三維分形固定結合面法向接觸剛度的研究*

李小彭　王雪　運海萌　高建卓

(東北大學 機械工程與自動化學院， 遼寧 沈陽 110819)

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三維分形固定結合面法向接觸剛度的研究*

李小彭王雪運海萌高建卓

(東北大學 機械工程與自動化學院， 遼寧 沈陽 110819)

摘要：基于傳統(tǒng)的M-B模型，在考慮微凸體彈塑性變形的基礎上，應用更能符合結合面實際表面形貌的修正的W-M函數(shù)，建立了三維分形結合面法向剛度模型.通過建立的剛度模型研究了分形尺度參數(shù)和分形維數(shù)對法向接觸剛度的影響，并對出現(xiàn)的一些現(xiàn)象進行了分析.隨著法向載荷與材料特性參數(shù)σspan/E的增加，結合面的法向剛度也增加；但隨著分形尺度參數(shù)的增加，結合面的法向剛度卻減??；隨著分形維數(shù)的增加，當2.1≤D≤2.6時，結合面法向剛度增加，而當2.6≤D≤2.9時，結合面的法向剛度卻減??；在考慮彈塑性變形的情況下，三維分形結合面的法向剛度要小于二維分形結合面的法向剛度.

關鍵詞：三維分形；結合面；法向接觸剛度；分形曲面；分形維數(shù)；彈塑性變形

結合面廣泛存在于各種機器設備中，機器正常功能的實現(xiàn)很大程度上受結合面動靜態(tài)特性的影響[1].如精密的手術機器人，其往往要對各種臟器、血管進行切割、縫合等非常精細的操作，要求具有很高的精確性[2].手術機器人機構各處的結合面動態(tài)特性綜合起來對手術機器人的整體精確性就會有很大的影響.因此，在像手術機器人這樣要求精確的儀器中，對結合面的研究就顯得十分重要.

對結合面的法向剛度的研究是研究結合面動靜特性的重要核心之一，很多學者進行了積極深入的探討.張學良等[3]基于赫茲接觸理論和接觸分形理論,從理論上給出了機械結合面法向剛度分形預估模型；王書亭等[4]基于分形理論，提出兩粗糙面配對的法向剛度力學計算模型;田紅亮等[5]建立了固定結合部各向異性法向接觸力學分形模型；溫淑花等[6]基于接觸分形理論和M-B模型[7]，考慮彈塑性變形建立了結合面法向剛度分形模型.這些研究往往應用傳統(tǒng)的W-M函數(shù)[8]描繪的分形曲線模擬結合面，得到二維結合面法向剛度分形模型，但實際工程中的結合面是三維立體的.

為了能更準確地描述結合面的法向剛度，文中考慮彈塑性變形，應用修正的W-M函數(shù)描繪的分形曲面模擬真實的結合面，基于Hertz接觸理論和M-B分形接觸模型，建立了結合面三維的法向剛度模型，研究了結合面相關參數(shù)對法向剛度的影響，并對三維法向剛度分形模型與二維模型進行了比較.

1結合面三維分形修正模型

在赫茲接觸理論中，當作用有平面壓力時，微凸體的彈性變形量可以表達為

(1)

式中：pm是微凸體受到的平均接觸壓力；等效彈性模量E=[(1-ν12)/E1+(1-ν22)/E2]-1，E1、E2分別為圖1中兩彈性體的彈性模量，ν1、ν2分別是相應的泊松比；R為等效單峰曲率半徑，且R=[1/R1+1/R2]-1，R1、R2為兩彈性體的曲率半徑.

如圖1所示，未變形的微接觸體與剛性平面相交的截面面積為

(2)

而實際彈性接觸面積為其一半：

(3)

圖1　微凸體與剛性平面接觸示意圖Fig.1　Contact diagram of micro-bulge and rigid plane

傳統(tǒng)的W-M函數(shù)是用二維分形曲線去描述微凸體的表面形貌，即1

(4)

根據(jù)上述公式，可以得到三維的微凸體表面輪廓.微凸體的波峰與波谷的幅值差就是微凸體的變形量，即[9]：

δ=2GD-2(lnγ)1/2(2r′)3-D

(5)

根據(jù)式(2)與(3)，式(5)可變?yōu)?/p>

(6)

同樣，微凸體的曲率半徑可表示為

(7)

2三維分形微凸體的接觸狀態(tài)

2.1　微凸體的臨界接觸面積

微凸體彈性臨界變形量表達式為[10]

(8)

式中：φ=σy/E，σy為屈服強度；kμ為摩擦力的修正因子，由文獻[11]可知，當0≤μ≤0.3時，kμ=1-0.228μ；當0.3<μ≤0.9時，kμ=0.932e-1.58(μ-0.3).

