數(shù)學(xué)誤解的元話語(yǔ)與應(yīng)對(duì)要義

朱小平

（揚(yáng)州市梅嶺小學(xué)，江蘇 揚(yáng)州 225002）

數(shù)學(xué)是學(xué)生感覺(jué)到較難、問(wèn)題較多的一門(mén)學(xué)科。數(shù)學(xué)教學(xué)除了講解必要的知識(shí)給學(xué)生聽(tīng)，更重要的是盡可能地解決學(xué)生所遭遇的困惑與錯(cuò)誤，從而為其掌握更多的知識(shí)提供智慧支持。盡管錯(cuò)誤難以避免，但我們?nèi)匀幌Ｍㄟ^(guò)教學(xué)的改進(jìn)和兒童自身的努力來(lái)減少錯(cuò)誤，以增強(qiáng)學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的信心和能力。根據(jù)我們的訪談發(fā)現(xiàn)，多數(shù)學(xué)生所犯數(shù)學(xué)錯(cuò)誤主要有兩種：一種是根本不會(huì)解答題目，純屬瞎做而出錯(cuò)；另一種則是會(huì)解答題目，只是因誤會(huì)或失誤才導(dǎo)致出錯(cuò)。前者多與題目難度偏高或?qū)W生學(xué)業(yè)水平偏低有關(guān)，后者多因誤解而起，且具有極高的研究?jī)r(jià)值和現(xiàn)實(shí)意義。

一、數(shù)學(xué)誤解的元話語(yǔ)

（一）基本含義

數(shù)學(xué)誤解，從廣義層面講，指錯(cuò)誤的數(shù)學(xué)解法和數(shù)學(xué)理解；從狹義層面講，專指存在誤會(huì)或失誤的數(shù)學(xué)解法和數(shù)學(xué)理解。

我們認(rèn)為，數(shù)學(xué)誤解主要指兒童對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解和數(shù)學(xué)問(wèn)題的判斷有偏差、誤會(huì)或失誤，由此而導(dǎo)致了對(duì)實(shí)際問(wèn)題的錯(cuò)誤解法。數(shù)學(xué)誤解屬于數(shù)學(xué)錯(cuò)誤的一種，但數(shù)學(xué)錯(cuò)誤未必都是由數(shù)學(xué)誤解而引起。

研究數(shù)學(xué)誤解，可以更好地認(rèn)識(shí)和肯定數(shù)學(xué)錯(cuò)誤的價(jià)值，學(xué)生面對(duì)知識(shí)或問(wèn)題時(shí)，由于某種誤解的存在，最終沒(méi)有選擇某種正確方式，也就產(chǎn)生了錯(cuò)誤。在一定程度上講，“數(shù)學(xué)誤解”的提法可能比“數(shù)學(xué)錯(cuò)誤”更具有積極意義。因?yàn)椤皵?shù)學(xué)錯(cuò)誤”的提法可能會(huì)使教師單方面認(rèn)為是兒童自身的原因才導(dǎo)致了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中錯(cuò)誤的存在；而“數(shù)學(xué)誤解”則時(shí)刻提醒我們，要認(rèn)識(shí)到消除誤解是師生雙方都要努力溝通的事實(shí)，更重要的是能夠加深學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解和端正教師對(duì)待學(xué)生錯(cuò)誤的態(tài)度。

（二）常見(jiàn)類型

1.按照誤解程度的深淺，數(shù)學(xué)誤解可以分為迷思類誤解和失誤類誤解兩種。前者表現(xiàn)為需要有他人的點(diǎn)撥并伴以深入的剖析和思考，具有時(shí)間長(zhǎng)久、反復(fù)發(fā)生的特點(diǎn)；后者表現(xiàn)為誤認(rèn)、誤讀、誤判、誤算，具有時(shí)間短暫、事后自明的特點(diǎn)。

2.按照誤解涉及的層面，數(shù)學(xué)誤解可以分為語(yǔ)言類誤解和思維類誤解。對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)不僅是對(duì)問(wèn)題解決的思維訓(xùn)練與學(xué)習(xí)，還包括對(duì)數(shù)學(xué)這一特殊的語(yǔ)言形式的學(xué)習(xí),即包括對(duì)數(shù)學(xué)語(yǔ)言的識(shí)別、理解和語(yǔ)義轉(zhuǎn)換。兒童對(duì)一些字詞的理解偏差導(dǎo)致誤解的產(chǎn)生屬于語(yǔ)言類誤解。思維類誤解多與思維品質(zhì)、習(xí)慣、方法有關(guān)，如思維不嚴(yán)謹(jǐn)，思維定式等。

