基于滑?？刂频姆?jǐn)?shù)階超混沌系統(tǒng)投影同步

顏閩秀， 羅鐵軍

(沈陽化工大學(xué) 信息工程學(xué)院， 遼寧 沈陽 110142)

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基于滑?？刂频姆?jǐn)?shù)階超混沌系統(tǒng)投影同步

顏閩秀， 羅鐵軍

(沈陽化工大學(xué) 信息工程學(xué)院， 遼寧 沈陽 110142)

研究了一類分?jǐn)?shù)階超混沌系統(tǒng)的投影同步問題.利用分?jǐn)?shù)階性質(zhì)及分?jǐn)?shù)階穩(wěn)定理論，設(shè)計(jì)滑?？刂破?，實(shí)現(xiàn)分?jǐn)?shù)階超混沌系統(tǒng)的投影同步.并利用Lyapunov穩(wěn)定理論證明誤差系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定，數(shù)值仿真結(jié)果驗(yàn)證了控制器的有效性.

分?jǐn)?shù)階； 超混沌系統(tǒng)； 投影同步； 滑?？刂?/p>

分?jǐn)?shù)階微積分有著悠久的發(fā)展歷史，由于一直沒有找到應(yīng)用背景而未得到廣泛的關(guān)注.近幾十年來，學(xué)者研究發(fā)現(xiàn)許多物理過程中出現(xiàn)分?jǐn)?shù)階動力學(xué)行為[1]，分?jǐn)?shù)階微積分的研究得到重視.自1990年P(guān)ecora和Carroll提出了混沌同步的定義并在電路中應(yīng)用以來，混沌系統(tǒng)及其同步研究一直是熱點(diǎn).迄今為止，學(xué)者們提出多種同步方案，如完全同步[2]、反同步[3]、投影同步[4]、相同步[5]、廣義同步[6]等.同時，多種實(shí)現(xiàn)混沌同步的方法相繼提出，如觀測器同步法[7]，主動控制法[8]，自適應(yīng)同步法[9]，滑模變結(jié)構(gòu)同步法[10]等.其中，滑模變結(jié)構(gòu)控制方法因其具有較強(qiáng)的抗干擾能力和魯棒性，得到人們廣泛的關(guān)注.超混沌系統(tǒng)通常被定義為具有多個正的Lyapunov指數(shù)的混沌系統(tǒng)[11-12].與低維混沌系統(tǒng)相比，由于其具有更復(fù)雜的動力學(xué)行為，更適合應(yīng)用在安全通信[13].迄今為止，關(guān)于超混沌系統(tǒng)的研究較少，特別是關(guān)于分?jǐn)?shù)階超混沌系統(tǒng)的同步更是各國學(xué)者研究的一個熱點(diǎn)課題[14-15].

本文針對一類分?jǐn)?shù)階超混沌系統(tǒng)的同步問題，設(shè)計(jì)滑?？刂破?，實(shí)現(xiàn)分?jǐn)?shù)階超混沌系統(tǒng)的投影同步.最后利用Lyapunov穩(wěn)定性理論和數(shù)值算例證明該控制器的有效性.

1 分?jǐn)?shù)階微積分概述

1.1 分?jǐn)?shù)階微積分的定義

分?jǐn)?shù)階微積分在現(xiàn)代科學(xué)中起著重要作用，它能準(zhǔn)確描述實(shí)際的物理模型.有關(guān)分?jǐn)?shù)階微分的定義很多，常用為[6]：

(1)

其中:m=[α]，即m是第一個不小于α的整數(shù)；xm是通常意義上的m階導(dǎo)數(shù)；Jβ(β>0)是β階Reimann-Liouville積分算子.具體形式如下：

(2)

其中Γ代表Gamma函數(shù).

1.2 分?jǐn)?shù)階微積分的一些性質(zhì)

分?jǐn)?shù)階微積分的性質(zhì)如下[1-3]：

性質(zhì)1： 相加指數(shù)法則.

(3)

性質(zhì)2： Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)算子是線性算子.

(λ、μ是實(shí)常數(shù))

(4)

性質(zhì)3： Caputo分?jǐn)?shù)非線性系統(tǒng)，f(x(t))中x滿足Lipschitz條件，即：

‖f(x1(t))-f(x2(t))‖≤

l‖x1(t)-x2(t)‖

(5)

其中l(wèi)是正數(shù)，不失一般性，當(dāng)x=0時有下式成立：

‖f(x1(t))‖≤l‖x1(t)‖,即

(6)

2 滑?？刂破髟O(shè)計(jì)

考慮如下n維超混沌系統(tǒng)的驅(qū)動系統(tǒng)：

Dαx=Ax+f(x)

(7)

其中:0<α<1；x∈Rn為系統(tǒng)狀態(tài)變量；A∈Rn×n為系統(tǒng)的線性部分；f(x)∈Rn為系統(tǒng)的非線性部分.

