基于特殊陣列的近場源參數(shù)估計新算法

司偉建, 李曉林, 蔣伊琳

(哈爾濱工程大學信息與通信工程學院, 黑龍江 哈爾濱 150001)

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基于特殊陣列的近場源參數(shù)估計新算法

司偉建, 李曉林, 蔣伊琳

(哈爾濱工程大學信息與通信工程學院, 黑龍江 哈爾濱 150001)

摘要：陣列孔徑損失和計算復雜度大是近場源參數(shù)估計面臨的兩大亟待解決的問題,提出一種類似NEST陣列模型的新模型,利用四階累積量擴展陣列孔徑,使可估計信源個數(shù)遠遠大于實際陣元數(shù);并結合基于特征方程算法(characteristic equation-based method, CEM)思想避免特征值分解和譜峰搜索,極大降低了算法的計算復雜度。最后,基于已獲得的近場源的角度信息,估計出所有近場源的距離信息。理論分析和實驗仿真結果表明,在保證參數(shù)估計精度的前提下,所提算法的計算復雜度低,具有較高的陣列利用率,并且可以避免二維參數(shù)配對。

關鍵詞：陣列信號處理; 高階累積量; 陣列孔徑擴展; 基于特征方程算法; 多項式求根

0引言

信源定位技術是陣列信號處理領域的一個重要分支,其廣泛應用于雷達、通信、聲吶等領域。目前大量算法都是針對遠場信號,例如多重信號分類(multiple signal classification, MUSIC)算法[1]和旋轉不變子空間(estimation of signal parameters via rotational invariance techniques, ESPRIT)算法[2]等。然而當信源與接收陣列之間的距離在菲涅爾域內時,信源發(fā)射的信號以球面波的形式而不是平面波形式穿過陣列,遠場信號的假設不再成立,信源的位置需要由角度信息和距離信息共同確定,此時的定位為近場源定位。

近場源定位在語音增強、移動通信和電子偵察等領域中有著廣泛的應用,因此針對近場信號參數(shù)估計的算法[3-13]得到廣大學者的重視。文獻[3]給出了最大似然估計算法估計近場信號參數(shù);文獻[4-5]運用二維MUSIC的思想進行近場源參數(shù)估計;文獻[6-7]給出了高階累積量ESPRIT算法;文獻[8]將對稱陣列分為兩個子陣列,利用子陣列之間的對稱關系構造譜函數(shù)進行參數(shù)估計。上述算法都是在均勻線陣的基礎上進行推導,可估計信源的個數(shù)不能超過陣元個數(shù)甚至不能超過陣元個數(shù)的一半,嚴重損失陣列的自由度;且上述算法都需要特征值分解和譜峰搜索,導致計算復雜度大,計算復雜度隨陣元數(shù)增加而增大。為了提高陣列利用率,文獻[14]針對遠場信源參數(shù)估計提出一種NEST陣列模型,此模型可以有效地增加天線自由度,使其能夠估計的信源數(shù)大于實際的天線個數(shù);文獻[15]將NEST陣列模型應用于混合信號參數(shù)估計中;本文提出一種類似于NEST陣型的新陣列模型,并結合四階累計量進行參數(shù)估計大大增加天線自由度。和文獻[15]相比,在相同的陣元數(shù)條件下本文能夠估計更多的信源數(shù)。為了降低運算復雜度,CEM算法在文獻[16]首次被提出,該算法無需特征值分解和譜峰搜索,通過構造一個多項式即可獲得參數(shù)信息;基于CEM算法[17-18],文獻[18]將其思想運用到非相干與相干混合信源參數(shù)估計問題;本文將該理論運用到近場信源參數(shù)估計用來降低運算復雜度。

1信號模型

本文所用陣列模型如圖1所示,陣列包括2(M+N)+1個各向同性的陣元,由3個子陣列組成。子陣1由2N+1個陣元組成,陣元間距為d,子陣2和子陣3分別由M個陣元組成,陣元間距為(2N+1)d,且分別位于子陣1兩側,距離中心陣元的距離為(3N+1)d。

圖1　特殊的稀疏對稱陣列

假設有L個相互獨立的窄帶近場信號入射到稀疏對稱陣列上,以中心陣元為相位參考點,則第n個陣元接收數(shù)據(jù)表示為

(1)

