概念辨析，在學(xué)生的認(rèn)知拐點處——以“無理數(shù)”的概念復(fù)習(xí)為例

☉山東省萊蕪雪野中心中學(xué)　劉　軍

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概念辨析，在學(xué)生的認(rèn)知拐點處——以“無理數(shù)”的概念復(fù)習(xí)為例

☉山東省萊蕪雪野中心中學(xué)劉軍

認(rèn)知拐點，是指學(xué)生概念學(xué)習(xí)過程中容易出現(xiàn)偏差的地方，也就是學(xué)生容易出現(xiàn)認(rèn)知失誤的節(jié)點.概念辨析是數(shù)學(xué)概念教學(xué)的重要環(huán)節(jié)，也是引導(dǎo)學(xué)生剖析認(rèn)知拐點的絕佳時機.因此，在概念教學(xué)中，我們應(yīng)抓住這一環(huán)節(jié)，詳細(xì)分析概念的認(rèn)知拐點，提高概念學(xué)習(xí)的效度.現(xiàn)結(jié)合“無理數(shù)”的概念復(fù)習(xí)談?wù)劰P者的做法和思考，希望給您帶來啟示.

一、教學(xué)背景分析

無理數(shù)引入后，數(shù)域得到擴展，數(shù)的分類與識別增加了新的干擾因素.識別無理數(shù)，是一個新的知識，既是教學(xué)重點，也是學(xué)生認(rèn)識的難點.人教版八年級上冊教材中，對無理數(shù)所下的定義是：“無限不循環(huán)小數(shù)叫無理數(shù)”.許多學(xué)生對概念認(rèn)知并不深刻，識別無理數(shù)時糾纏于數(shù)字的“外形”，不能抓住定義中“無限不循環(huán)”的本質(zhì)，陷入識別誤區(qū)，出錯不少.其中較為典型的失誤有：（1）含根號的數(shù)都是無理數(shù)；（2）含有π的數(shù)都是無理數(shù)；（3）“沒有”循環(huán)節(jié)的數(shù)都是無理數(shù)；（4）人為構(gòu)造的有規(guī)律的數(shù)都是無理數(shù).

二、例題設(shè)置及分析

1.例題設(shè)置

A.1 B.2 C.3 D.4

2.設(shè)計意圖

在學(xué)生獲得“無限不循環(huán)小數(shù)又叫無理數(shù)”這一概念之后，教師安排了一定數(shù)量的“無理數(shù)識別”的例題，并將一些無理數(shù)的常見形式進行了歸納，然而，由于過于關(guān)注了形式，而忽略了“無限不循環(huán)”的本質(zhì)，導(dǎo)致很多學(xué)生出現(xiàn)無理數(shù)識別失誤.為了幫助學(xué)生在無理數(shù)識別中由“重形式”向“重實質(zhì)”轉(zhuǎn)變，在概念復(fù)習(xí)課上，教師設(shè)置了這樣一道選擇題，意在通過學(xué)生的解答與交流，讓其重拾概念，理清本質(zhì)，實現(xiàn)對概念的深度認(rèn)知.

三、例題教學(xué)過程

學(xué)生活動：自主解答例題，并將自己的選擇在組中做個交流.

3分鐘后，小組交流結(jié)束，教師組織學(xué)生進行全班交流.

師：這里有幾個無理數(shù)呢？

生1：5個.

師：哪5個？

生1：是呀！

師：何以見得？

師：你們同意他的說法嗎？

生（齊）：不同意！

師：為什么呢？

師：說得非常好！遇到根號時，我們應(yīng)先對其化簡，如果能夠?qū)⒏柸サ簦敲丛瓟?shù)應(yīng)該是一個有理數(shù)；如果根號不能去掉，那結(jié)果就是無理數(shù)了！同學(xué)們，根據(jù)這樣的分析，-是無理數(shù)嗎？

生（齊）：是！

師：這道題中還有哪些數(shù)是無理數(shù)呢？

生3：π.

師：對！那么，含有π的數(shù)一定是無理數(shù)嗎？

生4：不一定！

師：你能舉個例子嗎？

生4：（π-1）0化簡結(jié)果為1，是個有理數(shù).