定義響應(yīng)系統(tǒng)：

Dαy=By+g(y)+u

(8)

其中:0<α<1；y∈Rn為系統(tǒng)狀態(tài)變量；B∈Rn×n為系統(tǒng)的線性部分；g(y)∈Rn為系統(tǒng)的非線性部分；u∈Rn為控制器.

定義誤差系統(tǒng)：

e=y-lx

(9)

將(7)式、(8)式代入(9)式，可得誤差系統(tǒng)：

Dαe=By-lAx+g(y)-lf(x)+u

(10)

利用加在響應(yīng)系統(tǒng)上的控制器，實(shí)現(xiàn)驅(qū)動系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)的同步，即：

(11)

根據(jù)滑?？刂频乃枷耄梢栽O(shè)計(jì)滑模面：

S=Dα-1e

(12)

其中:S=(S1,S2,…,Sn)T；e=(e1,e2,…,en)T.

當(dāng)系統(tǒng)在滑模面上運(yùn)動時，誤差系統(tǒng)滿足[17-18]：

(13)

u=-(g(y)-lf(x))-(B-A)y+kξ-msign(S)

(14)

定理： 對于同步誤差系統(tǒng)(10)，在控制器u的作用下，能夠?qū)崿F(xiàn)超混沌系統(tǒng)的投影同步.

證明： 選取一個正定的函數(shù)：

(15)

則V(x)對時間t求導(dǎo)得

(16)

3 仿真算例

為了驗(yàn)證本文控制器的有效性，這里選取超混沌Chen系統(tǒng)為例進(jìn)行研究.

超混沌Chen系統(tǒng)的方程為：

(17)

其中:a=35,b=7,c=12,d=3,r=0.5.當(dāng)α=0.95時分?jǐn)?shù)階超混沌Chen系統(tǒng)的吸引子如圖1所示.

圖1 α=0.95時分?jǐn)?shù)階Chen超混沌吸引子

Fig.1 α=0.95Fractional-orderChenHyperchaoticattractor

驅(qū)動系統(tǒng)為：

(18)

其中:

響應(yīng)系統(tǒng)為：

(19)

其中:

同步誤差系統(tǒng)：

(20)

控制器：

msign(S)

(21)

在仿真中，驅(qū)動系統(tǒng)的初始值為(x1(0),x2(0),x3(0),x4(0))T=(2,0,1,-2)T,響應(yīng)系統(tǒng)的初始值為(y1(0),y2(0),y3(0),y4(0))T=(10，5，21，-2)T，l=1.05，m=0.01.仿真結(jié)果如圖2～圖3所示.圖2是在控制器作用下，同步誤差的狀態(tài)響應(yīng)曲線.顯然，在控制器的作用下同步誤差系統(tǒng)漸近趨于0.圖3是在本文設(shè)計(jì)的控制器作用下，驅(qū)動和響應(yīng)系統(tǒng)的狀態(tài)曲線.由圖3可看出，響應(yīng)系統(tǒng)能夠跟隨驅(qū)動系統(tǒng)，取得很好的同步效果.

圖2 系統(tǒng)誤差狀態(tài)曲線

Fig.2Systematicerrorstatecurve

圖3 系統(tǒng)同步狀態(tài)曲線

Fig.3Systemsynchronizationstatecurve

4 總 結(jié)

本文主要研究了分?jǐn)?shù)階超混沌系統(tǒng)的投影同步問題，根據(jù)分?jǐn)?shù)階性質(zhì)及分?jǐn)?shù)階穩(wěn)定理論和Lyapunov穩(wěn)定理論，設(shè)計(jì)了滑?？刂破鳎瑢?shí)現(xiàn)了分?jǐn)?shù)階超混沌系統(tǒng)的投影同步，并將該方法應(yīng)用于分?jǐn)?shù)階超混沌Chen系統(tǒng)，通過仿真算例驗(yàn)證了所提控制器的有效性.

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liding Mode Control for Projective Synchronization ofFractional-order Hyperchaotic Systems

YANMin-xiu,LUOTie-jun

(ShenyangUniversityofChemicalTechnology,Shenyang110142,China)

Projectivesynchronizationoffractional-orderhyperchaoticsystemsisstudiedhere.Accordingtothepropertiesandstabletheoremoffractionalequation,slidingmodecontrollerisdesignedtoachievetheprojectivesynchronizationoffractional-orderhyperchaoticsystems.Moreover,theglobalasymptoticstabilityoftheerrordynamicsisderivedintheLyapunovsense.Simulationstudieshaveshowntheproposedcontrollerscangetgoodcontroleffects.

fractional-order；hyperchaoticsystems；projectivesynchronization；slidingmodecontrol

2014-10-11

國家科技支撐計(jì)劃項(xiàng)目(2012BAF09B01)

顏閩秀(1972-)，女，福建仙游人，博士，副教授，主要從事變結(jié)構(gòu)控制、智能控制領(lǐng)域的研究.

2095-2198(2016)04-0351-05

10.3969/j.issn.2095-2198.2016.04.013

TP273.2

A