混合序列下半?yún)?shù)模型估計(jì)的相合性

許雪

(湖北大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院,湖北 武漢 430062)

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許雪

(湖北大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院,湖北 武漢 430062)

摘要：研究誤差序列為混合序列的半?yún)?shù)回歸模型,利用混合序列的Rosenthal型不等式和截尾的方法, 討論參數(shù)β的最小二乘估計(jì)量和未知函數(shù)g(·)的非參數(shù)估計(jì)量的強(qiáng)相合性和r階平均相合性.

關(guān)鍵詞：半?yún)?shù)回歸模型混合序列;強(qiáng)相合性;r階平均相合性

0引言

考慮半?yún)?shù)回歸模型

yi=xiβ+g(ti)+ei,i=1,2,…,n

(1)

其中ei為隨機(jī)誤差序列,E(ei)=0, {(xi,ti),1≤i≤n}為固定設(shè)計(jì)點(diǎn)列,β為未知參數(shù),且β∈R,g(·)為緊集D上的未知函數(shù).

(1)式可寫成

yi-xiβ=g(ti)+ei,i=1,2,…,n.

若β已知且E(ei)=0, 則g(ti)=E(yi-xiβ), 1≤i≤n, 此時(shí)g(·)的非參數(shù)估計(jì)為

自1989年Engle等[1]在研究氣候條件對(duì)電力需求影響的問題時(shí)提出了半?yún)?shù)回歸模型以來,此問題引起了越來越多學(xué)者的關(guān)注. 它同時(shí)包含了參數(shù)和非參數(shù)分量,相比于一般線性模型而言,更具有靈活性.半?yún)?shù)模型綜合了線性模型和非線性模型的優(yōu)點(diǎn),更好地描述了現(xiàn)實(shí)問題,從而被用于研究許多有意義的問題,比如,基本模型下研究統(tǒng)計(jì)量的大樣本性質(zhì),即運(yùn)用各種不同的估計(jì)方法或在不同的誤差設(shè)定下,探討相關(guān)估計(jì)量的強(qiáng)、弱相合性、r階平均相合性及其收斂速度等;或把基本模型進(jìn)行推廣,探討在數(shù)據(jù)截?cái)嗷蛉笔r(shí),模型的估計(jì)及估計(jì)量的性質(zhì).

以下給出一些證明定理需要的條件.

條件A1:g(·)是在閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)且滿足1階Lipschitz條件.

條件A3:

1引理

為了得出本文中的主要結(jié)論，本節(jié)先給出一些相關(guān)的引理.

2主要結(jié)果及證明

先證

J1→0,n→∞

(2)

J2→0,n→∞

(3)

由Borel-Cantelli引理知

(4)

J22→0,n→∞

(5)

再證J23→0, 由H?lder不等式,有

故

J23→0, a.s.

(6)

由(4)～(6)式可得I2→0 a.s..

J3→0, a.s.

(7)

綜上所述,定理1證明完成.

定理2的證明由定理?xiàng)l件及對(duì)所有的t∈D, 有

由定理1及定理?xiàng)l件知K1→0,n→∞.

綜上所述,定理2證明完成.

由Cr不等式有

由Minkowski不等式有

故

由于

n-δ/α-δ/2→0,n→∞.

故

綜上所述,定理3得證.

定理4的證明

再結(jié)合Cr不等式有

綜上所述,定理4得證.

參考文獻(xiàn)3

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(責(zé)任編輯趙燕)

XU Xue

(Faculty of Mathematics and Statistics, Hubei University, Wuhan 430062,China)

Abstract:We studied the semiparametric regression model with -mixing error sequences and discussed its strong consistency and r-th mean consistency of the estimators of β and g(·) by using -mixing sequences’ Rosenthal inequality and trucated method.

Key words:semiparametric regression model; -mixing sequences; strong consistency; r-th mean consistency

中圖分類號(hào):O212.2

文獻(xiàn)標(biāo)志碼:ADOI:10.3969/j.issn.1000-2375.2016.01.001

文章編號(hào):1000-2375(2016)01-0001-06

作者簡介:許雪(1992-),女，碩士生

收稿日期:2015-10-25