時變有界變采樣網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的保性能控制

李 媛， 張國山， 孫琨秋

(1.天津大學(xué) 電氣與自動化工程學(xué)院， 天津 300072； 2.沈陽工業(yè)大學(xué) 理學(xué)院， 遼寧 沈陽 110870)

?

時變有界變采樣網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的保性能控制

李 媛1，2， 張國山1， 孫琨秋2

(1.天津大學(xué) 電氣與自動化工程學(xué)院， 天津 300072； 2.沈陽工業(yè)大學(xué) 理學(xué)院， 遼寧 沈陽 110870)

考慮采樣周期和時延是時變不確定的，研究網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的保性能控制問題.首先將其建模成離散系統(tǒng)，將周期和時延的不確定性利用泰勒公式轉(zhuǎn)化成系統(tǒng)矩陣的不確定性，并將系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為動態(tài)區(qū)間系統(tǒng)，通過求解線性矩陣不等式的最優(yōu)解設(shè)計最優(yōu)保性能控制器.由于該方法同時考慮了周期和時延的變化，因此設(shè)計的控制器更符合實際，仿真結(jié)果表明該方法簡單有效.

網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)(NCSs)； 變采樣周期； 區(qū)間系統(tǒng)； 保性能控制

網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)(networked control system，NCSs)是一種網(wǎng)絡(luò)化、分布式的控制系統(tǒng)，是通過網(wǎng)絡(luò)構(gòu)成閉環(huán)的反饋控制系統(tǒng)，又稱為基于網(wǎng)絡(luò)的控制系統(tǒng)、網(wǎng)絡(luò)化控制系統(tǒng)[1-3].與傳統(tǒng)的點對點控制系統(tǒng)相比，NCSs具有很多優(yōu)點，被廣泛用于設(shè)備制造、生產(chǎn)過程、交通通訊、航空航天等控制領(lǐng)域.但是NCSs利用網(wǎng)絡(luò)給控制系統(tǒng)帶來各種優(yōu)點的同時，它本身也存在一些問題，比如數(shù)據(jù)傳輸時延、數(shù)據(jù)包的丟失、采樣周期的變化、單包傳輸、多包傳輸、噪聲污染等，這些問題使控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性降低，因此需要對NCSs進行深入研究.近年來，關(guān)于NCSs得到許多研究成果，例如系統(tǒng)的模型建立與穩(wěn)定性分析[4-6]、魯棒與H∞控制分析[7-9]、最優(yōu)保性能控制[10-12]，以及相關(guān)系統(tǒng)的控制器設(shè)計問題[13-15]等.

在NCSs的研究過程中，通常假設(shè)傳感器是定長采樣周期，然而在實際的NCSs中，由于負載變化、網(wǎng)絡(luò)影響、器件故障及外部干擾等因素，往往會導(dǎo)致采樣周期發(fā)生抖動，在某個標(biāo)稱值上下波動，從而產(chǎn)生采樣周期的不確定，因此系統(tǒng)可以描述為區(qū)間控制系統(tǒng)[16].文獻[4]是將時變采樣周期NCSs的閉環(huán)反饋系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為動態(tài)區(qū)間系統(tǒng)，并對其進行了穩(wěn)定性研究.文獻[16]研究了連續(xù)區(qū)間系統(tǒng)的魯棒H∞控制，利用Riccati方程獲得狀態(tài)反饋控制器.文獻[17]分別就離散型和連續(xù)型兩類區(qū)間系統(tǒng)的魯棒控制問題做出了詳盡的研究.文獻[18]討論了區(qū)間系統(tǒng)的魯棒H∞穩(wěn)定性.文獻[19]研究了一類不確定系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性問題，并將其結(jié)果推廣到區(qū)間系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性分析中，得到了區(qū)間系統(tǒng)魯棒穩(wěn)定的新判據(jù).文獻[20]研究了一類不確定時延NCSs，將系統(tǒng)化為變采樣NCSs，通過動態(tài)輸出反饋研究系統(tǒng)的建模和保性能控制.文獻[10]雖然研究了NCSs的魯棒保性能控制，但是采樣周期是定長.文獻[21]研究了一類具有采樣抖動和數(shù)據(jù)包丟失NCSs的魯棒H∞控制方法，將閉環(huán)系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為具有不確定性的離散線性切換系統(tǒng)，但并沒有對NCSs的保性能控制進行研究.在信道帶寬有限和共享CPU資源的情況下，為了充分利用資源，當(dāng)采樣周期在某一有界范圍內(nèi)發(fā)生變化時，研究NCSs的建模和控制器設(shè)計等問題，具有一定的理論和現(xiàn)實意義.

