一類捕食者和食餌均具有階段結(jié)構(gòu)的捕食模型的穩(wěn)定性分析

張蓬霞,王浩飛

（長(zhǎng)治學(xué)院數(shù)學(xué)系,山西長(zhǎng)治046011）

一類捕食者和食餌均具有階段結(jié)構(gòu)的捕食模型的穩(wěn)定性分析

張蓬霞,王浩飛

（長(zhǎng)治學(xué)院數(shù)學(xué)系,山西長(zhǎng)治046011）

文章分析了一類捕食者和食餌均具有階段結(jié)構(gòu)的捕食模型.通過(guò)對(duì)其特征方程的分析,運(yùn)用Hurwitz判定定理,探討了模型的非負(fù)平衡點(diǎn)的局部穩(wěn)定性；利用構(gòu)造函數(shù)法,結(jié)合La－Salle不變集原理,討論了模型的非負(fù)平衡點(diǎn)的全局穩(wěn)定性,得到了捕食者和食餌種群可持續(xù)生存的條件.

階段結(jié)構(gòu)；捕食模型；環(huán)境承載力；特征方程

本文研究了一類具有Holling－Ⅱ型功能反應(yīng)函數(shù)和環(huán)境承載力且捕食者和食餌均具有階段結(jié)構(gòu)的捕食模型：

其中,K表示環(huán)境對(duì)食餌的最大承載力,k表示捕食者的消化率為Holling－Ⅱ型功能反應(yīng)函數(shù),為簡(jiǎn)單起見(jiàn),不妨只對(duì)食餌考慮環(huán)境承載力.x1（t）和x2（t）分別表示幼年食餌和成年食餌在t時(shí)刻的密度函數(shù)；y1（t）和y2（t）分別表示幼年捕食者和成年捕食者在t時(shí)刻的密度函數(shù).

本文假設(shè)d4（r2＋d3）＞βr2

1 邊界平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性

1.1 平衡點(diǎn)E0（0,0,0,0）

1.1.1 平衡點(diǎn)E0（0,0,0,0）的局部穩(wěn)定性

系統(tǒng)（1）在平衡點(diǎn)E0（0,0,0,0）的線性化系統(tǒng)的雅可比矩陣為

故特征方程為

注意到d4（r2＋d3）＞βr2,當(dāng)rr1＜d2（r1＋d1）時(shí),方程（2）的根均是負(fù)數(shù),由Hurwitz判定定理［1］可知E0（0,0,0,0）是局部漸進(jìn)穩(wěn)定的；當(dāng)rr1＞d2（r1＋d1）時(shí),方程（2）至少存在一個(gè)正根,由Hurwitz判定定理可知E0（0,0,0,0）是不穩(wěn)定的.

1.1.2 平衡點(diǎn)E0（0,0,0,0）的全局穩(wěn)定性

定理1.1 如果rr1＜d2（r1＋d1）,則平衡點(diǎn)E0（0,0,0,0）具有全局漸進(jìn)穩(wěn)定性.

證明：設(shè)模型（1）的任何一個(gè)正解為（x1（t）,x2（t）,y1（t）,y2（t））,下面構(gòu)造函數(shù)如下：

沿著模型（1）的解計(jì)算V1（t）的導(dǎo)數(shù),得

因?yàn)閞r1＜d2（r1＋d1）,所以.V1（t）≤0.如果（x1（t）,x2（t）,y1（t）,y2（t））中有一個(gè)不為0,不妨設(shè)y2（t）≠0,其余皆為0,則.V1（t）＝－βby22（t）＜0.因此.V1（t）＝0當(dāng)且僅當(dāng)x1（t）＝x2（t）＝y(tǒng)1（t）＝y(tǒng)2（t）＝0,由La－Salle不變集原理［2］得平衡點(diǎn)E0（0,0,0,0）具有全局漸進(jìn)穩(wěn)定性.

