具有年齡結(jié)構(gòu)的SI傳染病模型的分析

張 劍，張宏民

（齊齊哈爾大學(xué)理學(xué)院，黑龍江 齊齊哈爾 161006）

近幾年來，隨著SARS，甲型H1N1等眾多新型傳染病的出現(xiàn)，使得人們對(duì)于傳染病的研究又加以關(guān)注。傳染病的防治是關(guān)系到人類健康和國計(jì)民生的重大問題，對(duì)疾病流行規(guī)律的定量研究是防治工作的重要依據(jù)，根據(jù)疾病的發(fā)生、發(fā)展及環(huán)境變化等情況，建立能反映其變化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型，通過模型動(dòng)力學(xué)性態(tài)的研究來顯示疾病的發(fā)展過程，預(yù)測(cè)其流行規(guī)律和發(fā)展趨勢(shì)，分析疾病流行的原因和關(guān)鍵因素，尋求對(duì)其進(jìn)行預(yù)防和控制的最優(yōu)策略，為人們防治決策提供理論基礎(chǔ)和數(shù)量依據(jù)。由此可見，研究種群的傳染病模型對(duì)于種群的生存與發(fā)展是至關(guān)重要的。眾多研究考慮了疾病在食餌之間傳播的模型，得到疾病流行的閾值條件[1]。分析了捕食者具有疾病的SI模型，討論了解有界性和平衡點(diǎn)全局穩(wěn)定性[2]。并分別對(duì)具有年齡結(jié)構(gòu)的SEIR和SIS傳染病模型進(jìn)行了分析[3-4]。但對(duì)具有年齡結(jié)構(gòu)的單種群模型，在成年種群染病的SI問題尚未討論過。本文根據(jù)成年和幼年種群不同的生長特性，以及疾病對(duì)不同年齡結(jié)構(gòu)的兩種群的影響，發(fā)展規(guī)律和傳播特性等因素研究該類模型，進(jìn)而可以顯示疾病的發(fā)展過程，揭示其流行規(guī)律，為人們防治決策提供理論基礎(chǔ)。

1 模型的建立與假設(shè)

具有年齡結(jié)構(gòu)的傳染病模型如下：

其中，x表示幼年種群數(shù)量；s表示易感的成年種群數(shù)量；I表示染病的成年種群數(shù)量；α表示幼年種群的出生率；r1、r2、r3分別表示幼年種群、易感的成年種群、染病的成年種群的死亡率；η表示幼年種群的密度制約系數(shù)；β表示幼年種群向成年種群的轉(zhuǎn)化率；b表示接觸率。

根據(jù)模型的生態(tài)意義，本文在

R3+=上討論。

根據(jù)模型的實(shí)際背景作如下假設(shè)：①假設(shè)疾病只在成年種群間傳播。②不考慮種群的流動(dòng)性。③成年種群患病后不能夠治愈；患病后一旦與易感染者接觸即具有一定的傳染率。

2 模型平衡點(diǎn)的存在性

定理1模型（1）的平衡點(diǎn)存在的條件：

證明：模型（1）的平衡點(diǎn)是滿足下面方程組的解。

根據(jù)方程組（2）可知模型（1）存在三個(gè)平衡點(diǎn)分別是E0（0，0，0），E1（x0，s0，0）和唯一的正平衡點(diǎn)E2（x*，s*，I*）。

根據(jù)模型的實(shí)際生態(tài)意義知（3），（4），（5）各式應(yīng)恒大于0，因此得到模型（1）的平衡點(diǎn)存在的條件是：

3 平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性

定理2當(dāng)αβ-r2（r1+β）＜0時(shí)，模型（1）的平衡點(diǎn)E0是局部漸近穩(wěn)定的；當(dāng)αβ-r2（r1+β）＞0時(shí)，平衡點(diǎn)E1是局部漸近穩(wěn)定的。

證明：模型（1）的Jacobi系數(shù)矩陣為

下面分別平衡點(diǎn)E0和E1的穩(wěn)定性進(jìn)行討論。

平衡點(diǎn)E0（0，0，0）的系數(shù)矩陣是

而其對(duì)應(yīng)的特征方程是

特征根是 λ1=-r3＜0

平衡點(diǎn)E1（x0，s0，0）的系數(shù)矩陣是

而其對(duì)應(yīng)的特征方程是

f（0）=αβ-r2（r1＋β）＞0（由E1的存在性知）則λ2，λ3是兩個(gè)具有負(fù)實(shí)部的特征根。

證明：E2（x*，s*，I*）的系數(shù)矩陣是

特征方程為 λ3+A1λ2+A2λ+A3=0

由 E2的存在性知 A1＞0，A2＞0，A3＞0。

由 E2存在，知 bβx*-r2r3＞0

由 A2＞0 知

△3=A3△2＞0。

根據(jù)Hurwitz判別法知，點(diǎn)E2對(duì)應(yīng)的特征方程所有特征根均有負(fù)實(shí)部，故平衡點(diǎn)E2局部漸近穩(wěn)定。因此只要正平衡點(diǎn)E2存在，其必定是局部漸近穩(wěn)定的平衡點(diǎn)。

4 模型試驗(yàn)驗(yàn)證

5 結(jié) 論

本文所研究的具有年齡結(jié)構(gòu)的SI傳染病模型，是將生物個(gè)體按其生理年齡進(jìn)行分類，以便更好地反映個(gè)體的生理特征和影響疾病傳播方面的差異，在疾病在成年種群間傳播的假設(shè)條件下，得到平衡點(diǎn)的局部穩(wěn)定性。，E2是局部漸近穩(wěn)定的。說明此時(shí)，模型的唯一正平衡點(diǎn)存在且局部穩(wěn)定，也就是說疾病不會(huì)造成兩個(gè)年齡結(jié)構(gòu)的種群的滅絕。該模型可以用來解釋在假設(shè)條件下的生物種群在疾病的發(fā)生及種群內(nèi)的傳播等因素，通過對(duì)模型動(dòng)力學(xué)性態(tài)的定性、定量分析，能夠揭示其發(fā)展變化趨勢(shì)，分析疾病流行的原因和關(guān)鍵因素，尋求對(duì)其預(yù)防和控制的最優(yōu)策略。人們可以利用該結(jié)論，創(chuàng)造良好的環(huán)境，使得疾病在生物種群中不造成較大的影響，不會(huì)造成種群的滅絕。這類模型在描述與年齡有關(guān)的疾病的傳播規(guī)律時(shí)將更加有效和實(shí)用。本文的研究結(jié)果，對(duì)于生物部門控制疾病在生物種群間的傳播具有一定的參考價(jià)值。

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