小波函數(shù)預(yù)測(cè)控制技術(shù)應(yīng)用

趙澤福

(昭通學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院， 云南 昭通　657000)

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小波函數(shù)預(yù)測(cè)控制技術(shù)應(yīng)用

趙澤福

(昭通學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院， 云南 昭通657000)

摘要：利用小波的緊支局部特性以及多尺度分析方法，在時(shí)域范圍內(nèi)設(shè)置基函數(shù)的個(gè)數(shù)及位置分布以保證整體性能及擬合的逼近。仿真驗(yàn)證了該方法的可行性。

關(guān)鍵詞：預(yù)測(cè)； 小波； 基函數(shù)

0引言

預(yù)測(cè)函數(shù)控制(PFC)是由Richalet與Kuntze提出的第三代模型預(yù)測(cè)控制算法，其快速的適應(yīng)性、高精度算法控制以及較少的計(jì)算量使其已經(jīng)廣泛應(yīng)用于機(jī)器人控制、雷達(dá)跟蹤、熱焓控制等領(lǐng)域[1]。近年來，PFC在工業(yè)領(lǐng)域得到了快速發(fā)展，其理論基礎(chǔ)也得到不斷完善，如PFC算法內(nèi)模結(jié)構(gòu)、一階加純滯后過程和二階模型預(yù)測(cè)函數(shù)控制、自適應(yīng)預(yù)測(cè)函數(shù)控制等。

針對(duì)不同的受控對(duì)象特性及其參考軌跡，在選擇基函數(shù)時(shí)可取階躍、斜坡、指數(shù),甚至三角函數(shù)等[2]。該類基函數(shù)計(jì)算簡(jiǎn)單、意義明確，但目標(biāo)函數(shù)均是全局函數(shù)，簡(jiǎn)化了優(yōu)化要求或者僅對(duì)一兩點(diǎn)進(jìn)行擬合，不能發(fā)揮其整體預(yù)測(cè)優(yōu)化能力，弱化了整體參考軌跡的預(yù)測(cè)逼近性能，降低了其抗干擾性和精確性。雖然基于傅里葉逼近思想的正弦多項(xiàng)式函數(shù)在控制性和適用性上得到了加強(qiáng)，但由于控制策略為滾動(dòng)優(yōu)化式，對(duì)于精確求解對(duì)象的當(dāng)量控制及未來控制是不必要的。通常情況，參考軌跡的逼近可以通過預(yù)測(cè)函數(shù)的時(shí)域減弱特性，利用集結(jié)方式將優(yōu)化變量用低維方式代替，這樣不僅能夠減少計(jì)算量，還可以提高計(jì)算速度，從而滿足實(shí)時(shí)要求。針對(duì)時(shí)域減弱特性的靈活便捷設(shè)置，三角正弦函數(shù)同樣也無法滿足要求。文中提出的基于小波函數(shù)的預(yù)測(cè)函數(shù)控制技術(shù)方法通過實(shí)際仿真得到了有效驗(yàn)證。

1小波函數(shù)理論基礎(chǔ)

小波理論是上世紀(jì)80年代應(yīng)用數(shù)學(xué)和工程領(lǐng)域的重要產(chǎn)物。預(yù)測(cè)函數(shù)控制的基函數(shù)選擇對(duì)于快速高精度控制極其重要，而小波的緊支局部特性以及多尺度分析特性彌補(bǔ)了全局函數(shù)的不足。與傳統(tǒng)方法相比，小波通過伸縮和平移使得在時(shí)域和頻域上具有很強(qiáng)的局部特性，根據(jù)需要可以將所研究的內(nèi)容聚焦到任意微小的細(xì)節(jié)。對(duì)于PFC，當(dāng)軌跡逼近要求較高精度時(shí)，可以選擇小尺度的小波基函數(shù)，當(dāng)對(duì)軌跡逼近精度要求低時(shí)，可以采用大尺度小波基函數(shù)。這樣既可滿足整體優(yōu)化的同時(shí)，又兼顧了參考軌跡逼近的精度，在減少基函數(shù)的同時(shí)，也減少了權(quán)系數(shù)優(yōu)化數(shù)量，完成了優(yōu)化變量集結(jié)?；诖耍闹袑⑿〔ê瘮?shù)作為基函數(shù)應(yīng)用于預(yù)測(cè)函數(shù)控制,利用加權(quán)最小二乘法計(jì)算權(quán)系數(shù)[3]。

