基于SVD的抗差UKF算法在短時交通流狀態(tài)估計中的應用*

圖1 區(qū)域快速路網(wǎng)分解及交通特性示意圖

Fig.1 Schematic diagram of regional freeway network decomposition and traffic characteristic

si(k)]

(1)

si(k)=βi(k)qi-1(k)

(2)

(3)

(4)

(5)

式(1)-(5)所示二階宏觀交通流模型對交通流密度、速度、流量的動態(tài)關(guān)系進行了完整表述，其中模型參數(shù)對路網(wǎng)變化不敏感，而最佳速度vf、最佳密度ρcr、指數(shù)參數(shù)a較為敏感，路網(wǎng)拓撲結(jié)構(gòu)、環(huán)境因素不同，這三者都會有明顯變化[15,20].文中選取的交通流模型是以流體力學模型為理論基礎發(fā)展而來，有較大的參數(shù)規(guī)模、較高的復雜度，在描述三相交通流的變化趨勢方面有較好表現(xiàn)，已經(jīng)被驗證能對實際交通流狀態(tài)做出較為良好的預測[21].

1.2 交通流狀態(tài)空間建模

以上述模型為基礎，參照圖1所示拓撲結(jié)構(gòu)，構(gòu)建交通流狀態(tài)空間模型，對每一個路段的ρi(k)、vi(k)，快速路網(wǎng)的入口流量q0、速度v0，路網(wǎng)出口密度ρN+1，路段的入口匝道流量ri(k)，出口匝道流量占比βi(k)，以及路網(wǎng)模型參數(shù)vf、ρcr、a進行全面預測：

(6)

構(gòu)建交通流特征變量z、邊界變量b、模型參數(shù)p向量:

(7)

對于交通流特征變量z，預測狀態(tài)與當前狀態(tài)存在函數(shù)關(guān)系φ(·)，對于邊界變量b和模型參數(shù)p，采用疊加噪聲的一步預測方式獲取下一時刻的狀態(tài).因此，狀態(tài)空間表達式為

(8)

式中，ξ(k)均為疊加零均值高斯白噪聲.假設在相鄰路段的臨界及路網(wǎng)邊界都設有檢測裝置，則觀測變量為

y=q1v1…qNvNq0v0r1…

rNβ1…βNT

(9)

進而得出觀測方程

y(k)=g(x(k),η(k))

(10)

式中，η(k)為零均值高斯白噪聲.

綜上所述，得出宏觀交通流系統(tǒng)狀態(tài)空間模型：

(11)

2 無損卡爾曼濾波算法

傳統(tǒng)的非線性濾波算法以擴展卡爾曼濾波(EKF)為代表，該算法通過對非線性模型進行Taylor展開，忽略高階項，再結(jié)合經(jīng)典的卡爾曼濾波進行狀態(tài)估計，屬于典型的函數(shù)近似法.然而，非線性函數(shù)的Jacobian矩陣求解計算量較大，在強非線性環(huán)境下精度降低，甚至會出現(xiàn)濾波發(fā)散，穩(wěn)定性較差.無損卡爾曼濾波(UKF)是近年來提出的新型非線性濾波算法，該方法基于帶有權(quán)值的樣本集，通過無損變換(UT)估計非線性函數(shù)的概率密度分布，實現(xiàn)系統(tǒng)狀態(tài)和協(xié)方差的非線性傳遞，對于濾波更新結(jié)果再利用經(jīng)典卡爾曼濾波框架進行迭代運算，從而實現(xiàn)狀態(tài)估計.UKF摒棄了函數(shù)近似法的理念，不存在高階截斷誤差，不需要求導計算，較之EKF計算精度和穩(wěn)定性都有所提高.

2.1 標準UKF算法

考慮系統(tǒng)的非線性狀態(tài)方程和觀測方程如式(11)所示，其中：x(k+1)和x(k)分別為k+1、k時刻的系統(tǒng)狀態(tài)，y(k)為k時刻系統(tǒng)觀測值，f(·)為狀態(tài)模型，g(·)為觀測模型，ξ(k)為過程噪聲，η(k)為觀測噪聲，且滿足：

(12)

UKF的計算步驟如下[22- 23]：

1)系統(tǒng)狀態(tài)初始化

(13)

2)選取Sigma點

(14)

(15)

3)時間更新

Sigma點的非線性變換：

(16)

k時刻的狀態(tài)向量預測均值：

(17)

k時刻的狀態(tài)向量協(xié)方差陣：

(18)

4)測量更新

k時刻觀測向量變換：

(19)

k時刻觀測向量預測均值：

(20)

k時刻觀測向量協(xié)方差陣：

(21)

5) 濾波更新

狀態(tài)向量與觀測向量協(xié)方差矩陣：

(22)

