基于Matlab的諧波齒輪及其刀具的設(shè)計與仿真

陳　鵬，范元勛

(南京理工大學 機械工程學院，南京　210094)

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基于Matlab的諧波齒輪及其刀具的設(shè)計與仿真

陳鵬，范元勛

(南京理工大學 機械工程學院，南京210094)

摘要：根據(jù)齒廓法線法和包絡(luò)原理，利用Matlab軟件強大的數(shù)據(jù)處理能力和圖形顯示功能，在Matlab軟件中編寫出求解剛、柔輪及其刀具齒形相應的齒廓法線法和包絡(luò)法的運算程序。在對新齒形求解的過程中，用齒廓法線法對所設(shè)計的新齒形進行精確地求解，同時用包絡(luò)法包絡(luò)出相應的新齒形，并對齒廓法線法所求解出來的齒形進行對比驗證。Matlab仿真結(jié)果表明：利用這種方法，能夠?qū)崿F(xiàn)了諧波齒輪傳動剛、柔輪齒形及相應刀具新齒形的快速設(shè)計，并且能夠及時對所求結(jié)果進行驗證，利用所設(shè)計的兩把刀具加工出的柔輪和剛輪在嚙合仿真分析中的嚙合側(cè)隙在2μm以內(nèi)。

關(guān)鍵詞：諧波齒輪；新齒形；嚙合仿真；Matlab

0引言

雖然最近30多年，諧波齒輪傳動取得了較大的發(fā)展，在工業(yè)上也得到了廣泛的應用，尤其是在航天領(lǐng)域和機器人方面[1]，但是其發(fā)展總是遇到各式各樣的瓶頸。例如針對傳統(tǒng)漸開線的齒形的缺點，許多學者發(fā)明出了新的齒形，在計算機仿真和有限元分析中驗證了這些新齒形在力學、動力學特性方面要比漸開線齒形優(yōu)越得多，但是這些新的齒形都面臨同樣的困境，很難設(shè)計出能加工出這些新齒形的刀具，以至于這些新的齒形至今無法得到推廣和應用。

文獻[2]中諧波齒輪傳動中剛?cè)彷喰慢X形的設(shè)計采用的是齒廓法線法，這種方法比較簡明精確。利用齒廓法線法，可以方便地根據(jù)滾刀和插刀齒形求解出相應的柔輪和剛輪齒形。但是針對利用齒廓法線法所求出的齒形，很難驗證其所求結(jié)果的正確性，也無法直觀地理解用齒廓法線法求解出的剛?cè)彷喌凝X形與在實際加工生產(chǎn)中刀具所加工出來的齒形是否一致。為此，利用包絡(luò)原理和刀具加工齒輪的原理，可以在Matlab中繪出刀具在加工剛?cè)彷嘄X形過程中刀具齒形曲線形成的曲線族，所形成的曲線族包絡(luò)出的齒形即為該刀具加工出的齒形。可以將齒廓法線法所求得的齒形與包絡(luò)法所包絡(luò)的齒形進行對比驗證。

1滾刀基準齒形設(shè)計及相應柔輪齒形的求解

柔輪齒是用滾刀加工而成的[3]，因此柔輪齒面是滾刀齒面在機床嚙合中的包絡(luò)曲面。滾刀齒形確定后，可以使用齒廓法線法求解共軛柔輪的齒形。以CTC齒形的設(shè)計為例，滾刀基準齒形的設(shè)計為齒頂圓圓弧段、公切直線段以及齒根圓圓弧段，如圖1所示。

1.1齒廓法線法求解柔輪齒形

滾刀加工柔輪齒形時，將滾刀與柔輪簡化成齒條和齒輪之間的嚙合，已知滾刀基準齒形即齒條的齒形方程，設(shè)它在自身的坐標系(O1-x1,y1)中的齒形方程為y1=f(x1)。

圖2　滾刀加工變位柔輪

(1)

(2)

利用Matlab軟件強大的數(shù)據(jù)處理和圖形顯示功能，在Matlab中編寫求解柔輪齒形相應的齒廓法線法的程序。在Matlab中求解得的CTC柔輪齒形如3所示。