本文研究NCSs的最優(yōu)保性能控制器的設(shè)計問題，其中采樣周期和時延都是時變有界的.首先利用泰勒公式，將采樣周期的波動和時延的不確定性轉(zhuǎn)化為系統(tǒng)的不確定性，根據(jù)其不確定范圍將其建立成動態(tài)區(qū)間系統(tǒng).在此基礎(chǔ)上，結(jié)合線性矩陣不等式方法，設(shè)計了系統(tǒng)的最優(yōu)保性能控制器，并給出最優(yōu)保性能指標(biāo)上界.最后通過實例仿真驗證了該方法的有效性.

1 系統(tǒng)模型的建立與分析

1.1 系統(tǒng)分析

考慮如圖1所示的網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)，線性時不變被控對象為：

(1)

其中x(t)∈Rn，u(t)∈Rr,y(t)∈Rm,x(t)為被控對象的狀態(tài)，u(t)為被控對象的控制輸入，y(t)為被控對象的測量輸出，A、B、C為相應(yīng)的適當(dāng)維數(shù)的常矩陣.

圖1 網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)模型

Fig.1 The structure of networked control systems

為了便于分析，對系統(tǒng)做出如下假設(shè)：

(1) 假設(shè)傳感器采用時鐘驅(qū)動，控制器和執(zhí)行器采用事件驅(qū)動，采樣時刻為tk,k∈N.設(shè)hk為連續(xù)兩次采樣時間的間隔，hk=tk+1-tk；

(3) 采樣周期hk和τk是時變不確定的，但是都有界，hk=h0+Δh，τk≤hk，其中h0為系統(tǒng)的定采樣周期，因此Δh也有界，而且|Δh|足夠小，使得傳感器能夠正常運行.

由于執(zhí)行器端有零階保持器，系統(tǒng)的被控對象的輸入即控制器輸出的控制值是分段的，即

考慮時延的影響，按照采樣周期hk對被控對象進行離散化，得到離散化模型為

(2)

Ad=eAhk=eAh0+(eAhk-eAh0)=

eAh0+(eA(h0+Δh)-eAh0)=

eAh0+eAh0(eAΔh-I)

因為|Δh|足夠小，由泰勒公式得eAΔh=AΔh+I，進而得到

Ad=eAh0+eAh0(AΔh+I-I)=

eAh0+eAh0AΔh=A0+A0ΔhA=

A0+ΔA

其中ΔA=A0ΔhA.

B0+ΔB

最終整理得到

ΔB)u(k-1)+(B0+ΔB)u(k)

(3)

為便于研究，設(shè)z(k)=[x(k) u(k-1)]T，式(3)可改寫為

進一步離散化模型可簡化為

z(k+1)=Hz(k)+Γu(k)

(4)

其中

1.2 區(qū)間系統(tǒng)建模

假設(shè)矩陣

[hij](n+r)×(n+r)

其中

則Hm≤H≤HM,Γm≤?！堞.

定義

其中ei為(n+r)維單位矩陣的第i個列向量，vi為r維單位矩陣的第i個列向量，并且設(shè)

Σ1=diag(ε11,…ε1(n+r),ε21,…ε2(n+r),

…ε(n+r)1,…ε(n+r)(n+r)),

|εij|≤1, 1≤i,j≤n+r

Σ2=diag(ε11,…ε1r,ε21,…ε2r,…ε(n+r)1,

…,ε(n+r)r),

|εij|≤1,1≤i≤n+r, 1≤j≤r

因此區(qū)間矩陣可改述為

H=H0+E1Σ1F1,

Γ=Γ0+E2Σ2F2

最終系統(tǒng)模型可化為

z(k+1)=(H0+E1Σ1F1)z(k)+

(Γ0+E2Σ2F2)u(k)

(5)

2 最優(yōu)保性能控制器設(shè)計

2.1 相關(guān)知識介紹

對于系統(tǒng)(4)(公式(4)，以下同)，定義一個性能指標(biāo)

(6)

其中Q、R為已知的對稱正定加權(quán)矩陣.

定義1[22]對系統(tǒng)(4)和性能指標(biāo)(6)，若存在一個矩陣K和一個正定對稱矩陣P，使得對區(qū)間矩陣H、Γ滿足

zT(k)[(H-ΓK)TP(H-ΓK)]z(k)-

zT(k)Pz(k)+zT(k)(Q+

KTRK)z(k)<0

(7)

則控制器u(k)=-Kz(k)稱為系統(tǒng)的一個具有性能矩陣P的二次保性能控制器.