卡爾曼增益矩陣：

(23)

k時刻狀態(tài)估計：

(24)

k時刻狀態(tài)估計協(xié)方差陣：

(25)

濾波殘差：

(26)

2.2 基于SVD的UKF算法

雖然UKF利用UT變換克服了EKF帶來的截斷誤差和濾波發(fā)散問題，但是在實際應用中，系統(tǒng)狀態(tài)先驗信息矩陣的對稱正定性并不能時刻得到保證，例如計算機的觀測粗差、系統(tǒng)噪聲等不確定性干擾，以及狀態(tài)模型擾動異常等，都會破壞協(xié)方差矩陣的正定性，影響濾波器效果[22].另外，單純通過抗差因子調(diào)節(jié)觀測噪聲矩陣的做法容易引起UT變換后觀測向量協(xié)方差矩陣病態(tài)，降低UKF的濾波精度和穩(wěn)定性.

UKF算法中的Sigma點選取環(huán)節(jié)，需要對協(xié)方差矩陣進行Cholesky分解，但是當協(xié)方差矩陣失去對稱正定性時，濾波計算將無法進行.對于這種情況，可以采用奇異值分解(SVD)代替Cholesky分解.另外，非線性模型的復雜度越高，UT變換后越容易出現(xiàn)不確定的偏差，下文將介紹利用抗差因子對觀測向量協(xié)方差矩陣和增益矩陣進行雙向調(diào)節(jié)的改進算法，根據(jù)觀測向量協(xié)方差矩陣的不同狀態(tài)自適應確定抗差策略，該算法的流程如圖2所示.

1)抗差因子

觀測信息對濾波結(jié)果的貢獻大小可以由抗差因子γ來調(diào)節(jié)，采用觀測向量殘差構(gòu)建抗差因子，即

圖2 基于SVD的改進抗差UKF算法流程圖

Fig.2 Algorithm flow chart with improved resistance to error based on SVD-UKF

(27)

式中:k0、k1為閾值參數(shù)，通常k0取1.5～2.0，k1取3.0～8.5，兩者取值越小，說明判定越嚴格，反之越寬松，文中取k0=2，k1=5[24];Svk為標準殘差，計算公式為

(28)

2)優(yōu)化抗差SVD-UKF算法

為解決狀態(tài)協(xié)方差矩陣非正定時無法進行Cholesky分解的問題，采用SVD分解計算Sigma點，即

(29)

值得說明的是,當Pk-1滿足對稱正定性時，兩者的分解結(jié)果完全一致.

優(yōu)化抗差算法的流程如圖2所示，觀測向量協(xié)方差的計算式為

(30)

(31)

3 實驗結(jié)果與分析

建立如圖3所示路網(wǎng)拓撲結(jié)構(gòu)，對前文所述的交通流狀態(tài)空間模型和預測算法進行驗證.在VISSIM仿真軟件采集的交通流數(shù)據(jù)基礎之上，利用Matlab完成交通流狀態(tài)估計.參數(shù)設置見表1，選取3 h的預測時間，觀測周期T=60 s，采用180組數(shù)據(jù)進行仿真實驗.

圖3 路網(wǎng)拓撲結(jié)構(gòu)圖Fig.3 Network topology structure

參數(shù)類型參數(shù)設置路網(wǎng)參數(shù)l1=420m,l2=925m,l3=414m,1=2=3=3模型參數(shù)=20s,v=35km/h,κ=13veh/km,δ1=δ2=0.1過程噪聲D(ξqi(k))=100veh/h,D(ξvi(k))=11km/h,i=1,2,3D(ξq0(k))=100veh/h,D(ξv0(k))=5km/h,D(ξρ4(k))=1.5veh/km/lane,D(ξr2(k))=3veh/h,D(ξβ2(k))=0.001,D(ξvf(k))=0.5km/h,D(ξρcr(k))=0.1veh/km/lane,D(ξa(k))=0.01測量噪聲D(ηqi)=100veh/h,D(ηvi)=10km/h,i=0,1,2,3D(ηr2)=20veh/h,D(ηs2)=10veh/h

圖4-7給出了部分狀態(tài)變量的估計結(jié)果，可以看出預測結(jié)果能準確跟蹤交通流狀態(tài)的變化趨勢.具體來說，交通流密度估計較為準確，而速度變量(v1、v2、v3、v0、vf)在某些時間點上存在明顯的誤差，流量相關(guān)的變量(q0、r2、β3)的估計較為準確，最佳密度(ρcr)的估計結(jié)果也在部分時刻出現(xiàn)了誤差，但是在基準值的1/103水平上，可以忽略不計.

引入誤差指標如均方根誤差(RMSE)、平均絕對值百分比誤差(MAPE)，在實驗數(shù)據(jù)的基礎上對EKF和SVD-UKF性能指標進行對比，結(jié)果見表2.