圖3　柔輪齒形

1.2包絡(luò)法求解柔輪齒形

包絡(luò)法是求解齒輪嚙合傳動中的幾何問題中的一種[5]，將滾刀加工柔輪齒形看成是齒條與齒輪之間的嚙合傳動，由于滾刀齒形與柔輪齒形在每個瞬時都是相切接觸的。從數(shù)學上講，柔輪齒形就應是滾刀齒形相對運動而形成的曲線包絡(luò)。用這個原理，就可以由齒輪副的運動規(guī)律及滾刀齒形包絡(luò)出柔輪的齒形。

切制柔輪齒的過程中，滾刀與柔輪的相對運動關(guān)系：當滾刀齒相對柔輪平移rα(r為柔輪的分度圓)，柔輪將沿著滾刀運動的方向旋轉(zhuǎn)α角。在對柔輪齒進行加工包絡(luò)仿真的過程中，固定柔輪，則平移rα后的滾刀將以柔輪中心逆方向旋轉(zhuǎn)α角，從而形成了滾刀在分度圓上純滾動了α角，其相應的矩陣變換式為式(3)、(4)：

(3)

(4)

此時在對CTC滾刀齒形進行設(shè)計時，為了符合滾刀對柔輪齒形的實際的切削過程，增加了滾刀的頂隙，且為了能夠更加直觀地看出齒廓法線法與包絡(luò)法對柔輪齒形的求解結(jié)果的一致性，將兩種方法對柔輪齒廓的求解結(jié)果集成到一張圖上，如圖4所示。兩者對柔輪齒廓求解的差值如圖5所示，可以看出齒廓法線法的求解結(jié)果與用包絡(luò)法所包絡(luò)出來的柔輪齒形吻合的非常好，右側(cè)齒廓之間的誤差在1μm以內(nèi)。

圖4　柔輪齒形

圖5　求解結(jié)果數(shù)值比較

2包絡(luò)法求解剛輪齒形

在對剛輪齒形進行求解的時，與普通齒輪的嚙合的過程相比，柔輪與剛輪嚙合過程中，由于波發(fā)生器的作用，柔輪處于彈性變形的狀態(tài)，齒廓法線法此時已不再適用，所以這里選用包絡(luò)法求解剛輪齒形，這一方法的實質(zhì)是把柔輪的彈性變形轉(zhuǎn)化為共軛運動的一個組成部分，并用包絡(luò)理論求解諧波齒輪傳動的共軛齒形[6]。

若原始曲線與柔輪齒形已知，則在保證傳動比i=const的情況下，便可按照包絡(luò)法求得剛輪齒形。

圖6　用包絡(luò)法求剛輪齒形的原理圖

為求解問題方便起見，以參數(shù)形式給出柔輪的齒形曲線方程：

(5)

式中u—參數(shù)

(6)

圖7　剛輪齒形

若能結(jié)合運動仿真，可使CTC剛輪齒形的求解過程變得簡便。結(jié)合包絡(luò)理論，在Matlab編寫相應的程序，可以在Matlab中描繪出CTC柔輪齒形的運動軌跡，對產(chǎn)生包絡(luò)點需按照較易加工的齒廓進行擬合曲線[7]，齒形選用圓弧—直線—圓弧擬合，可近似求得與柔輪齒廓共軛的剛輪齒廓。又考慮到柔輪齒與剛輪齒之間的頂隙系數(shù)c*=0.25，則在Matlab中繪出的剛輪齒形如圖7所示。

3剛輪齒形反求插刀齒形

3.1齒廓法線法求解插刀齒形

由剛輪反求出插刀齒形時，插刀加工剛輪可以看成是兩個齒輪的內(nèi)嚙合，上文中已經(jīng)求出了剛輪的齒形，設(shè)它在自身的坐標系(O1-x1,y1)中的齒形方程為y1=f(x1)。

圖8　剛輪和插刀的嚙合

在通過柔輪求解剛輪的齒廓時，已知柔輪的變位系數(shù)x1，柔輪與剛輪之間的嚙合可看成裝入波發(fā)生器之后的柔輪的節(jié)圓與剛輪節(jié)圓之間的純滾動，且為了保證柔輪齒和剛輪齒之間無干涉的嚙合，所以柔輪的節(jié)圓齒距必須等于剛輪的節(jié)圓齒距。可以通過這一點由柔輪的變位系數(shù)求得剛輪的變位系數(shù)x，而插刀需要按照標準的模數(shù)的齒形來設(shè)計，如圖8所示相應的插刀齒形就需要在徑向上移動xm距離，才能加工出上述已求出的經(jīng)過變位之后的剛輪齒形。