由式(6)-(8)可得，微凸體彈性臨界變形面積為

(9)

Kogut等[12]研究發(fā)現(xiàn)，當微凸體處于彈塑性變形時，仍有兩種不同的變形狀態(tài)，并將彈塑性變形區(qū)域進行劃分.當1<δ/δc<6時，為彈塑性一區(qū)；當6<δ/δc<110時，為彈塑性二區(qū).彈塑性變形一區(qū)與二區(qū)的臨界面積分別為[13]

apt1=1101/(2-D)ac

(10)

apt2=61/(2-D)ac

(11)

2.2　微凸體的法向接觸載荷

當微凸體處于塑性接觸，受到的載荷為[10]

(12)

依據(jù)Hertz理論，處于彈性變形的單個微凸體所受載荷與變形量的關系為[14]

(13)

由式(6)、(7)與(13)可知，單個微凸體發(fā)生彈性變形時，載荷與接觸面積的關系為

(14)

彈塑性接觸一區(qū)與二區(qū)的接觸載荷與微凸體變形量之間具有下列關系[12].

當1≤δ/δc≤6時，上述關系表達式為

(15)

當6≤δ/δc≤100時，其表達式則為

(16)

式中，Pc為δ=δc時微凸體的接觸載荷.

聯(lián)合式(6)-(8)和式(13)，可以得到彈塑性接觸載荷與接觸面積的關系.

當1≤δ/δc≤6時，得

(17)

當6≤δ/δc≤100時，得

(18)

2.3　微凸體的法向接觸剛度

處于彈性階段的單個微凸體法向接觸剛度為

(19)

同樣，可以得到處于彈塑性階段的單個微凸體法向接觸剛度.

當1≤δ/δc≤6時，

(20)

當6≤δ/δc≤110時，

(21)

3三維分形結合面的接觸狀態(tài)

3.1　結合面的實際接觸面積

接觸點的面積分布函數(shù)n(a)與最大接觸面積al的關系為

(22)

結合面的實際接觸面積Ar應包括塑性接觸面積、彈塑性一區(qū)接觸面積、彈塑性二區(qū)接觸面積和彈性接觸面積.

(23)

3.2　結合面的法向接觸載荷

1)當al>ac且D≠2.5時，結合面所受的總載荷為

(24)

對式(24)進行無量綱處理，為

(25)

2)當al>ac且D=2.5時，結合面所受的總載荷為

(26)

對式(26)進行無量綱處理，為

(27)

3.3　結合面的法向接觸剛度

結合面的法向接觸剛度應為

(28)

對式(28)進行無量綱處理，為

(29)

4結合面三維分形法向剛度仿真

4.1　法向剛度與法向載荷的關系

從圖2可以看出，隨著無量綱法向載荷P*的增大，無量綱法向接觸剛度Kn*也增大，與二維分形的法向載荷與法向剛度的影響規(guī)律基本一致，其主要是因為單個微凸體的法向接觸剛度Kn=dp/dδ，當法向載荷P*增大時，單個微凸體的法向接觸剛度就增大，從而導致整個結合面的法向剛度增大.由此可得，若要獲得較大的結合面法向剛度，則可適當增大結合體的法向載荷.當2.1≤D≤2.4時，法向剛度與法向載荷呈非線性關系；當2.5≤D≤2.9時，法向剛度與法向載荷近似呈線性關系.隨著D的增大，線性關系越來越明顯.

