(tǒng)無法正常工作.因此,對冗余振動臺內(nèi)力耦合抑制策略的研究具有重要的意義.

韓俊偉[8]提出了壓力鎮(zhèn)定控制技術(shù),根據(jù)液壓缸壓力同步控制思想,將各液壓缸壓力差別作為反饋量修正伺服閥驅(qū)動信號,以實現(xiàn)系統(tǒng)內(nèi)力的抑制.Underwood等[9]提出了八自由度控制策略,在原有6個自由度的基礎(chǔ)上引入兩個扭曲自由度,通過抑制這兩個自由度的運動輸出來降低系統(tǒng)的內(nèi)力.Plummer[10]以幾個實際工程中的應(yīng)用實例為背景,詳細介紹了一類具有運動范圍小、可采集作動器的位移和力信號、液壓驅(qū)動且為冗余并聯(lián)形式機構(gòu)的運動控制策略,提出了工作自由度空間采用基于零位線性化的自由度控制及冗余自由度空間采用力控制的策略來實現(xiàn)機構(gòu)的運動控制及內(nèi)力抑制.

然而,以上研究均以振動臺在小范圍(運動范圍遠小于臺體尺寸[10])內(nèi)運動為前提,采用零位線性化方法[8-10]對冗余振動臺進行自由度控制及內(nèi)力耦合抑制.當系統(tǒng)在較大范圍內(nèi)運動時,工作自由度空間與液壓缸鉸點空間的運動轉(zhuǎn)換關(guān)系以及由各液壓缸內(nèi)力構(gòu)成的內(nèi)力空間形態(tài)均會隨平臺位姿的變化而呈現(xiàn)較大的變化.此時采用基于零位線性化方法的控制策略會給系統(tǒng)帶來較大的運動誤差,內(nèi)力抑制效果也會變差.為此,文中通過建立系統(tǒng)運動學和動力學模型,分析了內(nèi)力空間組成及基底的求解方法,獲得了液壓缸鉸點空間與冗余自由度空間力的實時轉(zhuǎn)換關(guān)系,以實現(xiàn)內(nèi)力耦合的動態(tài)抑制.

1冗余振動臺系統(tǒng)簡述

圖1為冗余振動臺結(jié)構(gòu)及俯視圖.該振動臺由8套液壓驅(qū)動系統(tǒng)、上平臺和基礎(chǔ)等組成.每條液壓缸與上平臺及基礎(chǔ)間通過球鉸連接.水平方向4套液壓缸上、下鉸點中心的連線與平臺相應(yīng)側(cè)邊均成45°.該系統(tǒng)冗余自由度為2,臺面尺寸為1 m×1 m,要求運動范圍為:水平雙向位移±0.28 m,垂向位移±0.18 m.當水平單向位移達到滿幅值時,垂向液壓缸擺動角度接近10°,如果使用零位線性化方法對平臺進行位姿控制,則會帶來較大的運動誤差.

圖1　冗余振動臺結(jié)構(gòu)及俯視圖Fig.1　Configuration and top view of redundant shaking table

2運動學分析

如圖1(b)所示,ai和bi分別表示第i條液壓缸的上鉸點和下鉸點.為了更清楚地描述振動臺的運動,分別選取兩個坐標系:慣性參考坐標系Ob-xbybzb和體坐標系Op-xpypzp.其中體坐標系與平臺固連,其坐標原點Op位于平臺上表面中心,并隨平臺一起運動.慣性坐標系與基礎(chǔ)固連,并始終保持靜止.當平臺處于中位時,慣性坐標系與體坐標系完全重合.

(1)

式中,R為體坐標系到慣性坐標系的旋轉(zhuǎn)變換矩陣,

(2)

cψ=cosψ,sψ=sinψ,其余依此類推.