3.按照誤解發(fā)生的元素，數(shù)學(xué)誤解可以分為技能型誤解、計(jì)算型誤解、概念型誤解和問(wèn)題解決型誤解等四種類型。如“學(xué)生利用量角器度量(畫(huà))45°的角，誤把135°的角量（畫(huà)）成45°的角”屬于技能型誤解；數(shù)學(xué)錯(cuò)誤“4×25÷4×25=100÷100=1”和“1450-450÷25×18=1000÷25×18=40×18=720”均屬于計(jì)算型誤解；把“半圓的周長(zhǎng)”等同于“圓周長(zhǎng)的一半”屬于概念型誤解；學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題“小明和小紅一共有150張郵票。如果小明給小紅8張郵票，兩人郵票張數(shù)就一樣多。小紅原來(lái)有多少?gòu)堗]票?”錯(cuò)誤列式為“（150-8）÷2”則屬于問(wèn)題解決型誤解。

（三）形成原因

1.學(xué)生自身學(xué)習(xí)方面

（1）表現(xiàn)在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的專注程度上。在物質(zhì)豐富、娛樂(lè)盛行的社會(huì)背景下，盡管教師以富有童趣的活動(dòng)形式向兒童展現(xiàn)數(shù)學(xué)本身的魅力，但仍有不足以吸引學(xué)生的眼球和注意力的時(shí)候。有些兒童由于缺少良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣和態(tài)度，時(shí)常處于“一心二用”“粗略讀題”“草率思考”的狀態(tài)之中，“道聽(tīng)途說(shuō)”“掛一漏萬(wàn)”“誤讀、誤判、誤算”的情況時(shí)有發(fā)生。

（2）表現(xiàn)在處理問(wèn)題的方法使用上。在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的進(jìn)程中，由于心理表象的缺失或片面，基礎(chǔ)圖式的缺乏或不當(dāng)，代表性經(jīng)驗(yàn)推理的不足，兒童容易對(duì)概念做不適宜的推廣，對(duì)結(jié)論做隨意性擴(kuò)展，對(duì)方法做不恰當(dāng)?shù)倪w移。[1]事實(shí)表明，兒童聽(tīng)出的“弦外之音”和想出的“題外之意”多有誤解。

（3）表現(xiàn)在應(yīng)對(duì)問(wèn)題的思維傾向上。兒童在思考數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，由于過(guò)去的學(xué)習(xí)心理傾向帶來(lái)思維的單向性和戀舊性，不自覺(jué)地在過(guò)于限制的領(lǐng)域建立數(shù)學(xué)聯(lián)系，或者出于對(duì)某種數(shù)學(xué)形式的偏好而忽略了其對(duì)立的形式等。如因?yàn)?53＞36，而誤認(rèn)為3.53＞3.6，即小數(shù)位數(shù)多數(shù)值就大。

2.教師現(xiàn)場(chǎng)教學(xué)方面

（1）缺少傳承與超越教材的課程意識(shí)與實(shí)施能力。目前，絕大多數(shù)教師完全忠實(shí)于教材機(jī)械執(zhí)行與直接照搬是不爭(zhēng)的事實(shí)。一套教材的編制熔鑄了諸多教育專家和優(yōu)秀教師的心血和智慧，固然值得“拿來(lái)”使用，但教材中提供的多是具有代表性的典型實(shí)例，學(xué)生由于缺少對(duì)更多例子的了解，難免會(huì)形成片面的數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)和誤解。如學(xué)生認(rèn)識(shí)梯形容易產(chǎn)生的誤解就有兩個(gè)：一是認(rèn)為梯形中“正著的”和“有直角的”是梯形，而“歪著的”不是梯形；二是誤以為相互平行的那組對(duì)邊，短邊是上底，長(zhǎng)邊是下底。