4.2　法向剛度與分形維數(shù)的關系

圖2　無量綱法向剛度Kn*與無量綱法向載荷P*的關系Fig.2　Relationship between dimensionless normal stiffness and dimensionless normal load P*

從圖3中可得，當2.1≤D≤2.6時，隨著分形維數(shù)D的增大，無量綱法向剛度Kn*也隨之增大；當2.6≤D≤2.9時，隨著分形維數(shù)D的增大，無量綱法向剛度Kn*卻隨之減小.初步分析是由于當D≥2.6時，單位面積下的微凸體數(shù)量超過一定的數(shù)值，單個微凸體的彈性變形能量下降，進而影響剛度，從而導致三維法向剛度逐漸減小.可見，分形維數(shù)對結合面法向剛度的影響很大，不同分形維數(shù)下的法向剛度值甚至出現(xiàn)數(shù)量級的差別.

4.3　法向剛度與分形尺度參數(shù)的關系

觀察圖4可以發(fā)現(xiàn)，分形尺度參數(shù)G*增大，結合面無量綱法向剛度Kn*卻隨之減小.分形尺度參數(shù)越大，結合面的粗糙度就越大，微凸體的塑形變形比例增大，結合面的接觸相應的剛度也就越小.

4.4　法向剛度與φ的關系

從圖5可以看出，結合面無量綱法向剛度Kn*

圖3　無量綱法向剛度Kn*與分形維數(shù)D的關系Fig.3　Relationship between dimensionless normal stiffness Kn* and fractal dimension D

4.5　二維分形法向剛度與三維分形法向剛度的比較

從圖6可以看出，二維分形模型下的法向剛度明顯大于三維分形模型下的法向剛度，并且差值比較大.初步分析是三維分形中單位面積中微凸體的個數(shù)多，單個面積反而小，彈性變形能力減小，導致整體剛度比二維分形剛度小.所以，在二維分形模型下計算法向剛度和在三維分形模型下計算法向剛度是不同的.

圖4　無量綱法向剛度Kn*與分形尺度參數(shù)G*的關系Fig.4　Relationship between dimensionless normal stiffness Kn* and fractal scale parameters G*

圖5　無量綱法向剛度Kn*與材料特性參數(shù)φ的關系Fig.5　Relationship between dimensionless normal stiffness Kn* and material parameter φ

圖6　二維分形法向剛度與三維分形法向剛度的對比Fig.6　Comparison of two dimensional and three-dimensional normal stiffness

5結論

經(jīng)過上述研究，得到如下結論：

(1)三維結合面法向剛度要小于二維結合面法向剛度.

(2)隨著法向載荷與材料特性參數(shù)φ的增加，結合面的法向剛度也增加；但隨著分形尺度參數(shù)的增加，結合面的法向剛度卻在減小.分形維數(shù)對結合面法向剛度的影響比較復雜，當2.1≤D≤2.6時，隨著分形維數(shù)的增加，結合面法向剛度在增加；當2.6≤D≤2.9時，隨著分形維數(shù)的增加，結合面的法向剛度卻減小.

參考文獻:

[1]SVALINA Ilija,SABO Kristian,IMUNOVIGoran.Machined surface quality prediction models based on moving least squares and moving least absolute deviations me-thods [J].The International Journal of Advanced Manufacturing Technology,2011,57(9/10/11/12):1099-1106.

[2]李欣悅.主從異構手術機器人的運動誤差分析 [D]. 天津:天津大學，2007.

[3]張學良,黃玉美,韓穎.基于接觸分形理論的機械結合面法向接觸剛度模型 [J].中國機械工程,2000,11(7):727-729.

ZHANG Xue-liang,HUANG Yu-mei,HAN Ying. The normal contact stiffness model based on contact fractal theory [J].China Mechanical Engineering,2000,11(7):727-729.

[4]王書亭，李杰，劉濤，等.機械固定結合面剛度特性建模 [J].華中科技大學學報,2011,39(8):1-5.

WANG Shu-ting,LI Jie,LIU Tao,et al. Interfacial stiff-ness characteristic modeling of mechanical fixed joints [J].Journal of Huazhong University of Science and Technology,2011,39(8):1-5.

[5]田紅亮,鐘先友,秦紅玲.依據(jù)各向異性分形幾何理論的固定結合部法向接觸力學模型 [J].機械工程學報,2013,49(21):108-122.

TIAN Hong-liang,ZHONG Xian-you,QIN Hong-ling. Normal contact mechanics model of fixed joint interface adopting anisotropic fractal geometrical theory [J].Journal of Mechanical Engineering,2013,49(21):108-122.

