反厄米特矩陣的一些特征

曹元元，張　騫，毛　亮

(湖北師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,湖北 黃石　435002)

反厄米特矩陣的一些特征

曹元元，張騫，毛亮

(湖北師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,湖北 黃石435002)

摘要：研究了反厄米特矩陣(A*=-A )的相關(guān)性質(zhì),并給出了反厄米特矩陣的一些充要條件.

關(guān)鍵詞：厄米特矩陣；反厄米特矩陣；廣義逆

中圖分類號(hào)：O153

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1009-2714(2015)04- 0088- 06

doi:10.3969/j.issn.1009-2714.2015.04.017

收稿日期：2015—09—08

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11271105)，湖北省教育廳重點(diǎn)資助項(xiàng)目(D20122202)

作者簡(jiǎn)介：曹元元(1989—)，女，陜西渭南人，碩士，研究方向?yàn)榫仃嚪治?

1引言與預(yù)備引理

厄米特矩陣和反厄米特矩陣是兩類特殊形式的矩陣,在矩陣?yán)碚摷捌鋺?yīng)用中有著非常重要的地位[1～2]. 近幾年,隨著應(yīng)用的需要和研究的深入,酉矩陣、厄米特矩陣、Hamilton矩陣和廣義逆矩陣之間的關(guān)系及其在解矩陣方程中的應(yīng)用已經(jīng)取得了豐富的成果[3～4],推廣了酉矩陣、厄米特矩陣及廣義次對(duì)稱矩陣的相應(yīng)結(jié)果.特別地,將正交陣的廣義Cayley分解推廣到了k-廣義酉矩陣和k-廣義厄米特矩陣上,從而統(tǒng)一了各類厄米特矩陣及廣義逆矩陣. 本文將進(jìn)一步研究廣義厄米特矩陣中的一種特殊矩陣——反厄米特矩陣的相關(guān)性質(zhì)和一些充要條件,從而對(duì)特殊矩陣的深入研究及其應(yīng)用提供有益的幫助.

下面先給出一些必要的記號(hào)，再給出本文所需要的一些引理.

1)AA+A=A,2)A+AA+=A+,3)AA+=(AA+)*, 4)A+A=(A+A)*.

1)AA#A=A,2)A#AA#=A#,3)AA#=A#A

近些年來(lái),國(guó)內(nèi)外許多學(xué)者如:Baksalary,Trenkkler,Liu等人運(yùn)用[8] 中推論6提出的∑-K-L分解解決了許多特殊矩陣的問(wèn)題,該分解如下:

引理1[8]( ∑-K-L分解) 設(shè)A∈n×n,且r(A)=r,則存在酉矩陣U∈n×n使得

(1)

其中 ∑=diag(σ1Ιr1……,σ1Ir1),σ1>σ2>…>σt>0,r1+r2+…+rt=r,K∈r×r,L∈r×(n-r)且KK*+LL*=Ir.

用 ∑-K-L分解,我們?nèi)菀椎贸?

(2)

(3)

由∑-K-L分解易知, A#存在 K 為可逆矩陣,且

(4)

運(yùn)用∑-K-L分解,我們可以給出前面介紹的幾種特殊矩陣的刻畫.

引理2[9]設(shè)A∈n×n,且r(A)=r, A有(1)式的分解形式，則：

2反厄米特矩陣的有關(guān)性質(zhì)

1985年Roger A. Horn 和 Charles R. Johnson 在[1]中給出了厄米特矩陣和反厄米特矩陣的定義,并研究了厄米特矩陣的性質(zhì)及特征.類似的我們先給出反厄米特矩陣的一些性質(zhì),再給出反厄米特矩陣的有關(guān)特征.

b)σ(A)?i,

αΑα∈i.

b)設(shè)α 為矩陣Α的屬于特征值λ的特征向量,即有Αα=λα(α≠0),所以αΑα=αλα=λαα ,又由a)有αΑα∈i,且αα∈+,所以λ∈i,從而σ(A)?i.

證明a)? b)定理1 a)已給出證明.下面只需證明b) ?c)，c)? d)，d)? a)即可.

(α+β)*A(α+β)=α*Aα+α*Aβ+β*Aα+β*Aβ∈i,α*Aα∈i,β*Aβ∈i

所以αΑβ+β*Aα ∈i.

計(jì)算可得

α*Aβ+β*Aα=akl+alk∈i

(5)

再令α=ek, β=iel則β*=(0…0,-i,0…0) (第l列為 -i，其余元素全為0的1行n列矩陣),計(jì)算可得

α*Aβ+β*Aα=iakl-ialk∈i

(6)

"? " 設(shè)AT∈SHn,即(AT)*=(A*)T=-AT=(-A)T,所以A*=-A 即A∈SHn.

下面我們給出反厄米特矩陣的一個(gè)性質(zhì).

證明設(shè)x,y分別為屬于A 的特征值λ1,λ2(λ1≠λ2)的特征向量,若 A∈SHn,則由定理1 b)知λ1,λ2∈i,所以x*(Ay)=x*λ2y=λ2x*y,(Ax)*y=(λ1x)*y=-λ1x*y,且由A*=-A 可得x*(Ay)=x*(-A*)y=-(x*A*)y=-(Ax)*y,所以λ2x*y=-(-λ1x*y)=λ1x*y,即λ2x*y-λ1x*y=(λ2-λ1)x*y=0(λ1≠λ2) 所以x*y=0,即x,y彼此正交.

3反厄米特矩陣的一些特征

下面運(yùn)用矩陣的∑-K-L分解給出反厄米特矩陣的一些刻畫.