根據(jù)空間矢量關(guān)系求得第i條液壓缸長度矢量

(3)

對式(3)求導,可得到第i個上鉸點的運動速度

(4)

第i條液壓缸的速度vi即為上鉸點速度vai在液壓缸矢量方向上的投影,根據(jù)式(4)可得

(5)

式中,lni為第i條液壓缸的單位方向矢量,

(6)

(7)

(8)

雅可比矩陣J(q)表示廣義速度與液壓缸速度之間的映射關(guān)系,是關(guān)于平臺位姿q的函數(shù).由于振動臺運動范圍較大,故文中采用運動學反解方法,根據(jù)平臺實際位姿實時求解J(q)的值,再根據(jù)式(7)將位姿誤差控制信號精確轉(zhuǎn)換成液壓缸速度指令信號驅(qū)動液壓缸運動.

在實際應(yīng)用中振動臺位姿的測量較為困難,一般通過采集液壓缸位移信號進行位姿的正解換算.文中運動學正解采用Newton-Raphson迭代算法[11]求解,利用液壓缸的實際測量位移迭代計算出平臺的當前姿態(tài).該算法的迭代序列可以表示為

qj+1=qj+J-1(qj)(lm-lj)

(9)

式中,j為迭代次數(shù),j≥1,lm為液壓缸長度的實際測量值,qj為上一次迭代得到的平臺位姿,lj為上一次迭代位姿下求解得到的液壓缸長度.

由于冗余振動臺J(q)的維數(shù)為8×6,并非方陣,由式(9)可知,迭代過程需求取矩陣J(q)的逆,在實際運算中使用J(q)的偽逆J+(q)來代替式(9)中的J-1(q),即

J+(q)=(JTJ)-1JT

(10)

J+(q)為最小二乘解,它表現(xiàn)了平臺廣義速度與液壓缸速度在最小二乘意義上的最佳匹配對應(yīng)關(guān)系.

3內(nèi)力空間描述及基底的推導

3.1　動力學分析

液壓缸工作時其兩腔受壓縮液體產(chǎn)生的液壓彈簧剛度會隨著活塞位置的變化而變化.當平臺大范圍運動時,液壓缸較長的行程導致其液壓彈簧剛度的變化范圍較大[12],影響了系統(tǒng)剛度和各自由度頻寬,在液壓系統(tǒng)建模時需要考慮.此外,文中還考慮了由負載力引起的流量非線性、液壓缸泄露等因素.

首先建立節(jié)流窗口對稱且匹配的伺服閥以及對稱液壓缸的數(shù)學模型.第i個伺服閥閥芯位移xvi與控制電壓ui之間的傳遞函數(shù)用二階環(huán)節(jié)表示,即

(11)

式中,ωvi、ζvi、kai、kvi分別為第i個伺服閥的固有頻率、阻尼比、放大器增益及閥芯位移與電流信號之間的比例系數(shù),s為拉氏變換參變量.

第i個伺服閥兩端閥口的進出流量Q1i、Q2i的流量方程為[13]

(12)

(13)

式中,wi、p1i、 p2i分別為第i個伺服閥節(jié)流窗口的面積梯度及第i條液壓缸兩腔的壓力,cd為流量系數(shù),ρ為液壓油密度,ps、 pr分別為供油壓力與回油壓力.

第i條液壓缸兩腔的流量連續(xù)性方程分別為

(14)

(15)

式中,Ai、vi、cici、ceci、V1i、V2i分別為第i條液壓缸的有效作用面積、速度、內(nèi)泄漏系數(shù)、外泄漏系數(shù)及兩腔的各自容積,βe為油液體積彈性模量.

設(shè)液壓缸在中位時兩腔的初始容積相等,則

V1i=V0i+Aidi

(16)

V2i=V0i-Aidi

(17)

式中,V0i為第i條液壓缸在初始中位時的初始容積,di為第i條液壓缸的位移.

第i條液壓缸的輸出力fi可表示為

fi=Ai(p1i-p2i)-Bcivi

(18)

式中,Bci為第i條液壓缸的粘性阻尼系數(shù).

