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    蘊含在一元一次方程中的數(shù)學(xué)思想

    2016-02-08 07:54:15
    初中生天地 2016年31期
    關(guān)鍵詞:移項同類項優(yōu)惠

    蘊含在一元一次方程中的數(shù)學(xué)思想

    □沈立新

    數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)的靈魂,任何數(shù)學(xué)問題的解決都離不開數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用.在解與一元一次方程相關(guān)的問題時,若能適當(dāng)?shù)剡\用各種數(shù)學(xué)思想方法,往往可以使繁瑣、復(fù)雜的題目變得簡單、明了.本文將一元一次方程中比較重要的數(shù)學(xué)思想結(jié)合例題歸納總結(jié)如下,供同學(xué)們學(xué)習(xí).

    一、方程思想

    例1已知3xy2a-1與-9xya+3是同類項,求2a2-a+1的值.

    分析:由同類項的概念可知,它們所含的字母相同,相同字母的指數(shù)分別相同,可建立一元一次方程求解.

    解:由同類項的概念,可得2a-1=a+3,解得a=4,所以2a2-a+1=29.

    點評:方程思想就是把所研究問題中的已知量和未知量之間的數(shù)量

    例2解方程

    分析:仔細觀察發(fā)現(xiàn)方程兩邊均含有(x+1)、(x-1),可以將(x+1)與(x-1)看作整體,先進行移項,再整體合并,可使求解過程簡捷.

    解:移項,得關(guān)系,轉(zhuǎn)化為方程或方程組等數(shù)學(xué)模型,從而使問題得到解決的思想方法.如一元一次方程與相反數(shù)、倒數(shù)、同類項、絕對值等概念的相關(guān)應(yīng)用是方程思想的具體體現(xiàn).

    二、整體思想

    去分母,得3(x+1)=2(x-1).

    去括號、移項、合并同類項,得x=-5.

    點評:在解一元一次方程時,經(jīng)常遇到要去括號或去分母的情況,這時我們通常運用整體思想將括號里面的式子或分子看成一個整體,或?qū)⒎匠讨械哪骋徊糠忠暈檎w求解,會使解方程的過程更簡捷.

    三、化歸思想

    例3在有理數(shù)范圍內(nèi)定義新運算“*”,其規(guī)則為a*b=-b,試求方程x*2x=1的解.

    分析:解決本題的關(guān)鍵是把新運算“*”轉(zhuǎn)化為我們熟悉的常規(guī)運算.根據(jù)所給規(guī)則,可以得到x*2x=-2x,所以方程x*2x=1可以轉(zhuǎn)化為- 2x=1.

    解:根據(jù)定義的規(guī)則,得x*2x=-2x,則原方程變成-2x=1.

    去分母,得x-4x=2.

    合并同類項,得-3x=2.

    點評:化歸就是把待解決或難解決的問題,通過某種轉(zhuǎn)化歸結(jié)為已解決或易解決的問題,最終求得原問題的解決方法.解形式比較復(fù)雜的方程,要把它逐步化歸為最簡方程ax=b(a≠0),從而求出方程的解,這種化歸轉(zhuǎn)化思想需要同學(xué)們很好地體會和把握.

    四、分類討論思想

    例4某超市在春節(jié)期間對顧客實行優(yōu)惠,規(guī)定如下:

    一次性購物少于200元低于500元但不低于200元500元或超過500元優(yōu)惠辦法不予優(yōu)惠九折優(yōu)惠其中500元部分給予九折優(yōu)惠,超過500元部分給予八折優(yōu)惠

    (1)王老師一次性購物600元,他實際付款元.

    (2)若顧客在該超市一次性購物x元,當(dāng)x小于500元但不小于200時,他實際付款元,當(dāng)x大于或等于500元時,他實際付款元.(用含x的代數(shù)式表示)

    (3)如果王老師兩次購物合計820元,實際付款共728元,且第一次購物的貨款少于第二次購物的貨款,求兩次購物各多少元?

    分析:(1)一次性購物600元時,其實際付款為500×0.9+0.8×(600-500)=530(元).(2)根據(jù)題意,當(dāng)200≤x<500時,九折優(yōu)惠,實際付款0.9x元;當(dāng)x≥500時,實際付款為500×0.9+0.8(x-500)=(0.8x+50)元.(3)需分三種情況列方程分別求解:第一次少于200元,第二次多于500元;第一次在200~500元之間,第二次超過500元;兩次都在200~500元之間.

    解:(1)530;

    (2)0.9x,(0.8x+50);

    (3)設(shè)第一次購物x元,則第二次購物(820-x)元.

    第一種情形:第一次購物少于200元,第二次購物多于500元,則x+0.8(820-x-500)+500×0.9=728,解得x=110,820-110=710(元);

    第二種情形:第一次購物在200~500元之間,第二次購物超過500元,則0.9x+0.8(820-x-500)+500×0.9=728,解得x=220,820-220=600(元);

    第三種情形:兩次購物都在200~500元之間,則0.9x+0.9(820-x)=728,此方程無解.

    綜上所述,兩次購物分別為110元、710元或220元、600元.

    點評:分段計費問題和購物打折付款問題是中考的熱點題型,主要包括水費、電費、出租車費、納稅、保險等的分段計費問題和購物打折付款問題,運用一元一次方程解決這些問題時常常需要運用分類思想.

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