1.2 平衡點(diǎn)E＋（x＋1,x＋2,0,0）

1.2.1 平衡點(diǎn)E＋（x＋1,x＋2,0,0）的存在性

當(dāng)rr1＞d2（r1＋d1）時(shí),系統(tǒng)（1）存在一個(gè)捕食者滅絕的平衡點(diǎn)E＋（x＋1,x＋2,0,0）,其中：

1.2.2 平衡點(diǎn)E＋（x＋1,x＋2,0,0）的局部穩(wěn)定性

系統(tǒng)（1）在平衡點(diǎn)E＋（x＋1,x＋2,0,0）的線性化系統(tǒng)的雅可比矩陣為

所以.V1（t）≤0.顯然.V1（t）＝0當(dāng)且僅當(dāng)x1（t）－x＋1＝x2（t）－x＋2＝y(tǒng)1（t）＝y(tǒng)2（t）＝0,

由LaSalle不變集原理得平衡點(diǎn)E＋（x＋1,x＋2,0,0）是全局漸進(jìn)穩(wěn)定的.

2 正平衡點(diǎn)的存在性

3 正平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性

定理3.1 如果

［d4（d3＋r2）－r2β］d2＜rr1－d2（d1＋r1）＜d4（d3＋r2）－r2β,k2rK（r2＋d3）＞d4（r2＋d3）－r2β成立,則E＊（x＊1,x＊2,y＊1,y＊2）是全局漸進(jìn)穩(wěn)定的.

4 結(jié)論

本文探討了一類捕食者和食餌均具有階段結(jié)構(gòu)的捕食模型.證明了正平衡點(diǎn)E＊（x＊1,x＊2,y＊1,y＊2）的存在性,進(jìn)深一步得到了E＊（x＊1,x＊2,y＊1,y＊2）是全局漸進(jìn)穩(wěn)定的條件.也可以說(shuō)是,在此種情況下捕食者和食餌種群可以持續(xù)生存.

［1］Kuang Y.Delay Differential Equation with Application in Population Dynamics［M］.New York：Academic Press,1993

［2］廖曉昕.穩(wěn)定性的數(shù)學(xué)理論及應(yīng)用［M］.武漢：華中師范大學(xué)出版社,2006

［3］張建華.具有階段結(jié)構(gòu)的捕食——食餌系統(tǒng)的全局分析［D］.廈門(mén)：廈門(mén)大學(xué),2008

［4］張曉朋.具有年齡結(jié)構(gòu)的HollingⅡ型捕食者——食餌模型的穩(wěn)定性［J］.中國(guó)優(yōu)秀碩士學(xué)位論文全文數(shù)據(jù)庫(kù),2011（S1）：113－115

［5］張子振.劉 娟.食餌具有階段結(jié)構(gòu)的Holling－Ⅳ類時(shí)滯捕食系統(tǒng)穩(wěn)定性分析［J］.蚌埠學(xué)院學(xué)報(bào),2013,2（5）：114－116

Stability Analysis for a Predator－prey Model with Stage Structure for the Predator and the Prey

ZHANG Pengxia,WANG Haofei
（Department of Mathematics,Changzhi University,Changzhi 046011,China）

A class of predators and continuous predator－prey model with stage structure stability is analyzed.Combined with the analysis of the characteristic equation,combined with the use of Hurwitz criterion theorem,discusses the model of the local stability of the nonnegative equilibrium；Cleverly used to construct a new function,add LaSalle invariant set principle,analyze the global stability of non－negative equilibrium of the model,and predators have been obtained and the conditions of sustainable living predator－prey system.

Stage－structure；Predator－prey model；Evaluating carrying capacity；Characteristic equation

1672－2027（2016）04－0055－05

O212

A

2016－09－12

長(zhǎng)治學(xué)院院級(jí)科研項(xiàng)目（201514）.

張蓬霞（1982－）,女,山西長(zhǎng)治人,碩士,長(zhǎng)治學(xué)院講師,主要從事生態(tài)數(shù)學(xué)研究.