具有變系數(shù)的高階時滯差分方程的有界振動

楊禹慧

（呂梁學院數(shù)學系,山西呂梁033000）

具有變系數(shù)的高階時滯差分方程的有界振動

楊禹慧

（呂梁學院數(shù)學系,山西呂梁033000）

研究一類具有變系數(shù)的高階差分方程Δd［x（t）＋b（t）x（t－τ）］－q（t）x（t－σ）＝0,0＜t0≤t＜＋∞有界解的振動性,給出有界解振動的充分條件.

差分方程；有界解；振動；最終正解

1 概述

差分方程的振動性研究作為差分方程程定性理論研究的一個分支,已受到學者的廣泛關(guān)注與研究.目前關(guān)于差分方程的解的性質(zhì)的研究已經(jīng)比較廣泛,這幾年來,對于高階中立型時滯差分方程振動性的研究也得到了許多結(jié)果.關(guān)于具有連續(xù)變量的高階差分方程的有界振動的研究,可見文獻［1－4］.

在文獻［5］中,黃梅等研究了具有變系數(shù)的高階中立型時滯差分方程,即

的解的振動性,其中l(wèi)為奇數(shù),本文在此基礎(chǔ)上重新對d進行設(shè)定,用新的方法研究一類更為廣泛的具有變系數(shù)的高階時滯差分方程即

的解的振動性.其中：d為正整數(shù),這里假設(shè)且q（t）為不恒為0的有界函數(shù),令其中τ,t0,σ是給定的非負實數(shù),σ＝kτ,k為某個正整數(shù).Δx（t）＝x（t＋τ）－x（t）,Δ2x（t）＝Δ（Δx（t））.我們總假設(shè)方程（1）存在解.方程（1）的一個有界解｛x（t）｝稱為振動的,如果它最終既不為正,也不為負,否則稱為非振動的.若方程（1）的每一個有界解｛x（t）｝都是振動的,稱該方程為振動的.

2 基本引理

引理1［1］假設(shè)d≥1是整數(shù),｛z（t＋nτ）｝是實數(shù)列,如果｛Δdz（t＋nτ）｝最終定號（即當n充分大后恒有｛Δdz（t＋nτ）｝＞0或有｛Δdz（t＋nτ）｝＜0）,則｛Δiz（t＋nτ）｝最終嚴格單調(diào)且定號（i＝0,1,2,…d－1）.

引理2［2］設(shè)z（n）＞0（n≥a）,Δpz（n）（n≥a）定號且不為0,則存在整數(shù)j（0≤j≤p）,對于Δpz（n）≤0,p＋j為奇數(shù)；對于Δpz（n）≥0,p＋j為偶數(shù).使對n≥a有：（a）若j≤p－1,則（－1）i＋jΔiz（n）＞0,j≤i≤p－1；（b）若j≥1,則Δiz（n）＞0,1≤i≤j－1.

3 主要結(jié)果

定理1 假設(shè)d≥1且為正整數(shù)且－1≤b（t）＜b,（－1≤b＜0）；若x（t）為方程（1）的最終有界正解,令z（t）＝x（t）＋b（t）x（t－τ）,則最終成立

由條件可知Δdz（t）不恒為0,故Δd－1z（t）必最終為正或最終為負.進而推出Δd－2z（t）,…Δz（t）都最終為正或最終為負.

假設(shè)Δd－1z（t）＞0.則存在t2≥t1且j≥1時有

定理2 方程（1）如果滿足下列條件

則方程（1）的有界解是振動的.

證明：對于研究方程（1）的有界解x（t）的振動性問題,下面我們對d分情況進行討論：

1）當d≥2且為偶數(shù)時：

設(shè)x（t）為方程的有界正解且滿足x（t）＞0,x（t－τ）＞0,x（t－σ）＞0,t≥t1≥t0.

根據(jù)條件（H2）我們可知存在tˉ≥t1≥t0,當t≥tˉ≥t1≥t0時有

這與（4）式矛盾,故當d為偶數(shù)且d≥2時,方程（1）的所有有界解振動.

2）當d≥1且為奇數(shù)時,假設(shè)x（t）為方程的有界正解.令z（t）＝x（t）＋b（t）x（t－τ）,則方程（1）變?yōu)?/p>

故Δd［z（t）］＝q（t）x（t－σ）＞0.由引理及定理1可得：｛Δiz（t）｝單調(diào)定號（i＝.,1,2,…,d－1）且z（t）＞0.我們假設(shè)T則T≥0.

故產(chǎn)生矛盾.

所以當d≥1為奇數(shù)時,方程（1）的所有有界解振動.

綜上所述方程（1）的有界解是振動的.

［1］唐 清,干曾玲.高階中立型差分方程的振動性及其非振動解的漸進性態(tài)［J］.數(shù)學雜志,2000,20（2）：207－210

［2］Agarwal R P,Difference Equations and Inequalities［M］.New York：Marcel Dekker,1992

［3］楊甲山,李繼猛.具有連續(xù)變量的高階非線性差分方程的振動與非振動準則［J］.合肥工業(yè)大學學報（自然科學版）,2010,33（6）：934－938

［4］劉一龍,楊甲山.具有連續(xù)變量的奇數(shù)階時滯差分方程的振動準則［J］.合肥工業(yè)大學學報,2009,32（4）：591－593

［5］黃 梅.具變系數(shù)的高階中立型時滯差分方程的振動性［J］.湖南第一師范學院學報,2016,16（2）：95－96

［6］楊甲山,李繼猛.具有連續(xù)變量的高階非線性差分方程的振動與非振動準則［J］.合肥工業(yè)大學學報（自然科學版）,2010,33（6）：934－938

［7］趙良鵬,閆衛(wèi)平.帶有強迫項的高階差分方程解的振動性［J］.鄭州大學學報（理學版）,2014

［8］楊禹慧,趙良鵬.具連續(xù)變量的高階非線性差分方程的有界振動［J］.貴州師范大學學報（自然科學版）,2016,34（2）：52－55

Bounded Oscillation for a Class of Higher Order Difference Equation with Variable Coefficients

YANG Yuhui
（Department of Mathematics Lvliang University,Lvliang 033000,China）

Bounded Oscillation for a class of High－Order difference Equations

1672－2027（2016）04－0009－04

0175

A

2016－08－21

楊禹慧（1987－）,女,山西呂梁人,碩士,呂梁學院助教,主要從事常微分方程研究.