將8條液壓缸的出力寫成矢量f形式,則

(19)

由于振動臺活塞桿及缸筒的質(zhì)量相對于平臺及負載不可忽略,故在進行動力學分析時需要建立完整的多剛體模型[14].由于篇幅有限,文中只給出最終簡化的動力學方程:

(20)

JT(q)f=F

(21)

3.2　內(nèi)力空間描述

式(21)為非齊次線性方程組,由于未知變量多于方程數(shù),故該方程組是欠定方程組.該非齊次方程組的通解[15]形式為

(22)

用S表示內(nèi)力空間,令B=I-(JT)+JT為內(nèi)力空間矩陣,則S與f存在如下的映射關(guān)系:

Bf=S

(23)

內(nèi)力空間內(nèi)的任意元素s∈R8×1應(yīng)滿足:

JTs=0

(24)

內(nèi)力空間S的維數(shù)與B的秩相等，即dimS=rank(B)=2,則可將內(nèi)力空間S表示為

S=span(e1,e2)

(25)

式中:span(.)為向量的線性組合;e1和e2為B的兩個線性無關(guān)的列向量,可以看作S的一組基底.

3.3　內(nèi)力空間基底的推導

根據(jù)矩陣分解理論,內(nèi)力空間矩陣B∈R8×8可分解為兩個矩陣乘積的形式[15]:

B=D

(26)

由廣義逆矩陣的性質(zhì)JT(JT)+JT=JT可得

(27)

由冪等矩陣的定義可知,B為冪等矩陣[15],則可將式(26)中矩陣D設(shè)為的廣義逆矩陣,令

B=+

(28)

根據(jù)虛功原理,液壓缸驅(qū)動力所做的元功等于剛體自由度空間力與冗余自由度空間力所做的元功之和,即

(29)

定義J∈R8×6為剛體自由度速度到液壓缸速度的轉(zhuǎn)換矩陣,J+∈R6×8為液壓缸速度到剛體自由度速度的轉(zhuǎn)換矩陣,H∈R8×2為冗余自由度速度到液壓缸速度的轉(zhuǎn)換矩陣,H+∈R2×8為液壓缸速度到冗余自由度速度的轉(zhuǎn)換矩陣,HT∈R6×8為液壓缸力到冗余自由度力的轉(zhuǎn)換矩陣,根據(jù)式(29)得到

(30)

將式(30)兩邊轉(zhuǎn)置并左乘以HT,可得

HT(J+)TF+HT(H+)TFr=Fr

(31)

一般來說,F≠0,則可得到

(32)

將式(30)兩邊轉(zhuǎn)置并左乘以JT,可得

(33)

進一步可得

(34)

(35)

Fr=TfE+TfI

(36)

根據(jù)廣義逆矩陣性質(zhì)(JT)+=(J+)T[14],并將式(32)代入式(36)可得

(37)

圖2內(nèi)力空間基底的求解過程
Fig.2Solution process of the basis of internal force space

根據(jù)以上結(jié)論,可以得到液壓缸出力與剛體自由度空間力、冗余自由度空間力的關(guān)系分別為

JTf=JTfE+JTfI=JTfE=F

(38)

(39)

4內(nèi)力耦合動態(tài)抑制策略

圖3　冗余振動臺控制策略Fig.3　Control scheme of redundant shaking table

系統(tǒng)的整體控制策略如圖3所示,主要包括基于運動學分析的自由度位姿閉環(huán)控制和基于內(nèi)力空間基底實時求解的內(nèi)力耦合動態(tài)抑制.

自由度位姿閉環(huán)控制主要用于實現(xiàn)振動臺的運動要求.根據(jù)式(9)解算得到平臺的反饋位姿并與給定位姿進行比較,經(jīng)過比例+積分+滯后(PIL)控制器形成自由度誤差控制量,再由式(7)將其轉(zhuǎn)化到液壓缸鉸點空間作為伺服閥的驅(qū)動信號.