由齒廓法線法計算此時的剛輪齒廓方程時，先計算剛輪齒形上任意一點M處的切線與x1軸的夾角γ，為使M點成為接觸點時，剛輪齒形要從起始位置旋轉(zhuǎn)φ1。

(7)

a：剛輪與插刀的中心矩，zd：插刀的齒數(shù)。

(8)

式中，φ2：剛輪轉(zhuǎn)過φ1時M點成為接觸點時，插刀相應地轉(zhuǎn)過的角度。

φ1與φ2的關(guān)系如下式：

(9)

圖9　剛輪插刀齒形

利用前面求解出的CTC剛輪齒形，運用齒廓法線法在Matlab中求解出相應的CTC插刀齒形。為了方便對齒形的描述，將插刀的齒形按照圓弧—直線—圓弧進行擬合，插刀齒形在Matlab中的求解結(jié)果如圖9所示。

3.2包絡(luò)法求解插刀齒形

圖10　剛輪插刀齒形

為驗證利用齒廓法線法和包絡(luò)法求解的插刀齒形結(jié)果的一致性，仿照柔輪齒形的包絡(luò)在Matlab中編寫剛輪求解插刀齒形的包絡(luò)法相應的程序。在Matlab中用包絡(luò)法所形成的剛輪的曲線族如下圖10所示,其下方所包絡(luò)出的齒形即所要求的插刀齒形，為了驗證齒廓法線法和包絡(luò)法求解插刀齒形結(jié)果的一致性，此時我們將圖9中齒廓法線法的求解結(jié)果也集成到此圖中。且考慮到插刀在加工剛輪時，需要在插刀的齒底與剛輪的齒頂留出一定量的頂隙，所以在對插刀齒形進行設(shè)計時，增加了系數(shù)c*=0.25的頂隙。

另外在Matlab中繪出兩者求解的齒廓的數(shù)值比較如圖11所示，可以看出齒廓法線法的求解結(jié)果與用包絡(luò)法所包絡(luò)出來的插刀齒形吻合的非常好，右側(cè)齒廓之間的誤差在1μm以內(nèi)。

圖11　求解結(jié)果數(shù)值比較

4滾刀和插刀加工出的剛?cè)彷喌膰Ш蟼?cè)隙分析

雖然前面通過滾刀的基準齒形依次求出了柔輪、剛輪和插刀的齒形，但是在Matlab中通過齒廓法線法和包絡(luò)法求解滾刀齒形和插刀齒形的過程中，由于在對剛輪和柔輪齒形的方程求解時，都是采用的圓弧—直線—圓弧進行擬合的，特別是中間直線段。CTC齒形是以滾刀的法面齒形作為基準齒形，即刀具中間段為直線，則與之共軛的柔輪中間段應為漸開線，但由于柔輪基圓相對于輪齒非常大，齒數(shù)又多，于是漸開線曲率半徑很大且中間段非常短，所以柔輪中間段可以近似看成直線段，此時就以直線方程對柔輪齒形上的點進行擬合。在對剛輪和插刀齒形進行擬合時也存在這樣的問題。雖然單個的擬合誤差不大，但是柔輪、剛輪和剛輪插刀三者的擬合誤差的疊加就不能忽略不計，由于這種誤差的存在，將使兩把刀具所加工出來的柔輪和剛輪達不到所要求的精度，其中最主要就是剛?cè)彷唶Ш蟼?cè)隙，齒側(cè)隙是諧波齒輪傳動空程回差的主要誤差[5]。

利用前面所設(shè)計的滾刀和插刀在Matlab中用齒廓法線法直接求出柔輪齒形和剛輪齒形，參考文獻[7-8]可以對所求出的柔輪和剛輪進行輪齒的局部嚙合仿真如圖12所示，參考文獻[9]計算出右側(cè)齒側(cè)隙的大小如圖13所示。