師：很好！顯然，并不是所有含π的數(shù)都是無理數(shù)，還是要看我們化簡的結(jié)果，如果化簡的結(jié)果中仍然還有π，那就是無理數(shù)了.到底是不是無理數(shù)呢？

生5：是的！

師：為什么？

生5：它是無限不循環(huán)小數(shù).

師：真是無限不循環(huán)小數(shù)嗎？

生5：真的！我都除到小數(shù)點后面5位了，還沒發(fā)現(xiàn)循環(huán)節(jié).

師：看來，你還是不夠執(zhí)著.再多除幾步，會有收獲的！

師：很好！最后一個數(shù)是無理數(shù)嗎？

（學(xué)生普遍有點兒猶豫，私下里交流著什么）

師：你們在想什么呢？

生7：這個數(shù)和前面的有規(guī)律的無理數(shù)差不多，它也是在兩個1之間逐次添加了一個零，我感覺是無理數(shù).

（部分學(xué)生附和著）

師：它真是無理數(shù)嗎？我們一起來回顧一下無理數(shù)的概念“無限不循環(huán)小數(shù)又叫無理數(shù)”.很顯然，無理數(shù)首先應(yīng)該是個無限小數(shù)，0.1010010001是無限小數(shù)嗎？

生（恍然大悟，齊答）：不是！

師：那么它還是無理數(shù)嗎？

生（齊）：不是！

師：怎么改，就可以變成無理數(shù)了？

生8：在后面添上省略號.

生9：最好將規(guī)律也交代一下.

師：好的！你們考慮得很周全.現(xiàn)在看來，這道題中到底有幾個無理數(shù)呢？

師：通過剛才的分析和交流，你有什么啟示？

生11：對于含有根號的數(shù)，要先試著化簡，看結(jié)果的形式再去歸類.

生12：π是無理數(shù)，但含有π的數(shù)不一定就是無理數(shù).

生13：找分?jǐn)?shù)的循環(huán)節(jié)要執(zhí)著，不能半途而廢，難找未必就沒有，我記得小學(xué)時找過的循環(huán)節(jié)，比還要難找，但當(dāng)時我們都找到了.

生14：要辨別一個數(shù)是不是無理數(shù)，首先看這個數(shù)是有限小數(shù)還是無限小數(shù)，在無限小數(shù)的前提下，再去確定是循環(huán)還是不循環(huán).

生15：找尋無理數(shù)，不能只看形式，要關(guān)注“無限不循環(huán)”這一實質(zhì).

師：你們說得太棒了！概念學(xué)習(xí)中，我們要更多地關(guān)注概念的本質(zhì)，而不是附著于概念之上的外在的形式，希望這能給你們今后學(xué)習(xí)其他概念帶來啟示.

四、教學(xué)反思

1.概念教學(xué)要重實質(zhì)、輕形式

概念教學(xué)，是數(shù)學(xué)教學(xué)的主要內(nèi)容.在學(xué)生抽象、歸納概念的過程中，我們應(yīng)突出對概念實質(zhì)的教學(xué)，淡化概念外在形式的教學(xué).通過概念教學(xué)，要讓學(xué)生真正掌握概念及其應(yīng)用的“內(nèi)核”，去除一些外在的表面形式的干擾，避免出現(xiàn)“以貌取人”形成解題失誤的現(xiàn)象.在本文所給的案例中，學(xué)生正是由于“很好地”掌握了無理數(shù)的外在形式，在對“含有根號的數(shù)”“含有π的數(shù)”“有規(guī)律的小數(shù)”這些類別的數(shù)進行歸類時，出現(xiàn)了大量的錯誤.這一現(xiàn)象的形成，無疑與學(xué)生獲得概念時形成的思維定勢有很大的關(guān)系，他們關(guān)注了概念的外形，而忽略了概念的實質(zhì)，對無理數(shù)概念中的“無限不循環(huán)小數(shù)”這一實質(zhì)理解不清、把握不到位，從而“以貌取人”，出現(xiàn)失誤.所以我們在今后的概念教學(xué)中，一定要重視對概念內(nèi)涵的清晰解讀，讓學(xué)生能夠明明白白知曉概念的應(yīng)用價值所在.