內(nèi)力耦合動態(tài)抑制主要用于降低系統(tǒng)在運動過程中產(chǎn)生的內(nèi)力.根據(jù)圖2實時求解出的內(nèi)力空間基底矩陣,用其轉(zhuǎn)置矩陣T將液壓缸出力轉(zhuǎn)換成冗余自由度空間的反饋力,液壓缸出力轉(zhuǎn)換成冗余自由度空間的反饋力Frf與給定的零力命令進行比較,經(jīng)過比例+積分(PI)控制器形成力誤差控制量,再由矩陣轉(zhuǎn)化成各伺服閥的輸入信號.

冗余振動臺為靜不定系統(tǒng),在實際工作中會有內(nèi)力的存在.自由度位姿閉環(huán)控制實現(xiàn)系統(tǒng)按期望位姿指令運動,內(nèi)力耦合動態(tài)抑制用來降低運動中產(chǎn)生的內(nèi)力,這兩部分產(chǎn)生的控制量共同作用形成最終的伺服閥驅(qū)動指令u驅(qū)動相應(yīng)的各液壓缸運動.通過運用運動學正、反解及基于內(nèi)力空間基底實時求解的內(nèi)力抑制,保證了系統(tǒng)在完成指定運動的同時降低了因內(nèi)力部分造成的能量損耗,從而使系統(tǒng)更好地工作.

5仿真分析

文中使用ADAMS動力學分析軟件建立冗余振動臺的機械模型,其中振動臺平臺假設(shè)為純剛體,此時相對于柔性平臺系統(tǒng)所受內(nèi)力較大,為較不利情況,使用Matlab/Simulink數(shù)學建模軟件根據(jù)式(7)-(18)建立液壓系統(tǒng)非線性模型和控制部分模型.運動學正解精度和實時性是文中提出的控制策略能否實現(xiàn)的關(guān)鍵.在NI PXI-8196控制器中運行正解算法,測得算法的平均解算耗時為0.05 ms,最大線位移和角位移誤差分別為10-8m和10-10°.

為了驗證文中提出的內(nèi)力耦合動態(tài)抑制策略,仿真中將水平向4套液壓驅(qū)動系統(tǒng)設(shè)置不同的增益,并給1號和4號伺服閥引入0.2%的伺服閥額定電流作為伺服閥零漂來模擬液壓驅(qū)動系統(tǒng)特性的不一致.仿真參數(shù)如下：平臺和負載質(zhì)量分別為300、200 kg,伺服閥固有頻率為754 rad/s,供油壓力為28 MPa,油液體積彈性模量為700 MPa,液壓缸有效工作面積為0.001 3 m2,水平、垂向液壓缸缸筒行程分別為258、190 mm.分時段給定振動臺x、y和ψ方向的階躍信號時各自由度的時間響應(yīng)及由式(39)得到的兩個冗余自由度的受力情況如圖4所示.由圖可以看出:在未加內(nèi)力耦合抑制策略時,冗余自由度的受力在階躍發(fā)生時最大接近4 kN;在使用內(nèi)力耦合抑制策略后,冗余自由度的受力降低到0.5 kN以內(nèi),系統(tǒng)內(nèi)力耦合現(xiàn)象得到明顯的改善.

系統(tǒng)在x方向給定幅值為0.2 m、頻率為2 Hz的正弦信號時,由式(37)得出的各水平液壓缸內(nèi)力及出力情況見圖5.在未加內(nèi)力耦合抑制策略時,各液壓缸最大內(nèi)力為3 kN,各液壓缸最大出力為17 kN.在加入內(nèi)力耦合抑制策略后,各液壓缸內(nèi)力降低到0.5 kN以內(nèi),各液壓缸最大出力降低到14.0 kN,且各液壓缸出力趨于一致,該內(nèi)力耦合抑制策略顯著降低了系統(tǒng)的內(nèi)力,增大了系統(tǒng)的凈出力.

