多項式曲線法在GPS高程擬合中的應(yīng)用

王金玲

摘 ?要：本文以具體的工程實例，介紹了多項式曲線擬合法在GPS高程擬合中的應(yīng)用，擬合得到厘米級似大地水準(zhǔn)面模型，并給出有價值的結(jié)論。

關(guān)鍵詞：高程擬合;高程異常;多項式曲線法;精度

中圖分類號： TP301 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

自20世紀(jì)80年代中期以來，全球定位系統(tǒng)（GPS）在測量中的應(yīng)用發(fā)展非常迅猛，GPS定位技術(shù)以其高度自動化及較高的定位精度，廣泛應(yīng)用在大地測量、工程測量等領(lǐng)域。但由GPS定位測量測得的高程是相對于 WGS—84參考橢球面的大地高程H，而我國使用的是相對于似大地水準(zhǔn)面的正常高Hr，兩者之問的差距為高程異常ξ，因此，GPS測得的高程值無法直接用于實際的高程控制作業(yè)，只有建立高精度、高分辨率的區(qū)域似大地水準(zhǔn)面模型，計算得到各點的高程異常值，將大地高轉(zhuǎn)化為正常高，才能在實際工程中得以應(yīng)用。

目前，國內(nèi)外用于GPS高程擬合的方法主要有地球重力場模型法和數(shù)學(xué)模型擬合法，地球重力場模型法精度較低，且相應(yīng)的重力場數(shù)據(jù)不易獲得，不能滿足工程的實際需要。數(shù)學(xué)模型擬合法中常用的有多項式曲線擬合法、多項式曲面擬合法、多面函數(shù)曲面擬合法、移動曲面擬合法等。各種模型都有其一定的適用范圍，其中多項式曲線擬合法在目前的線路測量中得以廣泛的應(yīng)用

1 多項式曲線擬合法的數(shù)學(xué)模型

當(dāng)GPS點呈線狀布設(shè)（如線路測量），在認(rèn)定沿線似大地水準(zhǔn)面為一條連續(xù)而光滑的曲線的前提下，可應(yīng)用多項式曲線擬合法進(jìn)行擬合，求待定點的正常高。其原理是：若將坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換成X與測線方向重合，Y與測線方向垂直，選用一個m次代數(shù)多項式作為插值函數(shù)，設(shè)高程控制點的高程異常ξ與坐標(biāo)X（或Y或擬合坐標(biāo)）之間的函數(shù)關(guān)系為：

（1）

，

各高程控制點的已知高程異常與其擬合值之差為：

（2）

V稱為殘差，根據(jù)最小二乘原理，應(yīng)在 的原則下，解得（1）式中的待定系數(shù)ai，然后再按（1）式求出測線方向上（含左、右鄰近點處）任一點的高程異常值，從而求得點的正常高Hr。

2 實例計算與分析

某高速公路某一段屬于平原地區(qū)，其線路長約118公里，共布設(shè)了126個GPS點，每個GPS點上都聯(lián)測了水準(zhǔn)。如圖1所示是其中一段控制網(wǎng)，采用多項式曲線擬合進(jìn)行計算。

（1）采用不同階次多項式曲線擬合

分別采用二次曲線函數(shù)、三次曲線函數(shù)、四次曲線函數(shù)進(jìn)行擬合。

二次曲線采用TN06、TN14、TN19三個聯(lián)測點作為控制點;三次曲線采用TN06、TN10、TN15、TN19四個聯(lián)測點作為控制點;四次曲線采用TN06、TN12、TN15、TN18、TN20五個聯(lián)測點作為控制點。擬合結(jié)果見表1。

從表3、4中可以看出：已知點分布不同，擬合結(jié)果也就不同，點的分布是影響GPS水準(zhǔn)擬合的重要因素之一。

3 結(jié)論

（1）狹長線形區(qū)域地形擬合模型中，采用多項式曲線擬合時，三次曲線擬合擬合精度最高，效果最好。二次曲線擬合模型精度較高，四次曲線擬合模型精度最低。由此說明，多項式曲線擬合模型不適用于控制點較多的情況，擬合次數(shù)不宜過高，曲線擬合過程中并非是擬合次數(shù)越高越好。這是因為隨著擬合次數(shù)的增大，曲線振蕩就會加劇，由此描述的高程異常變化不準(zhǔn)確，另外隨著次數(shù)的增大，求解擬合系數(shù)的矩陣方程組可能出現(xiàn)了病態(tài)矩陣的情況，這種情況下求出的擬合多項式當(dāng)在求解未知點時，未知點的坐標(biāo)微小的變化也會引起高程異常較大的變化，因此宜采用三次多項式曲線擬合。

（2）擬合精度除了與擬合模型的選取有關(guān)以外，與已知點的分布也密切相關(guān)：在GPS高程擬合時，應(yīng)使已知點均勻分布在測區(qū)的四周及中間，最好能夠?qū)⒄麄€GPS網(wǎng)包圍起來。忌諱取同一直線上的、同一側(cè)的取位于中間和兩端的等分布不均勻的點作為擬合已知點。

（3）在選用合適的擬合模型后，擬合的精度可以達(dá)到4等水準(zhǔn)測量的精度?？梢杂糜谝话愎こ痰牡匦胃叱炭刂疲遣灰俗鳛楦叩燃壙刂聘叱厅c。

參考文獻(xiàn)：

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（本文審稿 ?張端丹）