設(shè)φ(t)∈L2(R)，當(dāng)定義φ(t)為小波函數(shù)，則小波基函數(shù)為:

(1)

式中：a----尺度因子;

b----平移因子。

若a,b不斷變化，則可得到新函數(shù)φa,b(t)。

根據(jù)小波函數(shù)定義可知,當(dāng)函數(shù)φa,b(t)中的a發(fā)生變化時(shí)，可以反映出小波函數(shù)的不同尺度。隨著a的不斷增大，函數(shù)時(shí)寬增加，亦即用伸展的φ(t)去觀察信號(hào)或函數(shù)f(t); 隨著a的不斷減小，函數(shù)時(shí)寬壓縮，表示用壓縮的φ(t)去觀察信號(hào)或函數(shù)f(t)，亦即用尺度因子的變化來表征信號(hào)或函數(shù)f(t)的局部信息。通過小尺度的變化反映高頻成分，大尺度的變化反映低頻成分，以上特性便是小波的多尺度分析特性。另外，由于小波∫Rφ(t)dt<∞,φ(t)具有很快的衰減性，即是說φ(t)的非零域具有有限性，在時(shí)域范圍內(nèi)具有緊支集，很顯然小波函數(shù)的局部化能力非常強(qiáng)，因此也就具備了時(shí)域緊支局部性。文中利用小波的緊支局部特性以及多尺度分析，通過對(duì)基函數(shù)的個(gè)數(shù)及位置分布在時(shí)域范圍內(nèi)的靈活設(shè)置，保證整體性能及擬合的逼近，實(shí)現(xiàn)了基于小波基函數(shù)的預(yù)測(cè)函數(shù)控制。

2基于小波函數(shù)的預(yù)測(cè)函數(shù)控制技術(shù)應(yīng)用分析

預(yù)測(cè)函數(shù)控制的基礎(chǔ)為模型預(yù)測(cè)控制，其模型基本特征主要包括3個(gè)方面：預(yù)測(cè)模型、滾動(dòng)優(yōu)化和反饋校正[4]。同時(shí)PFC自身也有相應(yīng)的特點(diǎn)，主要為關(guān)鍵性的控制輸入結(jié)構(gòu)，通過預(yù)先選定的控制輸入量作為基函數(shù)的線性加權(quán)，使輸出作為對(duì)象的響應(yīng)，實(shí)現(xiàn)目標(biāo)函數(shù)的優(yōu)化，求取加權(quán)系數(shù)，從而達(dá)到計(jì)算控制輸入的目的。

2.1　預(yù)測(cè)模型

預(yù)測(cè)模型是預(yù)測(cè)函數(shù)控制的重要部分，主要用于描述目標(biāo)對(duì)象的行為動(dòng)態(tài)，預(yù)測(cè)過程的輸出。對(duì)于其結(jié)構(gòu)形式無需做過多的要求，重點(diǎn)在于完善其預(yù)測(cè)功能。預(yù)測(cè)系統(tǒng)的預(yù)測(cè)模型狀態(tài)方程可表示為[5]:

Xm(k)=EmXm(k-1)+Fmu(k-1)

(2)

式中：Xm----狀態(tài)向量,Xm∈Rn×1；

u----控制輸入,u∈R1×1；

ym----預(yù)測(cè)模型輸出,ym∈R1×1;

Em,Fm----狀態(tài)方程系數(shù)矩陣,Em∈Rn×n,Fm∈Rn×1;

Cm----狀態(tài)方程向量,Cm∈R1×n。

預(yù)測(cè)函數(shù)控制的具體形式為：

(3)

0≤i≤h

式中：μj----加權(quán)系數(shù)；

fbj----t=iT時(shí)的取值；

nB----基函數(shù)的個(gè)數(shù)；

h----時(shí)域長(zhǎng)度。

預(yù)測(cè)模型的作用就是直接實(shí)現(xiàn)輸入量對(duì)輸出量的預(yù)測(cè)，模型的輸出ym(k+i)可以表示為：

(4)

式中:yUF----自由響應(yīng)輸出，u=0；

yF----受迫響應(yīng)。

其中yF可以由下式求得：

(5)