圖4　振動臺的時間響應(yīng)及冗余自由度受力Fig.4　Time responses and force of redundant degrees of freedom of shaking table

6結(jié)論

為了解決冗余振動臺在大范圍運動下的內(nèi)力耦合抑制問題,文中提出了基于內(nèi)力空間基底實時求解的內(nèi)力耦合動態(tài)抑制策略.自由度位姿閉環(huán)控制是保證系統(tǒng)精確運動的前提.在此基礎(chǔ)上,通過對內(nèi)力空間基底的求解、實時轉(zhuǎn)換得到冗余自由度的力并對其進行抑制,從而降低系統(tǒng)的內(nèi)力.仿真結(jié)果表明,該策略能很好地實現(xiàn)內(nèi)力耦合的動態(tài)抑制.

圖5　未加入與加入內(nèi)力抑制時水平液壓缸的內(nèi)力及總出力Fig.5　Internal forces and total forces of hydraulic cylinders without or with internal force suppression1— 1號缸　2— 2號缸　3— 3號缸　4— 4號缸

然而,為了進一步抑制內(nèi)力而過大地調(diào)節(jié)控制增益會導致冗余自由度力閉環(huán)不穩(wěn)定,造成系統(tǒng)發(fā)散.其主要原因是當系統(tǒng)運動范圍較大時,液壓彈簧剛度及內(nèi)力空間基底均會隨平臺的運動而呈現(xiàn)較大的變化,嚴重影響冗余自由度力的閉環(huán)頻寬及穩(wěn)定性.故冗余自由度力的閉環(huán)增益可根據(jù)振動臺實際運動要求保守取值以保證系統(tǒng)穩(wěn)定,或者采用更好的控制策略來實現(xiàn)系統(tǒng)內(nèi)力抑制增益的自適應(yīng)調(diào)節(jié)及魯棒性,這將是今后研究的重點.

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Internal Force-Coupling Dynamic Suppression Strategy for

Redundantly-Actuated Hydraulic Shaking Table

GAOChang-hongCONGDa-chengYANGZhi-dongQUZhi-yong

(School of Mechatronic Engineering, Harbin Institute of Technology, Harbin 150001, Heilongjiang, China)

Abstract:When the motion range of redundant shaking table is large, adopting the linearization near the zero position to control the degrees of freedom (DOF) and suppress internal force coupling can result in large motion errors and poor internal force suppressing performance. In order to solve this problem, a kinematics model and a kinetic model are constructed for a redundantly-actuated hydraulic shaking table of two redundant DOFs and large motion range, and the internal force space structure of the shaking table is analyzed. Then, an internal force-coupling dynamic suppression strategy is proposed on the basis of the real-time solution of internal force space basis. In this strategy, the internal force of the shaking table is reduced by real-time acquiring and dynamically suppressing the force of redundant DOF space. Simulation results show that the proposed strategy can reduce the internal force of redundant shaking table effectively.

Key words:hydraulic shaking table; redundant actuation; linearization near the zero position; internal force coupling; motion control

doi：10.3969/j.issn.1000-565X.2016.01.014

中圖分類號：TP242.2

作者簡介：高長虹(1987-),男,博士生,主要從事并聯(lián)冗余驅(qū)動系統(tǒng)的控制研究.E-mail:my.cool.cn@163.com?通信作者： 楊志東(1980-),男,博士,講師,主要從事并聯(lián)冗余驅(qū)動機構(gòu)分析設(shè)計與控制研究.E-mail:yangzhidong@hit.edu.cn

*基金項目：國家自然科學基金資助項目(51205077,51475116)

收稿日期：2014-12-05

文章編號：1000-565X(2016)01- 0093- 07

Foundation items： Supported by the National Natural Science Foundation of China(51205077,51475116)