L=0, ∑K=K∑

(7)

從而

K-1∑=K*∑=-∑K

(8)

這樣,由(7)(8)式可得K2=-Ir.

b)AA*=A*A=-A2

c) A2A+=-A*.

證明a) ?b) 由定義直接得出.

b)A*A+A=-A ,

c)A*AA+=-A ,

d)AA+A*=-A ,

e)AA*A+=-A ,

f) A+A*A=-A ,

g) A+AA*=-A ,

h)A*A+=-AA+,

i)A*A+=-A+A .

證明下面只給出a) ?b), a) ?d), a) ?h)的證明過(guò)程，對(duì)于a) ?c)可用類似于a) ?b)的方法證明, a) ?e), a)? f), a) ?g), a) ?i)可用類似于a) ?d)的方法證明.

b) ?a)設(shè) A有分解式(1)式,若A*A+A=-A ,則(A) ?(A*),而r(A*)=r(A)所以(A)=(A*), 即矩陣 A∈EPn,由引理2 a)知L=0,所以由A*A+A=-A 結(jié)合 (1)(2)(3)計(jì)算可得 K*∑=-∑K,從而 A*=-A,即 A∈SHn.

a) ?d)類似于a) ?b)直接計(jì)算可得,下證d) ?a):

設(shè)A 有分解式(1)式,若AA+A*=-A ,則結(jié)合(1)(2)(3)計(jì)算有

L=0且K*∑=-∑K ,從而A*=-A ,即A∈SHn.

a) ?h) 類似于a) ?b)直接計(jì)算可得,下證h)? a):

設(shè) A有分解式(1)式,若A*A+=-AA+,則結(jié)合(1)(2)(3)計(jì)算有

故K*∑K*∑-1=-Ir且 L*∑K*∑-1=0,所以r(K*∑K*∑-1)=r,得r(∑K*∑-1)≥r從而

r(∑K*∑-1)=r,所以L=0 且K*∑=- ∑K,所以A*=-A ,即A∈SHn.

b)A*A#A=-A ,

c)A*AA#=-A ,

d)AA#A*=-A ,

e)A#AA*=-A ,

f)A*A#=-AA#,

g)A*A#=-A#A .

證明下面只給出a)?b),a) ?d),a)? f)的證明，而對(duì)于a) ?c)可類似于a) ?b)得到證明, a) ?e) a)? g)可類似于a)? d)得到證明.

a)? d), a) ?e), a)? g)可用類似于a)? f)的方法得到證明.

由引理2 b)知A∈Nn?L=0,∑K=K∑結(jié)合(1)(2)(4)計(jì)算可得

b) ?a)設(shè)A 有分解式(1)式,若A*A#A=-A,則R(A)? R(A*)而 ”(A*)=”(A)所以 R(A*)=R(A)，即矩陣 A∈EPn，由引理2(a)可知 L=0,若A*A#A=-A ,則結(jié)合(1)(2)(4)計(jì)算可得

所以L=0 且K*∑=-∑K ,從而A*=-A ,即A∈EPn.

a)? d)類似于a)? b)直接計(jì)算可得,下證d)? a):

設(shè)A 有分解式(1)式,若AA#A*=-A ,則結(jié)合(1)(2)(4)有

計(jì)算可得L=0 且K*∑=-∑K,從而A*=-A ,即A∈EPn.

a) ?f)類似于a) ?b)直接計(jì)算可得,下證f) ?a):

設(shè) A有分解式(1)式,若 A*A#=-AA#,則結(jié)合(1)(2)(4)有

計(jì)算可得 K*∑K-1∑-1=-Ir,且L*∑K-1∑-1=0,所以r(K*∑K-1∑-1)=r,得r(∑K-1∑-1)≥r，從而r(∑K-1∑-1)=r,所以L=0 且K*∑=-∑K,從而A*=-A ,即A∈SHn.

參考文獻(xiàn)：

[1]Horn R A,Johnson C R．Matrix Analysis[M]．London：cambridge University Press，1985.

[2]Jain s K,Gunawardena A D．Linear Algebra[M]．Beijing：china Machine Press，2003.

[3]袁暉坪.廣義酉矩陣與廣義Hermite矩陣[J].數(shù)學(xué)雜志,2003,23(3):3375~380.

[4]袁暉坪,王行榮.k-廣義Hermite矩陣及其在矩陣方程中的應(yīng)用[J].吉林大學(xué)學(xué)報(bào)(理學(xué)版),2012,50(1): 59~62.

[5]Wang G, Wei Y, Qiao S. Generalized Inverses:Theory and Computation[M].Beijing：Science Press,2004.

[6]Drazin M P. Natural structures on semigroups with involution[J]. Bull Amer Math Soc, 1978,84:139~141.

[7]Mitra S K. Noncore square matrices miscellany[J].Linear Algebra Appl,1996,249:249~260.

[8]Hartwig R E,Spindelb?ck K. Matrices for which A*and A+commute[J].Linear Multilinear Algebra,1984,14:241~256.

[9]Baksalary O M, Styan G P H, Trenkler G. On a matrix decomposition of Hartwing and Spindelb?ck[J]. Linear Algebra Appl, 2009,430(10):2798~2812.

Some proterties of skew-Hermitian

CAO Yuan-yuan，ZHANG Qian，MAO Liang

(College of Mathematics and Statistics,Hubei Normal University,Huangshi435002,China)

Abstract:We study several characteristics of the skew-Hermitian matrix ( A*=-A)in this paper, and gives some sufficient and necessary conditions for the skew-Hermitian matrix.

Key words:Hermitian matrix; skew-Hermitian matrix; generalized inverse