具有時滯和反饋控制的捕食
——被捕食系統(tǒng)的全局吸引性

程永玲

（山西大學商務學院基礎教學部,山西太原030031）

具有時滯和反饋控制的捕食
——被捕食系統(tǒng)的全局吸引性

程永玲

（山西大學商務學院基礎教學部,山西太原030031）

研究一類具有時滯和反饋控制的非自治捕食－被捕食Lotka－Volterra系統(tǒng).通過構(gòu)造合適的Lyapunov泛函,得到了系統(tǒng)全局吸引的新的準則.

Lyapunov泛函；反饋控制；時滯；全局吸引

經(jīng)典的Lotka－Volterra競爭系統(tǒng)已經(jīng)得到了廣泛的研究.在文獻［1－8］中,已經(jīng)得到了很好的結(jié)果.最近,具有反饋控制的生態(tài)系統(tǒng)得到了許多科學家的關(guān)注,如［6－8］.文獻［7］,通過構(gòu)造合適的Lyapunov泛函,建立了系統(tǒng)持久與穩(wěn)定的新的充分條件.文獻［8］,討論了具有時滯與反饋控制的多種群非自治Lotka－Volterra競爭系統(tǒng).

受到這些文獻所研究內(nèi)容的啟發(fā),我們研究了如下非自治捕食－被捕食系統(tǒng)：

文中,對系統(tǒng)（1）我們始終假定：i,j＝1,2,…n.

（H1）bi（t）,aij（t）,ci（t）,di（t）,ei（t）,f1（t）為［0,∞）上的有界、連續(xù)函數(shù),且aij（t）≥0,b2（t）≥0,ci（t）≥0,di（t）≥0,ei（t）≥0,f1（t）≥0.

定義1 若對系統(tǒng)（1）的所有解（x1（t）,x2（t）,u1（t）,u2（t））,存在正常數(shù)M,T使得,當t＞T時,有xi（t）≤M,｜ui（t）｜≤M,則稱系統(tǒng)（1）最終有界.

［9］中,定理3.1的證明類似,可得如下引理.

引理1 假定（H1）－（H4）成立,則系統(tǒng)（1）最終有界.

定理1假定（H1）－（H4）成立,且存在正常數(shù)ki＞0（i＝1,2,3,4）使得

其中

且ψ－1（t）和分別φ－1（t）為t－τ（t）與t－δ（t）的反函數(shù).

證明 設（x1（t）,x2（t）,u1（t）,u2（t））為系統(tǒng)（1）的任意正解.由引理1,存在正常數(shù)M,T使得,當t＞T時,有

構(gòu)造Lyapunov函數(shù)V（t）

計算V（t）的上導數(shù)且化簡,有

定理證畢.

參考文獻：

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Global Stability in Nonautonomous Predator－prey Systems with Delays and Feedback Controls

CHENG Yongling
（Department of Mathematics,Business College of Shanxi University,Taiyuan 030031,China）

A nonautonomous predator－prey Lotka－Volterra systems with delays and feedback controls is considered.By constructing suitable Lyapunov functional,some new criteria for global stability is established.

Lyapunov functional；Feedback control；Delay；Global stability

1672－2027（2016）04－0052－03

O175.14

A

2016－08－27

程永玲（1980－）,女,山西晉城人,碩士,山西大學商務學院講師,主要從事動力系統(tǒng)研究.