小議模式識別在解題教學中的實踐和思考

☉江蘇省昆山市第一中學 周維軍

小議模式識別在解題教學中的實踐和思考

☉江蘇省昆山市第一中學 周維軍

眾所周知，模式識別理論的最初發(fā)展階段中，所涉及的含義是指陌生情境中的問題，可以通過大腦思辨、分析、歸納和總結，通過轉化，進而在自身頭腦中找到原始的、固有的模型，最終將問題成功解決的一種理論.從模式識別理論最初的發(fā)展來看，它涉及的僅僅是一種類似問題的套用，也就是說，相當于我們現(xiàn)在所說的解題模仿.

近年來，隨著解題教學的不斷發(fā)展和模式識別理論的不斷更新，模式識別理論也不再僅是簡單的解題模仿.陜西師大羅增儒教授提出：“模式識別有三個層次：第一層次是簡單的解題模仿，即我們講解的問題可以讓學生模仿著去解決；第二層次是從不同的數(shù)學問題中，找尋共性、發(fā)現(xiàn)最根本的模型，相比低層次的模式識別而言，第二層次的模式識別將數(shù)學整合性的知識融入到解題教學中；第三層次是模式識別的最高境界，一般來說涉及形式化的數(shù)學過程和結論，就是通過表象看到了數(shù)學的本質，也就是說最終的問題解決都轉化為數(shù)學最根本的東西——數(shù)學概念.”本文將從案例的角度，從教學實踐的角度，結合模式識別理論，談一談在教學設計中如何將模式識別理論和教學實踐有機地整合在一起，不足之處敬請讀者指正.

一、低層次的識別

大家知道，人類對于陌生事物的處理手段往往是依賴于經驗的積累.比如，李時珍撰寫的本草綱目，其中涉及了上萬種的中草藥，對于如此多的中草藥，他都是通過類似的模仿手段去判別該草藥有沒有用？能不能治病？有沒有毒等問題.中學數(shù)學解題也是如此，學生能不能解決這一問題，他首先思考的是有沒有見過這樣的問題？如果解決過類似的問題，他的腦海中第一時間就能跳出這樣的問題模型，這種模仿就是模式識別的第一層次.我們相信，任何一個高中生從學習數(shù)學開始，他都有這么一種基本的能力：模仿、思考、嘗試、解決、歸納、鞏固模型.隨著可用的模型越來越多，那么學生對基本問題的解決也越來越熟練，進而可以達到一個較為完善的問題解決框架.

案例1（2015年江蘇卷11改編）數(shù)列｛an｝滿足a1=1，且an+1-an=n+1（n∈N*），求數(shù)列｛an｝的通項公式.

分析：利用累加得an=（an-an-1）+（an-1-an-2）+…+（a2-a1）

模式識別：數(shù)列an+1-an=f（n）模型是遞推數(shù)列中的重要模型，進一步研究一般化模型：an+1=pan+f（n）.

識別一：當f（n）=q（常數(shù)）時，即an+1=pan+q模型.

問題1：數(shù)列｛an｝滿足a1=1，且an+1=2an+1，求數(shù)列｛an｝的通項.

分析：利用待定系數(shù)法an+1+x=2（an+x），易得x=1，因此，所以｛a+1｝是等比數(shù)列.n

識別二：當f（n）=kn+b（一次函數(shù)）時，即an+1=pan+kn+ b模型.

問題2：已知數(shù)列｛an｝滿足a1=1，an=2an-1+n-2（n≥2），求通項an.

分析：令an+λn+u=2［an-1+λ（n-1）+u］，得an=2an-1+λn-2λ+u ，由待定系數(shù)得所以an+n= 2［an-1+（n-1）］（n≥2），即｛an+n｝是以a1+1為首項，2為公比的等比數(shù)列，得an=2n-n.此處同樣是利用等比模型識別構造，可見問題解決方法的一般性.

識別三：當f（n）=an2+bn+c（二次函數(shù)）時，即an+1=pan+ an2+bn+c模型.

問題3：數(shù)列｛an｝滿足a1=1，an+1=2an+n2，求通項an.

分析：由an+1=2an+n2及上述構造，令an+1+λ（n+1）2+ u（n+1）+v=2（an+λn2+un+v），整理得an+1=2an+λn2+（u-2λ）n+ v-u-λ，由待定系數(shù)得

識別四：當f（n）=qn（指數(shù)函數(shù)）時，即an+1=pan+qn模型.

問題4：數(shù)列｛an｝滿足a1=2，an+1=ban+2n，求通項an.

分析：需要分類：（1）當b=2時，知an+1=2an+2n，令an+1+ λ（n+1）2n+1=2（an+λn2n），易得λ=-，所以｛an-n·2n-1｝是首項為1，公比為2的等比數(shù)列，可得an=（n+1）2n-1；（2）當b≠2時，同理，得an+1+λ2n+1=b（an+λ2n），λ=-，易得an=本題還有不同的處理方式，大家可以課后再做思考.

說明：很明顯，對于學生學習數(shù)學新知而言，模仿是第一手段.將數(shù)學知識存儲于頭腦中，并在遇到類似問題時合理將其運用，這就達到了模式識別最基本的運用層次.對本題利用等比構造這單一知識點而言，模式識別有著極其高效的作用，可以通過結合變式教學的手段，使解題教學變得有效與高效.