（2）缺少指導(dǎo)兒童數(shù)學(xué)思維的對(duì)話意識(shí)與溝通能力。對(duì)話有助于消除分歧、克服偏見(jiàn)、達(dá)成共識(shí)。但是在課堂教學(xué)中，教師如果只是滿足于點(diǎn)對(duì)點(diǎn)的對(duì)話，持守單項(xiàng)、線性的知識(shí)灌輸傾向，不改變兒童學(xué)習(xí)被動(dòng)、消極的知識(shí)接受狀態(tài)，那么，藏在兒童思想深處的數(shù)學(xué)誤解就難以得到顯現(xiàn)、消解和清除。誤解之誤解，絕不會(huì)“負(fù)負(fù)得正”般變?yōu)檎_，只能愈加地偏離數(shù)學(xué)的正確與完整。唯有通過(guò)對(duì)話，學(xué)生方能對(duì)所學(xué)知識(shí)去蕪存菁，進(jìn)行正確的理解和內(nèi)化，賦予知識(shí)以個(gè)體意義，從而獲得思想的啟迪和觀念的解放。

二、數(shù)學(xué)誤解的應(yīng)對(duì)要義

蒙田曾經(jīng)說(shuō)過(guò)，“名師高瞻遠(yuǎn)矚，其高明處就是俯就少年的步伐，指導(dǎo)他前進(jìn)”[2]。為幫助兒童解決知識(shí)學(xué)習(xí)上的問(wèn)題，幫助其形成解決學(xué)習(xí)問(wèn)題的正確思路，我們既要強(qiáng)化學(xué)生自我教育的觀念，又要改進(jìn)自己的教學(xué)行為，并提高教學(xué)活動(dòng)的針對(duì)性。

（一）對(duì)成長(zhǎng)中的兒童進(jìn)行學(xué)習(xí)方法的詳細(xì)指導(dǎo)

“讀書(shū)有三到，謂心到，眼到，口到。三到之中，心到最急，心既到矣，眼口豈不到乎？”

——南宋教育家朱熹

當(dāng)前，尤其需要對(duì)學(xué)生進(jìn)行如何“認(rèn)真聽(tīng)講”和“仔細(xì)讀題”兩方面的學(xué)習(xí)指導(dǎo)，做到“聽(tīng)講合一，讀思結(jié)合”，從而提高學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的質(zhì)量，有效預(yù)防數(shù)學(xué)誤解的無(wú)端產(chǎn)生。

“認(rèn)真聽(tīng)講”方面的指導(dǎo)主要包括：（1）既要聽(tīng)，還要講。杜絕不聽(tīng)不講，倡導(dǎo)既聽(tīng)又講，鼓勵(lì)認(rèn)真聽(tīng)，主動(dòng)講。要求每個(gè)人每周至少發(fā)言一次。（2）認(rèn)真聽(tīng)，不只是聽(tīng)教師講話內(nèi)容，還要聽(tīng)取同學(xué)的發(fā)言內(nèi)容。聽(tīng)的過(guò)程要分析和篩選信息，努力聽(tīng)出關(guān)鍵和重點(diǎn)所在。（3）主動(dòng)講，指及時(shí)講出自己的疑惑與異議，以及獨(dú)到的想法和解題思路。

“仔細(xì)讀題”方面的指導(dǎo)主要包括：（1）每題讀三遍，忌只讀一遍或者跳讀全題；（2）讀第一遍，要細(xì)讀全題并了解大概意思；（3）讀第二遍鎖定關(guān)鍵詞、關(guān)鍵句，邊讀邊想，并關(guān)注前后單位名稱是否一致；（4）讀第三遍再次鎖定關(guān)鍵詞、關(guān)鍵句，進(jìn)一步理清數(shù)量之間的關(guān)系，并確認(rèn)解題思路；（5）對(duì)于熟悉的題目，可以兩遍完成原先讀三遍的任務(wù)，對(duì)于陌生的、有難度的題目，需要在運(yùn)用解決問(wèn)題的策略分析題目的同時(shí)，不斷地回到題目邊讀題邊思考。

（二）以整體視角解讀、演繹和豐盈數(shù)學(xué)課程內(nèi)容

“知識(shí)只有成為整體狀態(tài)的時(shí)候，特別是對(duì)兒童的個(gè)體有整體意義的時(shí)候，它才呈現(xiàn)出其‘生命’。”[3]

——華南師范大學(xué)教授郭思樂(lè)

整體視角主要指整體觀照典型實(shí)例與非典型實(shí)例、知識(shí)的背景與背景中的知識(shí)進(jìn)行科學(xué)而完整的教學(xué)，使兒童所掌握的基礎(chǔ)知識(shí)基礎(chǔ)性能強(qiáng)、概括程度高。毋庸置疑，對(duì)新材料學(xué)習(xí)的適應(yīng)性越廣泛，認(rèn)識(shí)就越全面，遷移能力就越強(qiáng)，所產(chǎn)生的誤解也就越少。