[6]溫淑花,張學良,陳永會，等.考慮彈塑性變形機制的結合面法向接觸剛度建模 [J].振動工程學報,2015,28(1):91-99.

WEN Shun-hua,ZHANG Xue-liang,CHEN Yong-hui,et al.The model of normal contact stiffness of joint interfaces incorporating elastoplastic deformation mechanism [J].Journal of Vibration Engineering,2015,28(1):91-99.

[7]MAJUMDAR A,BHUSHAN B.Fractal model of elastic-plastic contact between rough surfaces [J].Journal of Tribology,1991,113(1):1-11.

[8]MANDELBORT B B.The fractal geometry of nature [M].New York:W H Freeman,1982.

[9]YAN W， KOMVOPOULOS K.Contact analysis of elastic-plastic fractal surfaces [J].Journal of Applied Physics,1998,84(7):3617-3624.

[10]李小彭，趙光輝，梁亞敏．兩圓柱體結合面法向剛度分形預估模型及其仿真分析 [J].農(nóng)業(yè)機械學報,2013,44(10):277-281.

LI Xiao-peng,ZHAO Guang-hui,LIANG Ya-min.Fractal model and simulation of normal contact stiffness between two cylinders’ joint surfaces [J].Transactions of the Chinese Society for Agricultural Machinery， 2013,44(10):277-281.

[11]朱育權,馬保吉,姜凌彥.粗糙表面接觸的彈性、彈塑性、塑性分形模型 [J].西安工業(yè)學院學報，2001,21(2):150-157.

ZHU Yu-quan,MA Bao-ji,JIANG Ling-yan.The elastic,elastic-plastic and plastic fractal model of rough surface [J].Journal of Xi’an Institute of Technology,2001,21(2):150-157.

[12]KOGUT L,ETSION I.Elastic-plastic contact analysis of a sphere and a rigid flat [J].Journal of Applied Mecha-nics,2002,69(5):657-662.

[13]LIOU Jeng Luen.The theoretical study for microcontact model with variable topography parameters [D].Taiwan:National Cheng Kung University,2006.

[14]Johnson K L.Contact mechanics [M].Cambridge:Cambridge University Press,1985.

[15]蔣書文,姜斌,李燕.磨損表面形貌的三維分形維數(shù)計算 [J].摩擦學學報,2003,23(6):533-536.

JIANG Shu-wen,JIANG Bin,LI Yan.Calculation of fractal dimension of worn surface [J].Tribology,2003,23(6):533-536.

責任編輯：牛曉光

Investigation into Normal Contact Stiffness of Fixed Joint

Surface with Three-Dimensional Fractal

LIXiao-pengWANGXueYUNHai-mengGAOJian-zhuo

(School of Mechanical Engineering and Automation, Northeastern University, Shenyang 110819, Liaoning, China)

Abstract:On the basis of the traditional M-B model, a three-dimensional fractal model of normal contact stiffness of joint surface is constructed by taking into account the elastic-plastic deformation of micro-bulge and by using the modified W-M function which can better describe the actual surface topography of joint surface. Then, the influen-ces of the fractal scale parameters and the fractal dimension on the normal contact stiffness are investigated through the constructed model, and some phenomena are analyzed. The results show that (1) the normal stiffness of joint surface increases with the normal load and the material parameters σy/E, while it decreases with the increase of the fractal scale parameters; (2) with the increase of the fractal dimension, the normal stiffness of joint surface increases when 2.1≤D≤2.6 but it decreases when 2.6≤D≤2.9; and (3) the normal contact stiffness of the constructed three-dimensional fractal model is less than that of the two-dimensional fractal model with the elastic-plastic deformation.

Key words:three dimensional fractal; joint surface; normal contact stiffness; fractal surface; fractal dimension; elastic-plastic deformation

doi：10.3969/j.issn.1000-565X.2016.01.017

中圖分類號：TH113

作者簡介：李小彭(1976-)，男， 教授,博士生導師，主要從事機械振動與動力學研究.E-mail:xpli@me.neu.edu.cn

*基金項目：國家自然科學基金資助項目(51275079);遼寧省百千萬人才工程培養(yǎng)經(jīng)費資助項目(2014921018)

收稿日期：2015-06-17

Foundation items： Supported by the National Natural Science Foundation of China (51275079) and the Liaoning BaiQianWan Ta-lents Program(2014921018)