二、中層次的識別

如果只能學會低層次的模式識別，那么模仿的手段和能力雖然得到了提升，但始終無法進入更高層次的問題本質的審視.比如說，在學習向量章節(jié)內容時，一個學生可以將向量章節(jié)中的基礎題、基本技能熟練掌握和運用自如，所有的向量問題都已經在其頭腦中有雛形，但是在解決空間幾何和解析幾何時，有時向量的工具性作用呈現(xiàn)出巨大的威力，此時教師在教學中若不加以引導，那么學生的模仿和識別僅限于低層次的，其沒有辦法將模式識別、模仿等手段運用到知識整合性的角度，大大降低了模式識別理論運用的有效性，因此在解題教學更為重要的環(huán)節(jié)中，要注重模式識別理論對于不同問題、不同背景、不同載體的運用和實踐.

案例2對于向量我們知道有這樣的性質：|a+b|2+ |a-b|2=2（|a|2+|b|2）.在△ABC中，若M是BD的中點，則有.同時把三角形模式用文字概括為：三角形兩邊的平方和=2×（中線的平方+第三邊一半的平方）.利用這樣的模型，可以解決知識中的整合性識別.

識別一：設F1、F2是雙曲線=1（a>0，b>0）的左、右焦點，P是雙曲線右支上一點，O為坐標原點，若|PF1|∶|PO|∶|PF2|=5∶3∶3，則雙曲線的離心率為__________.

分析：根據三角形模式可得（5a）2+（3a）2=2［（3a）2+ c2］，即8a2=c2，所以e=2.

識別二：在平面直角坐標系xOy中，已知圓C：（x-a）2+（y-a+2）2=1，點（0，2），若圓C上存在點M，滿足MA2+MO2= 10，則實數(shù)a的取值范圍是___________.

分析：根據邊長的三角形模式得MA2+MO2=2（MB2+ OB2），所以（MB2+1）=5，所以MB=2，所以點M在以B為圓心，以1為半徑的圓B上，又點M在圓C上，所以兩圓有交點，所以|CB|∈［r1-r2，r1+r2］，所以|CB|∈［1，3］，所以1≤a2+（a-3）2≤9，解得0≤a≤3.

說明：我們發(fā)現(xiàn)，存儲于頭腦中的各種模型模式，都是孤立的、單一的，如何將其整合在一起，識別在各種不同知識之間，是進一步提高模式識別運用于解題教學的關鍵.

三、高層次的識別

如果能將前兩者合理的掌握，那么學生對于問題的解決，數(shù)學解題能力的提高都有一定的作用.可以這么說，大部分的問題都能通過前兩者的模式識別加以區(qū)分，并合理解決.但是我們也知道，數(shù)學最終是形式化的，隨著數(shù)學能力的加強，以后接觸的更多的數(shù)學知識都是抽象的，僅僅通過模仿和整合還是遠遠不夠的，這就涉及模式識別理論最高層次的運用.

案例3存在函數(shù)f（x）滿足，對任意x∈R都能滿足下列等式的是______________.

（1）f（sin2x）=sinx；（2）f（sin2x）=x2+x；（3）f（x2+1）=|x+ 1|；（4）f（x2+2x）=|x+1|.

分析：本題是模式識別最高層次的體現(xiàn).考查函數(shù)概念，是如何識別這些問題的原型呢？從最基本的函數(shù)概念出發(fā)：對任意的自變量，經過對應法則f都有唯一的值與之對應即可.對于（1）試取x=0及x=，發(fā)現(xiàn)（f0）分別等于0和1，這與函數(shù)概念最基本的特征相違背，顯然（1）是不成立的；對于（2）和（3），同理可得均不正確，因此只有（4）是正確的.

說明：模式識別最高層次的運用，其實可以認為它脫離了數(shù)學問題的表象，脫離了數(shù)學問題表象、情境的問題研究，其本質是對數(shù)學概念的認知.我們知道，數(shù)學中的核心概念形式化程度都非常高.比如函數(shù)概念，中學數(shù)學中各種各樣的問題最終都可以歸結為函數(shù)問題，從模式識別理論來講，所有的問題都是在研究函數(shù)概念及其性質，找到了問題的共性.教學中將這樣的教學思想滲透到學生的腦海中，久而久之可以提高數(shù)學核心概念的理解，也可以發(fā)展學生對于解題的認識.

從模式識別的不同層次，我們發(fā)現(xiàn)了其在解題教學中具備的不同能力訓練的要求，從初級模仿到中級整合到高級脫離問題形式的識別，勢必提高學生對于知識所使用模式的學習和理解，從模式識別中去提高對于數(shù)學知識的理解能力和運用能力是值得教學關注的，從這一點來說模式識別也將長期存在于中學數(shù)學解題教學中，并還將被教學繼續(xù)發(fā)展.

另一方面，模式識別理論也受到大學其他專家褒貶不一的評價，很多專家教授對模式識別提出了非常猛烈的抨擊，認為其思想僵化、指導學生套用模型、將學生的思維固化、教出的學生死板，沒有創(chuàng)新能力，筆者認為他們沒有用與時俱進、發(fā)展的眼光來看待模式識別理論.通過本文，我們對模式識別有了全新的認識，至少從現(xiàn)階段中學數(shù)學教學的實踐來看，模式識別必將長期存在，并在原有模仿的基礎上有了進一步的傳承和發(fā)展，將全新的模式教學理論和教學實踐相結合，我們對于解題教學的認識有了從模仿到整合，到追求數(shù)學概念本質的全新認知.久而久之，既能提高教師專業(yè)化的水準，也能提高學生的解題能力，那么數(shù)學教與學將會起到更為巨大的作用.

1.羅增儒.數(shù)學解題學引論［M］.西安：陜西師范大學出版社，2002.

2.沈恒.從高考解題談模式識別［J］.中國數(shù)學教育，2011（8）.

3.鄒黎華.例談數(shù)學解題中的模式識別［J］.福建教育學院學報，2010（3）.F