引理1[22]設(shè)A是任一方陣，則存在矩陣P>0，使得ATPA-P+T<0，當(dāng)且僅當(dāng)存在對稱矩陣X>0，使得

引理2[22]給定適當(dāng)維數(shù)的矩陣Y、D、E，其中Y是對稱的，則

Y+DFE+ETFTDT<0

對所有滿足FTF≤I的F成立，當(dāng)且僅當(dāng)存在一個常數(shù)ε>0，使得

Y+εDDT+ε-1ETE<0

2.2 保性能控制器設(shè)計

定理1 對于系統(tǒng)(4)，若存在二次保性能控制器u(k)=-Kz(k)，則對所有的不確定性，閉環(huán)系統(tǒng)

z(k+1)=(H-ΓK)z(k)

(8)

證明： 如果u(k)=-Kz(k)是系統(tǒng)(4)的一個具有性能矩陣P的二次保性能控制器，定義Lyapunov函數(shù)V(k)=zT(k)Pz(k)，則根據(jù)定義1知，沿閉環(huán)系統(tǒng)(8)的任意軌線，對區(qū)間矩陣H、Γ，可以得到

ΔV(k)=V(k+1)-V(k)=

[(H-ΓK)z(k)]TP[(H-ΓK)z(k)]-

z(k)TPz(k)<-zT(k)(Q+KTPK)z(k)<0

因此閉環(huán)系統(tǒng)是二次穩(wěn)定的.

再者，從上式可以得到

zT(k)(Q+KTRK)z(k)=zT(k)Qz(k)+

u(k)TRu(k)<-ΔV(k)

在上式的兩邊從k=0到k=∞求和，利用閉環(huán)系統(tǒng)的二次穩(wěn)定性，可以得到

接下來將給出系統(tǒng)(4)的保性能控制器設(shè)計方法.

(9)

s.t

證明：由定義1知，若系統(tǒng)存在一個保性能控制器u(k)=-Kz(k)，式(7)就成立，則對于所有非零z(k)和所有的不確定性，下式成立

[(H-ΓK)TP(H-ΓK)]-

P+(Q+KTRK)<0

進而可以改寫為

成立.由引理2可得，上述不等式成立當(dāng)且僅當(dāng)存在一個常數(shù)ε>0，使得

把對稱矩陣W代入，可得

應(yīng)用Schur補性質(zhì)，上式可以寫成

在上式中如果取Y=KX，則得到優(yōu)化問題(9)中的約束條件(i).再應(yīng)用Schur補性質(zhì)，優(yōu)化問題(9)中的約束條件(ii)等價于S-X-1>0，即S>X-1>0.Trace(S)能夠保證Trace(X)的最小化，而且優(yōu)化問題(9)是一個凸優(yōu)化的問題，能夠達到全局的最小值.

優(yōu)化問題(9)以及相應(yīng)的約束條件所涉及的線性矩陣不等式都可以通過Matlab軟件中LMI工具箱中的求解器進行求解，計算起來方便快捷.

3 數(shù)值仿真

被控對象的模型如下：

利用文中給出的控制器的設(shè)計方法進行求解.hk和τk的有界區(qū)間為：

hk∈[0.45,0.55],τk∈[0,0.05],

Δh∈[-0.05,0.05]

通過求解可以得到區(qū)間矩陣如下：

性能指標(biāo)加權(quán)矩陣取為Q=I,R=1.利用Matlab的LMI工具箱中的目標(biāo)函數(shù)最小化工具mincx，得到最優(yōu)解分別為：

ε=0.437 4

進而得到最優(yōu)保性能控制器為：

-[0.749 8 1.831 5 0.024 5]z(k)

圖2 有界采樣周期序列

Fig.2 Bounded sampling period sequence

圖3 有界時延序列

Fig.3 Bounded time delay sequence

在上述所得控制器的作用下，當(dāng)被控對象的初始狀態(tài)為x(0)=[2;1]，能夠得到閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)響應(yīng)曲線,如圖4所示，顯然閉環(huán)系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的.

圖4 狀態(tài)響應(yīng)和輸出曲線

Fig.4 State response and output curves of the closed-loop systems

4 結(jié) 論

針對變采樣周期和時延時變有界的網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)，利用泰勒公式和區(qū)間系統(tǒng)理論，將其建立成動態(tài)區(qū)間系統(tǒng)，利用線性矩陣不等式的方法設(shè)計保性能控制器.在設(shè)計過程中，利用Matlab軟件中LMI工具箱對線性矩陣不等式求解，方法簡便.最后通過實例仿真表明該方法的有效性.為尋求控制系統(tǒng)能夠更加穩(wěn)定，系統(tǒng)中存在的數(shù)據(jù)丟包和外部擾動等現(xiàn)象，應(yīng)得到更多的密切關(guān)注.

[1] 孫陽.網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析及其保性能控制[D].沈陽：東北大學(xué)，2013:1-3.

[2] 陳惠英.資源受限網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)控制與調(diào)度方法研究[D].杭州：浙江工業(yè)大學(xué)，2008:1-5.