1.以典型實(shí)例啟蒙，運(yùn)用變式凸顯本質(zhì)

學(xué)生運(yùn)用表象的方式，常常首先以典型的例子為工具，進(jìn)而將典型的例子作為普遍的、一般化的結(jié)論推廣使用。為此，運(yùn)用變式豐富典型實(shí)例的數(shù)量，可以凸顯知識(shí)的本質(zhì)，獲得理性的認(rèn)識(shí)。比如上文中提及的關(guān)于梯形的認(rèn)識(shí)時(shí)，除了上底與下底的長(zhǎng)度進(jìn)行變式外，還要在梯形的身子“正”與“歪”方面進(jìn)行變式，以豐富心理表象，強(qiáng)化圖形的本質(zhì)特征與屬性，是“只有一組對(duì)邊平行的四邊形”，至于這個(gè)四邊形是不是上小下大，身子是不是端端正正的，無(wú)關(guān)緊要。

再比如，認(rèn)識(shí)平行四邊形的高時(shí)，教材提示語(yǔ)為“從平行四邊形一條邊上的一點(diǎn)到它對(duì)邊的垂直線段，是平行四邊形的高，這條對(duì)邊是平行四邊形的底”，學(xué)生結(jié)合插圖對(duì)照理解提示語(yǔ)，會(huì)認(rèn)知聚焦“從頂點(diǎn)處向下畫(huà)的垂直線段為高”，同時(shí)隱藏兩個(gè)誤解，即“從頂點(diǎn)處畫(huà)出的垂直線段才是高，從其他的點(diǎn)畫(huà)出的垂直線段不是高”和“從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，只能畫(huà)一條高”。為此，學(xué)生完成基本練習(xí)后，待時(shí)機(jī)成熟教師需要說(shuō)明清楚：不指定點(diǎn)畫(huà)高，平行四邊形有無(wú)數(shù)條高；指定過(guò)頂點(diǎn)畫(huà)高，平行四邊形有兩條高；過(guò)一條邊上的點(diǎn)（不包括兩端出的點(diǎn)），只能畫(huà)一條高。同時(shí)，呈現(xiàn)各自對(duì)應(yīng)的圖像，形成完整的數(shù)學(xué)表象。

2.放大認(rèn)知活動(dòng)背景，悟得知識(shí)真義

有經(jīng)驗(yàn)的教師都知道，如果只是讓學(xué)生閱讀教材或聽(tīng)取教師講解“a2讀作a的平方，表示2個(gè)a相乘，即a×a，不表示2乘a”，也就是認(rèn)知活動(dòng)的背景僅是局限于a2與2a的比較的話，仍然會(huì)有不少學(xué)生誤認(rèn)為a2等同于a×2。其實(shí)，對(duì)學(xué)生而言，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)困難之一就是出現(xiàn)的數(shù)字不參與運(yùn)算，沒(méi)有出現(xiàn)的數(shù)字卻要參與運(yùn)算?！癮的平方”中沒(méi)有提及數(shù)字2，這無(wú)形之中就增強(qiáng)了理解的難度。為此，我們可以改變a2的表述形式，即a2讀作a的2次方，表示a×a。同時(shí)，介紹a3的讀法和意義，并讓學(xué)生推測(cè)a4的讀法和意義，從而達(dá)到整體感知、悟得真義的教學(xué)目的。學(xué)生由于先前獲得了關(guān)于a的幾次方的整體意義，進(jìn)入練習(xí)環(huán)節(jié)后把a(bǔ)2與2a再比較，能有效地區(qū)分二者的意義，避免了對(duì)a2產(chǎn)生歧義。

在復(fù)習(xí)課中，有時(shí)也需要放大認(rèn)知活動(dòng)背景，將知識(shí)彼此融會(huì)貫通。比如，復(fù)習(xí)等式的性質(zhì)，除了指向含有未知數(shù)的等式，還應(yīng)指向純數(shù)字的等式。以“5×6=3×10”為例，引出“5×6+16=3×10+16、5×6－5=3×10－5、5×6×2=3×10×2、5×6÷2=3×10÷2”，建立起兩類等式的實(shí)質(zhì)性聯(lián)系，加深了對(duì)等式的性質(zhì)的本質(zhì)理解，防止學(xué)生誤認(rèn)為等式的性質(zhì)僅適用于含有未知數(shù)的等式。