式中:fbj----在基函數(shù)fbj(i)作用下的模型輸出。

由式(3)，(4)和式(5)得

(6)

其中

μ(k)=[μ1(k),μ2(k),…,μnB(k)]T

yb(i)=[yb1(k),yb2(k),…,ybnB(k)]T

式(6)為模型輸出,其中ybj(i)為在基函數(shù)ybj(i)作用下的線性疊加，只有加權(quán)系數(shù)μj(k)需要在線求解。

2.2　優(yōu)化算法

預(yù)測(cè)函數(shù)控制優(yōu)化的目標(biāo)就是要找到一組系數(shù)，使得在整個(gè)優(yōu)化時(shí)域內(nèi)的預(yù)測(cè)輸出盡可能接近參考軌跡。對(duì)于二次型性能指標(biāo)可以通過擬合點(diǎn)上預(yù)測(cè)過程的輸出yp與參考軌跡yR差值的平方和最小來表示[6]，即

(7)

式中：nh----擬合點(diǎn)的個(gè)數(shù)，且nh≥nB;

hj----第j個(gè)擬合點(diǎn)的值。

參考軌跡選取指數(shù)形式：

(8)

式中：yR(k+i)----(k+i)時(shí)刻參考軌跡的值；

s(k)----設(shè)定值軌跡；

yp----實(shí)際過程輸出；

sb(k)----多項(xiàng)式系數(shù)；

Bs----多項(xiàng)式階數(shù)[7]。

3仿真實(shí)例分析

文中以原油精餾塔為仿真對(duì)象，利用基于小波函數(shù)的預(yù)測(cè)函數(shù)控制方法進(jìn)行仿真[8]，并將結(jié)果與傳統(tǒng)算法進(jìn)行對(duì)比。其輸入輸出對(duì)象模型可表示為：

求出系統(tǒng)離散狀態(tài)方程系數(shù)矩陣為:

現(xiàn)假設(shè)模型Am,Bm失配而變?yōu)?

仿真參數(shù)選?。翰蓸又芷赥s=1 s；參考軌跡閉環(huán)響應(yīng)時(shí)間Tr=1.5 s；預(yù)測(cè)時(shí)域優(yōu)化長(zhǎng)度H=8;仿真時(shí)間50 s。由此可得仿真效果如圖1所示。

(a) 傳統(tǒng)仿真效果

(b) 小波仿真效果圖1　仿真對(duì)比圖

由圖1可以看出，文中提出的小波基函數(shù)的整體優(yōu)化性能以及軌跡逼近精度均優(yōu)于傳統(tǒng)算法。

4結(jié)語

基于小波函數(shù)的預(yù)測(cè)函數(shù)控制方法有效地解決了傳統(tǒng)預(yù)測(cè)函數(shù)中基函數(shù)的不足，利用小波函數(shù)的緊支局部特性以及多尺度分析特性完成了不同情況下的仿真比較。通過仿真結(jié)果可以得出，該方法計(jì)算簡(jiǎn)單、速度更快，對(duì)于工程應(yīng)用更易實(shí)現(xiàn)。相比傳統(tǒng)控制方法中的基函數(shù)在精度控制、參數(shù)變化抑制和抗干擾性能上有了較大程度的改善，在快速工程應(yīng)用領(lǐng)域具有重要意義。

參考文獻(xiàn)：

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A wavelet function based prediction method

ZHAO Ze-fu

(School of Mathematics and Statistics， Zhaotong University, Zhaotong 657000, China)

Abstract：With the local properties of wavelet and multi-scale analysis method, both the number and position of the basis functions, in time domain, are set to ensure the ensure the overall performance and fitting approach. Simulation has verified the feasibility of the method.

Key words：predictionl； wavelet function； basis function.

作者簡(jiǎn)介：趙澤福(1974-)，男，漢族，云南鎮(zhèn)雄人，昭通學(xué)院講師，主要從事基礎(chǔ)數(shù)學(xué)及微積分方程競(jìng)賽數(shù)學(xué)方向研究,E-mail:mxc195611@163.com.

收稿日期：2015-01-25

中圖分類號(hào)：O 174

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：1674-1374(2015)01-0097-04

DOI:10.15923/j.cnki.cn22-1382/t.2015.1.20