均方根誤差：

(32)

平均絕對值百分比誤差：

(33)

圖4 路段1交通流密度ρ1、速度v1估計

Fig.4 Estimation of traffic flow density and speed of segment 1

從性能指標的對比結(jié)果來看，對于非線性程度較高的速度變量(v1、v2、v3，表2中用黑體顯示)的估計，兩個算法的RMSE均較高，但是SVD-UKF優(yōu)于EKF.對于其他狀態(tài)變量的估計，SVD-UKF的RMSE都比EKF提高了一個數(shù)量級.然而，MAPE的結(jié)果顯示，對于速度變量(v1、v2、v3)的估計，SVD-UKF的MAPE稍遜于EKF，究其原因，相比于其他變量，速度狀態(tài)模型的非線性更強，在某些時刻UT變換帶來的轉(zhuǎn)換誤差非常大，速度估計相比原始值的偏差較大，而SVD-UKF算法的抗差設計并不能完全消除速度變量的不確定性誤差，因此，在今后的研究中需要進一步改善.總體上來說，SVD-UKF算法在短時交通流狀態(tài)預測方面的性能優(yōu)于EKF算法.

表2 算法性能指標對比Table 2 Algorithm performance comparison

圖5 快速路入口流量q0、速度v0估計Fig.5 Estimation of freeway entrance flow and velocity

圖6 模型參數(shù)最大速度vf、最佳密度ρcr估計

Fig.6 Estimation of model parameters maximum speed and the best density

圖7 入口匝道流量γ2、出口匝道流量占比β3估計

Fig.7 Estimation of the on-ramp traffic flow and off-ramp flow proportion

4 結(jié)語

文中針對城市區(qū)域快速路網(wǎng)，以實現(xiàn)交通流特征參數(shù)和模型參數(shù)的綜合估計為目標，建立宏觀交通流狀態(tài)空間模型，對交通流狀態(tài)和模型參數(shù)進行綜合估計，提高模型適應性和預測精度.在標準UKF算法基礎上，基于SVD的優(yōu)化抗差UKF算法，用奇異值分解(SVD)代替標準UKF的Cholesky分解，在協(xié)方差矩陣非正定時，解決了濾波計算不能持續(xù)的問題，同時，該算法根據(jù)觀測協(xié)方差矩陣是否病態(tài)自動選擇抗差策略，對增益矩陣和觀測協(xié)方差矩陣進行自適應計算，進而抑制由于模型較高的非線性帶來的誤差.實驗證明，宏觀交通流狀態(tài)空間模型能準確跟蹤交通流的動態(tài)變化，代價是較高的非線性和復雜度.相比于EKF，文中所提算法提高了交通流狀態(tài)估計的穩(wěn)定性和精度，今后將在模型參數(shù)優(yōu)化和抗差算法設計方面做深入研究，以期將文中模型和算法在實際的交通流預測中推廣應用.

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Application of SVD-Based Optimized Robust UKF Algorithm to Estimation of Short-Term Traffic Flow State

XULun-huiWANGXiang-xue

(School of Civil Engineering and Transportation, South China University of Technology, Guangzhou 510640, Guangdong, China)

In order to realize the real-time traffic flow state estimation of the regional freeway network in cities, a macroscopic traffic flow state space model is constructed. This model helps to estimate the traffic flow states and update the model parameters, and it can improve the adaptability and accuracy of the traffic flow model. Then, the SVD(Singular Value Decomposition)-based optimized robust UKF(Unscented Kalman Filter) algorithm is proposed. In the algorithm, the singular value decomposition is adopted to replace the Cholesky decomposition, thus solving the problem that the filtering can’t continue when the covariance matrix is non-positive. Meanwhile, different strategies are chosen according to whether the observation covariance matrix is pathological, and both the gain matrix and the observation covariance matrix are adaptively calculated. Furthermore, the error caused by the high nonlinearity of the constructed model is inhibited.Experimental results show that the proposed algorithm can avoid the filtering divergence of the EKF(Extended Kalman Filter) algorithm and can accurately track the trend of the traffic flow, thus improving the stability and precision of the traffic flow state estimation.

traffic flow state space model; UKF algorithm; singular value decomposition; error resistance factor

2016- 04- 22

國家自然科學基金資助項目(61263024) Foundation items: Supported by the National Natural Science Foundation of China(61263024)

許倫輝(1965-)，男，教授，博士生導師，主要從事智能交通系統(tǒng)理論及應用、交通流系統(tǒng)建模與仿真等研究.E-mail:lhxscut@163.com

1000- 565X(2016)12- 0044- 09

U 491

10.3969/j.issn.1000-565X.2016.12.007