2.設(shè)計例題要靠主線、易拓展

例題是概念辨析的主要工具，它承載著幫助學(xué)生理清概念的“內(nèi)核”、形成應(yīng)用概念能力的重要任務(wù).因此，我們設(shè)計的例題應(yīng)該緊靠教學(xué)主線，是對教學(xué)主線深度解讀下的知識、技能、數(shù)學(xué)思想和活動經(jīng)驗綜合整合以后形成的教學(xué)工具.用于概念辨析的例題，是學(xué)生固化概念過程中的幫手，它理應(yīng)服務(wù)于學(xué)生鞏固概念和應(yīng)用概念.所以我們設(shè)計的例題除了不偏離教學(xué)主線，還應(yīng)利于知識技能的應(yīng)用和拓展.說白了，就是要有一定的綜合性.本文中這道例題，看似簡單，實則蘊含了學(xué)生可能出現(xiàn)的諸多錯誤，這得益于教者課前對學(xué)情的細(xì)致分析.通過精心設(shè)計，教師將學(xué)生在無理數(shù)識別中出現(xiàn)的所有失誤直接呈現(xiàn)在題目之中，為教學(xué)實施埋下了伏筆.如針對學(xué)生錯誤認(rèn)為“含有根號的數(shù)都是無理數(shù)”這一現(xiàn)象，教者直接將反例安排在其中；針對“有規(guī)律變化的小數(shù)都是無理數(shù)”這一錯誤結(jié)論，教者將0.1010010001這一有理數(shù)也插到數(shù)組之中.如此編排設(shè)計，給教者的教和學(xué)生的學(xué)留下了很大的空間，豐富的教學(xué)對話如約而至，推動著學(xué)生的認(rèn)知進一步前進！

3.辨析概念要找時點、抓機遇

概念辨析是概念教學(xué)的一個重要環(huán)節(jié)，但它并不是概念教學(xué)的起始環(huán)節(jié)，一般處在學(xué)生獲得概念之后.在這一教學(xué)節(jié)點上，我們一般會設(shè)計一定量的練習(xí)，通過解答與交流，幫助學(xué)生深刻理解概念的內(nèi)涵和外延.初步的應(yīng)用，讓學(xué)生加深對概念的認(rèn)識，但也給學(xué)生的理解與應(yīng)用帶來了很多新的“陷阱”.所以概念辨析一般安排在學(xué)生獲得概念并嘗試應(yīng)用概念后的一段時間內(nèi).究竟安排在哪個教學(xué)時點上，取決于教學(xué)內(nèi)容、學(xué)生學(xué)習(xí)狀況及教師把握教學(xué)契機的能力.當(dāng)教學(xué)內(nèi)容較難時，我們應(yīng)找回點安排概念辨析，并且安排多次辨析；當(dāng)教學(xué)內(nèi)容比較容易時，我們可以在學(xué)生即將遺忘時安排辨析，此時的喚醒將會有利于學(xué)生深入理解概念.在這么多影響因素中，學(xué)生的學(xué)習(xí)狀況是確定概念辨析時點最主要的因素.學(xué)生學(xué)得好，對概念的本質(zhì)把握的非常清楚，我們的辨析就可以少一些，簡單一些；學(xué)生掌握的不好，那么我們的辨析就可以多一些，綜合一些.總之，概念辨析的時點需要教師去把握，應(yīng)由教師根據(jù)教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)現(xiàn)狀進行合理設(shè)定.一般地，概念辨析的時點應(yīng)該安排在學(xué)生認(rèn)知的拐點處.在這一學(xué)生應(yīng)用概念時易于混淆的節(jié)點上，“呈現(xiàn)有效的例題，通過師生互動教學(xué)活動實現(xiàn)概念辨析的價值最大化”應(yīng)該成為一線教師的追求.

參考文獻：

1.中華人民共和國教育部制定.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

2.王曉峰.經(jīng)歷過程感悟思想學(xué)會思考——基于數(shù)學(xué)思考的“有理數(shù)與無理數(shù)”的再設(shè)計［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2014（9）.