3.緊扣思維方法，形成數(shù)學(xué)策略性經(jīng)驗(yàn)

眾所周知，問(wèn)題解決的關(guān)鍵在于能不能找到合適的解題策略。在解決問(wèn)題過(guò)程中，有意識(shí)地積累和提升策略性經(jīng)驗(yàn)，形成穩(wěn)定的分析和解決問(wèn)題的操作框架，可以避免學(xué)生的數(shù)學(xué)思維出現(xiàn)生搬硬套、誤判誤用的情況。

比如，五年級(jí)《解決問(wèn)題的策略——轉(zhuǎn)化》中例2的教學(xué)，教師一般都會(huì)在學(xué)生嘗試計(jì)算和觀察算式特點(diǎn)之后，把思考引向通過(guò)數(shù)形結(jié)合將計(jì)算轉(zhuǎn)化為計(jì)算，進(jìn)而追問(wèn)如何計(jì)算。若是對(duì)后兩道算式的計(jì)算學(xué)生不再通過(guò)畫(huà)圖體驗(yàn)轉(zhuǎn)化的思維過(guò)程，僅僅是觀察算式進(jìn)行推想的話，學(xué)生則會(huì)自行強(qiáng)化并形成結(jié)論性經(jīng)驗(yàn)“1減去最后一個(gè)分?jǐn)?shù)”。當(dāng)遇到計(jì)算時(shí)，絕大多數(shù)學(xué)生都誤以為可以轉(zhuǎn)化成，而事實(shí)卻并非如此。為此，在完成上述變式練習(xí)后可以進(jìn)行二次變式練習(xí)，即計(jì)算和，通過(guò)畫(huà)圖發(fā)現(xiàn)以及，緊扣思維方法“數(shù)形結(jié)合”，積累和形成數(shù)學(xué)策略性經(jīng)驗(yàn)“用整體1減去空白部分的分?jǐn)?shù)進(jìn)行轉(zhuǎn)化”。

（三）創(chuàng)造指向眾多兒童數(shù)學(xué)誤解的話語(yǔ)圈教學(xué)

“教師在課堂上講什么當(dāng)然是重要的，然而學(xué)生想的是什么卻更是千百倍的重要?！?/p>

——數(shù)學(xué)教育家波利亞

在日常數(shù)學(xué)課堂中，話語(yǔ)圈的形成和維持常有相對(duì)固定的人員和既定的內(nèi)容。參與話語(yǔ)圈的人員多為表現(xiàn)欲強(qiáng)、思維敏捷、口齒伶俐的兒童；話語(yǔ)圈的內(nèi)容多為教材中寫(xiě)明的知識(shí)和技能。話語(yǔ)圈外的兒童，往往不會(huì)主動(dòng)自述誤解。鑒于此，教學(xué)反饋覆蓋面要廣，及時(shí)地把圈外的兒童和誤解拉入到話語(yǔ)圈中來(lái)。

1.探尋根源，釜底抽薪

誤解的根源多為認(rèn)識(shí)有誤區(qū)、思維有定式、經(jīng)驗(yàn)有局限、方法有缺陷等，我們?cè)谄涓吹呐袛嗪图m偏上多下功夫，針對(duì)數(shù)學(xué)觀念、思維方式、活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)、思考方法等方面的改變施加影響，達(dá)到標(biāo)本兼治的干預(yù)效果。

比如，在一次質(zhì)量調(diào)研中，我們發(fā)現(xiàn)班級(jí)中有二十幾名學(xué)生口算，誤以為不可以化簡(jiǎn)。從表面看，這些學(xué)生是缺少一定的數(shù)感和觀察能力，他們沒(méi)有發(fā)現(xiàn)69是23的3倍。但深入調(diào)查和分析之后發(fā)現(xiàn)，產(chǎn)生誤解的根源是學(xué)生業(yè)已形成的數(shù)學(xué)觀念“可以化簡(jiǎn)的分?jǐn)?shù)，其分子是合數(shù)”起到了決定性的影響，很顯然，這一數(shù)學(xué)觀念是片面的認(rèn)識(shí)。為此，“可以化簡(jiǎn)的分?jǐn)?shù)長(zhǎng)什么樣子”成了話語(yǔ)圈教學(xué)的議題。

