淺談數(shù)學概念教學

吳中才

【摘要】數(shù)學離不開推理，推理又離不開判斷，而判斷又是以概念為基礎的.因此，數(shù)學概念在數(shù)學推理與數(shù)學教學中有著至關重要的作用.針對概念獲得的兩種基本方式——概念形成與概念同化，概念教學通常包括四個主要環(huán)節(jié)：概念的引入、概念的形成、概念的明確（辨析）、概念的精致.

【關鍵詞】概念；數(shù)學概念；概念教學

概念是反映事物本質屬性的思維形式.正確的概念是科學抽象的結果.人們在實踐的基礎上得到了豐富的感性認識材料，經過去粗取精、去偽存真、由此及彼、由表及里的改造過程，舍掉了事物的一些次要方面，保留了事物的本質屬性，形成了概念.

例如“積分”的概念，分割→求和→求極限，其中分割要求無限細.將區(qū)間等分并不是它的本質特征，只要讓所有區(qū)間的長度均趨近于0即可.而教材給出的兩個例子（一個求曲邊三角形的面積，一個求變力做功）都是采用等分的辦法，在這兩個例子的基礎上講述積分的概念，就需要澄清區(qū)間的分割并不一定要等分，更要讓學生明白為什么要等分（方便求和）.另外，取小矩形的高時，兩個引例取的都是小區(qū)間的端點處的函數(shù)值，這也不是本質特征，其實在小區(qū)間內任取一點處的函數(shù)值均可作為小矩形的高，教學時也要讓學生明白為什么取端點函數(shù)值（還是方便計算）.

數(shù)學離不開推理，推理又離不開判斷，而判斷又是以概念為基礎的.因此，概念不清，數(shù)學推理寸步難行.所以，有人說概念是思維的細胞.

例如，兩個平面平行的概念是我們研究兩平面平行的判定和性質的基礎，如果不清楚兩個平面平行的概念，就無法證明兩個平面平行的判定（運用反證法的思維起點就是定義），也無法研究兩平面平行的性質定理了.

1概念的分類

數(shù)學概念分為兩類：一類是對現(xiàn)實對象或關系直接抽象而成的概念；另一類是純數(shù)學抽象物，這類概念是抽象邏輯思維的產物，是一種數(shù)學邏輯構造，沒有客觀實在與之對應，這類概念對建構數(shù)學理論非常重要，是數(shù)學深入發(fā)展的邏輯源泉.

例如，直線、平面、異面直線等就是直接抽象而成的概念；集合、函數(shù)、方程等則是純數(shù)學抽象物.

2概念的掌握

概念的掌握又稱概念的獲得，一般有兩種基本方式──概念形成與概念同化.這里，概念形成側重指由具體到抽象、由特殊到一般、經過分析綜合去掉非本質特征，保留本質屬性的過程.概念同化則指依賴學習者認知結構中原有的概念，以定義的方式直接向學習者提示概念的本質屬性的方式.前者更適合低年級學生，后者更適合高年級學生.在下面的“概念的形成”環(huán)節(jié)，包括概念形成與概念同化兩種不同的獲得方式.

認識論原理告訴我們，人們不可能一次地和孤立地認識一類事物的本質特征，而是用聯(lián)系的觀點，并且要經歷一個由感性到理性的發(fā)展過程.因此，我們不能孤立地來談論概念教學，應該把概念放到整個體系中去考察，但要分階段處理.

例如，“函數(shù)”在初中是從運動變化的角度，用變量的觀點進行定義的，主角是變量，而變量往往有著一定的實際意義；高中則是以集合論為基礎，用對應（映射）的觀點進行定義的，突破了變量的局限，如理解y=1是否是函數(shù)，理解數(shù)列是特殊的函數(shù)，用映射的觀點就容易理解了；到大學還會講到隱函數(shù)，將函數(shù)與方程聯(lián)系起來了，同時還要注意到函數(shù)與方程的區(qū)別.同一個概念在不同階段可以得到不同的發(fā)展，但在不同階段也應當有不同的教學要求.

3概念的教學

概念教學一般有四個主要環(huán)節(jié)：概念的引入、概念的形成、概念的明確（辨析）、概念的精致.

概念的引入一般結合學生已有的知識經驗和生活經驗，讓學生感受到學習概念的必要性，體會到概念的作用.常常采用從類比引入、從舊知引入、從需要引入等方式.例如，球的概念可以類比圓的概念引入，二面角的概念可類比平面角的概念引入.

在概念的形成環(huán)節(jié)，要引導學生思考、概括，促進學生對概念的有效同化，可以從以下幾點設計教學：（1）向學生提供適當數(shù)量、適當強度的刺激模式，以便于學生分析、比較；（2）讓學生進行充分的自主活動，使他們有機會經歷概念產生的過程，并從共同屬性中抽象出本質屬性；（3）概括成概念后，教師適當引導學生對認知結構中的新舊概念進行分化，并將新概念納入到已有的概念系統(tǒng)中去.

概念的明確需要從概念的內涵和外延兩個方面來考慮.明確概念之后，還要把概念納入到概念體系中，去明確概念間的關系.

概念的精致實質上是對數(shù)學概念的內涵與外延進行盡量詳細的“深加工”，對概念要素與關鍵詞進行具體界定，獲得概念的某些限制條件，以使學生建立更清晰的概念表象，對概念的細節(jié)把握更加準確，等等.概念的精致通常表現(xiàn)為對各種可能的特例進行剖析，分析可能發(fā)生的概念理解錯誤，理解概念的各種變式，還包括掌握概念的多元表征（如形象表征、符號表征等），并能在各種表征間靈活轉化，這也是數(shù)學概念教學的基本策略.

下面看一個“函數(shù)極值”概念的教學設計案例：