[3] 陳惠英，李祖欣，王培良.具有時變采樣周期和時延的NCS的H∞控制[C]//中國自動化學(xué)會控制理論專業(yè)委員會B卷，煙臺：中國自動化學(xué)會控制理論專業(yè)委員會，2011:4521-4526.

[4] LIU F C，YAO Y，HE F H，et al.Stability Analysis of Networked Control Systems with Time-varying Sampling Periods[J].Journal Control Theory Application，2008，6(1):22-25.

[5] XIE G M，WANG L.Stabilization of Networked Control Systems with Time-varying Network-induced Delay[J].IEEE Conference on Decision and Control，2004，4(43):3551-3557.

[6] 徐君群，張建雄，龐明寶.2 個時滯復(fù)雜動態(tài)網(wǎng)絡(luò)的廣義同步[J].天津大學(xué)學(xué)報，2014，47(1)：81-85.

[7] 王玉龍，楊光紅.具有時變采樣周期的網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的H∞控制[J].信息與控制，2007，36(3)：278-284.

[8] 李艷輝，張瑩.變采樣周期和數(shù)據(jù)包隨機丟失的NCS魯棒H∞控制[J].計算機技術(shù)與自動化，2013，32(3)：1-5.

[9] QIAN P，WANG W H，LI X Q，et al.H∞Robust Control for Networked Control System with Short Time-delay[J].Applied Mechanics and Materials，2014，556/562:5501-5505.

[10]張喜民，李建東，張建國.網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的魯棒保性能控制[J].西安電子科技大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版)，2008，35(1)：96-100.

[11]陳惠英，李祖欣，王培良.變采樣網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的最優(yōu)保性能控制[J].信息與控制，2011，40(5)：646-651，657.

[12]樊金榮.變采樣周期網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的最優(yōu)保性能控制[J].武漢大學(xué)學(xué)報(工學(xué)版)，2011，44(6)：806-811.

[13]江兵，張崇巍.一類不確定時延的NCS的保性能控制律設(shè)計[J].系統(tǒng)工程與電子技術(shù)，2010，32(3)：645-649.

[14]樊金榮.時變采樣網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的容錯控制器設(shè)計[J].中南民族大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版)，2011，30(3)：80-84.

[15]DENG J Q，CUI H.Research on State Feedback Controller of the Networked Control System with Long Delay[J].Applied Mechanics and Materials，2014，536/537：1183-1186.

[16]吳方向，史忠科，戴冠中.區(qū)間系統(tǒng)的魯棒H∞控制[J].自動化學(xué)報，1999，25(5)：703-708.

[17]申濤，諸靜.區(qū)間系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性分析[J].電路與系統(tǒng)學(xué)報，2005，10(2)：79-82.

[18]SEZER M E，SILJAK D D.On Stability of Interval Matrices[J].IEEE Trans on Automatic Control，1994，39(2):368-371.

[19]申濤，王孝紅，袁鑄鋼.一類不確定系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性分析[J].自動化學(xué)報，2007，33(4)：426-427.

[20]薛燕，劉克.變采樣網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的最優(yōu)保性能控制[J].計算機工程與設(shè)計，2009，30(2)：294-297.

[21]HUA C C，YU S C，GUAN X P.A RobustH∞Control Approach for a Class of Networked Control Systems with Sampling Jitter and Packet-dropout[J].International Journal of Control，Automation and Systems，2014，12(4):759-768.

[22]俞立.魯棒控制：線性矩陣不等式處理方法[M].北京：清華大學(xué)出版社，2002:214-267.

Guaranteed Cost Control for NCSs with Time-varying Bounded Sampling

LI Yuan1，2， ZHANG Guo-shan1， SUN Kun-qiu2

(1.Tianjin University， Tianjin 300072， China；2.Shenyang University of Technology， Shenyang 110870， China)

Considered sampling period and time delay was time-varying and bounded，networked control systems with the guaranteed cost control problem was studied.Firstly，it was modeled as a class of discrete systems.Next，the system was transformed into a time-varying dynamic interval system with Taylor formula，where the uncertainties of time-varying sampling period and time delay were treated as the uncertainties of the system matrices.Then，the design of the optimal guaranteed cost controller was proposed in terms of linear matrix inequalities.Both the change of period and time delay are considered in this method，so the proposed controller is more in line with the reality，and the simulation results show that the method is simple and effective.

networked control systems(NCSs); time-varying sampling period; interval systems; guaranteed cost control

2016-05-20

遼寧省博士啟動基金項目(20141069)

李媛(1974-)，女，山東龍口人，副教授，博士，主要從事網(wǎng)絡(luò)控制的研究.

2095-2198(2016)04-0378-07

10.3969/j.issn.2095-2198.2016.04.018

TP273

A