又如，有學(xué)生誤以為4×0=4，4÷0=4，這是怎么回事兒呢？將該學(xué)生的想法納入到話語(yǔ)圈后，大家怎么猜也猜不出為何有如此想法。最后，由他自己揭開(kāi)謎團(tuán)。原來(lái)他由“4+0=4，4-0=4”運(yùn)算意義的解釋“4+0表示4沒(méi)有加一個(gè)數(shù)，4-0表示沒(méi)有減去一個(gè)數(shù)”，進(jìn)而推想出“4×0表示4沒(méi)有乘一個(gè)數(shù)，4÷0表示4沒(méi)有除以一個(gè)數(shù)，結(jié)果自然還是它自己本身”。顯然，造成誤解的原因是基礎(chǔ)圖式的缺乏或理解不當(dāng)。加法的意義和乘法的意義才是正確的基礎(chǔ)圖式，基于此理解“4×0表示4個(gè)0相加和4÷0的商不唯一，故不做討論”成為可能。

2.加強(qiáng)對(duì)比，固本強(qiáng)枝

兒童學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)感到最為頭痛的是那些樣子長(zhǎng)得差不多的數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)問(wèn)題。下面以解決問(wèn)題為例，談?wù)勅绾渭訌?qiáng)對(duì)比，消除學(xué)生對(duì)問(wèn)題的性質(zhì)和結(jié)構(gòu)的誤解。

比如，對(duì)于題目“一堆桃子有10個(gè)，一共重8千克，平均分給5只小猴。每只小猴分到多少個(gè)桃子？每只小猴分到多少千克桃子？”的講評(píng)，話語(yǔ)圈教學(xué)的三次對(duì)比：一是比較解決兩個(gè)問(wèn)題的相同之處，即都是求具體的數(shù)量，都是用總數(shù)量除以份數(shù)得到每份的數(shù)量；二是補(bǔ)充問(wèn)題“每只小猴分到這堆桃子的幾分之幾”，讓學(xué)生解答之后說(shuō)出具體思路，即問(wèn)題是求分率，是用總分率1除以份數(shù)5得到每份的分率；三是把補(bǔ)充問(wèn)題“每只小猴分到這堆桃子的幾分之幾”改為“1只小猴分到8千克桃子的幾分之幾”和“1只小猴分到10個(gè)桃子的幾分之幾”。讓學(xué)生再次分析和思考，并比較三個(gè)問(wèn)題的相同之處，即表述形式不同，但都是求1份對(duì)應(yīng)的分率，都是用總分率1除以份數(shù)5得到每份的分率。學(xué)生歷經(jīng)三次話語(yǔ)圈議題的比較和交流，豐富了對(duì)問(wèn)題的表征經(jīng)驗(yàn)，強(qiáng)化了對(duì)問(wèn)題性質(zhì)的識(shí)別，鞏固了關(guān)于解決求具體數(shù)量和求分率這兩類實(shí)際問(wèn)題的正確理解。

誠(chéng)如蒙田所言：“人是會(huì)犯錯(cuò)誤的，這一點(diǎn)至少讓我們?cè)诟淖兛捶〞r(shí)更加謹(jǐn)慎克制。我們應(yīng)該記住，不管理解了什么，常會(huì)理解到一些錯(cuò)誤的東西，它們同樣是通過(guò)這些時(shí)常會(huì)自相矛盾和迷誤的心靈做出的?！盵4]數(shù)學(xué)誤解總是產(chǎn)生于特定的時(shí)間、特定的空間和特定的情境之中。事不避難，知難不難。為扭轉(zhuǎn)誤解頻出的局面，讓兒童學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的心情好起來(lái)，我們?cè)谡覝?zhǔn)誤解根源進(jìn)行定點(diǎn)清除的同時(shí)，尤其需要以整體視角審視教學(xué)的設(shè)計(jì)與實(shí)施，因?yàn)橛行ьA(yù)防數(shù)學(xué)誤解的發(fā)生遠(yuǎn)比消除已經(jīng)發(fā)生的誤解更為重要！▲

[1]郜舒竹,薛漣霞.學(xué)生錯(cuò)誤研究之文獻(xiàn)綜述[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2009(1):75-78.

[2]蒙田.蒙田隨筆全集：第1卷[M].馬振騁,譯.北京:中國(guó)華僑出版社,2009:135.

[3]郭思樂(lè).知識(shí)過(guò)程的生長(zhǎng)本質(zhì)：小立課程的關(guān)鍵[J].課程·教材·教法，2004(1):3-9.

[4]蒙田.蒙田隨筆全集：第2卷[M].馬振騁,譯.北京:中國(guó)華僑出版社,2009:224.