圖12　嚙合仿真

圖13　嚙合側(cè)隙分析

5結(jié)論

通過所編寫的Matlab參數(shù)化編制程序，可以方便地對剛?cè)彷喌凝X形進行參數(shù)化設(shè)計，并且能夠通過滾刀基準齒形依次求解出剛?cè)彷喌凝X形和插刀齒形。而且能夠利用包絡(luò)法對所求結(jié)果進行及時的驗證，有效地減少了在后續(xù)加工制造時發(fā)現(xiàn)錯誤造成設(shè)計的失敗，極大地提高了設(shè)計的效率，縮短了諧波減速器產(chǎn)品的設(shè)計和制造周期。

根據(jù)齒廓法線法和包絡(luò)法求解的CTC剛?cè)彷嘄X形的結(jié)果，對求解的結(jié)果可以分段擬合出剛?cè)彷喌凝X形方程，根據(jù)求出的齒形方程在proe中對剛?cè)彷嗊M行整體建模，可以導入Abaqus中對柔輪和剛輪的齒進行嚙合分析，這將極其方便進一步對CTC齒形性能的研究。

另外，在Matlab中的仿真結(jié)果表明，由所設(shè)計出的滾刀和插刀加工出的柔輪和剛輪的嚙合側(cè)隙在2μm以內(nèi)，達到剛?cè)彷嘄X輪副側(cè)隙的b型側(cè)隙。

[參考文獻]

[1] Nenad M Kircanski, Andrew A Goldenberg. An Experimental Study of Nonlinear Stiffness, Hysteresis, and Friction Effects in Robot Joints with Harmonic Drives and Torque Sensors[J]. The International Journal of Robotics Research,1997,16:214.

[2] 嵇鑫健.CTC齒形諧波傳動齒廓設(shè)計與嚙合分析[D].南京:南京理工大學,2013.

[3] 范又功, 曹炳和. 諧波齒輪傳動技術(shù)手冊[M]. 北京:國防工業(yè)出版社,1995.

[4] 吳序堂.齒輪嚙合原理[M].1版.北京:機械工業(yè)出版社,1982.

[5] 馮德坤，馬香峰.包絡(luò)原理及在機械方面的應用[M].北京:冶金工業(yè)出版社,1994.

[6] 沈允文, 葉慶泰. 諧波齒輪傳動的理論與設(shè)計[M]. 1版. 北京:機械工業(yè)出版社,1985.

[7] 范元勛, 王華坤, 宋德鋒. 諧波齒輪傳動共軛齒廓的計算機數(shù)值模擬研究[J]. 南京理工大學學報, 2002, 26(4): 389-392.

[8] 董惠敏.基于柔輪變形函數(shù)的諧波齒輪傳動運動幾何學及嚙合性能研究[D].大連:大連理工大學，2008.

[9] 崔博文, 沈允文. 諧波齒輪傳動的接觸狀態(tài)分析及側(cè)隙計算[J]. 機械科學與技術(shù), 1996, 15(4): 569-572.

(編輯李秀敏)

Design and Simulation of Harmonic Gear and Tool Based on Matlab

CHEN peng , FAN Yuan-xun

(School of Mechanical Engineering, Nanjing University of Science and Technology, Nanjing 210094, China)

Abstract：According to the tooth profile normal method and envelope principle, using the powerful data processing ability and graphics display function of the Matlab software, the tooth profile normal method and envelope method could be written out in Matlab software, which could figure out the tooth profiles of the flexspline, circular spline and their cutters. In the process of solving the new tooth, the tooth profile normal method could figure out the precise designed tooth profiles. At the same time, the envelope method enveloped out the corresponding tooth profiles, which could timely validate the results of the tooth profile normal method. The simulation results in Matlab software showed that with the above method, the precise tooth profiles of the flexspline, circular spline and their cutters could be rapidly figured out. And the results could timely be validated. In meshing simulation analysis, the meshing clearance of the flexspline and circular spline, which the two designed knives work out, was within 2μm.

Key words：harmonic gear; new tooth profiles; meshing simulation; Matlab

中圖分類號：TH164;TG506

文獻標識碼：A

作者簡介：陳鵬(1990—)，男，江蘇鹽城人，南京理工大學碩士研究生，研究方向機械設(shè)計及理論，(E-mail)544350616@qq.com。

收稿日期：2015-03-15

文章編號：1001-2265(2016)01-0010-04 1001-2265(2016)01-0017-03

DOI:10.13462/j.cnki.mmtamt.2016.01.003 10.13462/j.cnki.mmtamt.2016.01.005