式中,K為快拍數(shù);sk(t)為第k個信源的信號波形;wn(t)為第n個陣元接收的加性噪聲;pn為第n個天線與參考陣元之間的距離;ωk，φk分別表示為

(2)

式中,λ為信號波長;θk,rk分別為第k個近場信號的角度參數(shù)和距離參數(shù)。

將天線接收數(shù)據(jù)寫成矢量形式為

(3)

式中,X(t)=[x1(t),x2(t),…,x2(N+M)+1(t)]T為x軸陣元接收的數(shù)據(jù)矢量;W(t)=[w1(t),w2(t),…,w2(N+M)+1(t)]T為x軸陣元接收的噪聲矢量;S(t)=[s1(t),…,sL(t)]T代表L個獨立窄帶近場信號;A(θ,r)為(2(N+M)+1)×L維陣列導向矢量,表示為

(4)

式中,a(θk,rk)表示為

(5)

在本文中,對信號模型進行如下假設:

假設 1L個信源之間相互統(tǒng)計獨立,具有非零峰度的非高斯過程。

假設 2每個陣元上接收的噪聲是零均值的高斯過程,且與信號不相關。

假設 3為了確保參數(shù)估計的唯一性,要求d≤λ/4。

2基于稀疏對稱陣列的近場目標定位算法

2.1近場信號角度參數(shù)估計

由于將高階累積量應用于空間譜估計算法中可以抑制高斯噪聲,同時可以獲得如陣列孔徑擴展、陣元誤差校正等優(yōu)良性能,因此基于高階累積量的空間譜估計算法得到廣泛的關注。文中采用四階累積量的計算公式為

(6)

首先,利用子陣1構造矩陣C1為

(7)

為了方便下一步推導,定義函數(shù):

(8)

通過觀察式(7)可以看出矩陣C1是一個復Toeplitz矩陣,可以表示為

C1=

(9)

將矩陣C1斜對角線相加即可得到z1的估計值。

(1) 當k=-1,-2,…,-2N時

(10)

(2) 當k=0,1,…,2N時

(11)

利用子陣2同子陣1構造M(2N+1)維矩陣C2,表示為

(12)

令

z2=vec(C2)

(13)

即

(14)

利用子陣3同子陣1構造M(2N+1)維矩陣C3,表示為

(15)

令

z3=vec(C3)

(16)

(17)

將z1,z2,z3重新組合得到(4N+1)+2(2N+1)M維向量z,表示為

z=[z2z1z3]

(18)

為了避免特征值分解和譜峰搜索,降低運算量,結合CEM算法進行算法簡化,具體步驟如下:

首先構造一個L階多項式,表示為

(19)

通過式(19)可以明顯看出,它的L個位于單位圓上的根對應于L個信源的角度信息,因此只需要確定多項式系數(shù)[cL-1,cL-2,…,c0],構造出式(19),對其進行求解即可得到信源的角度參數(shù)。

為了方便推導,設P=2N+(2N+1)M。

將解ej2ωk代入到方程(19)中可以滿足式(20)：

(20)

將等式(20)兩邊同時乘以因子c4siej2ωkJ可得

(21)

將式(21)中L個等式相互疊加可得

(22)

將式(18)代入到式(22)中,可將式(22)改寫為

z(J+1)c1+z(J)c0=0，

(23)

將2P-L+1個等式改寫成矩陣形式：

(24)

通過式(24)可以看出只要確定z的值即可求得多項式的系數(shù)[cL-1,cL-2,…,c0]。

(25)

(26)

式中

(27)

(28)

通過求解多項式(28)得到L個根,利用式(29)進行轉換得到近場信號的角度參數(shù)。

(29)

2.2近場信號的距離參數(shù)估計

信源的角度參數(shù)估計出以后,下一步進行距離參數(shù)估計。首先構造協(xié)方差矩陣R,即

(30)

對協(xié)方差矩陣R進行特征值分解,可得

(31)

式中,US是由大特征值對應的特征矢量張成的信號子空間;UN是由小特征值對應的特征矢量張成的噪聲子空間。利用信號子空間與噪聲子空間正交的原理構造新的函數(shù),通過最小化譜函數(shù)式(32)得到信號的距離信息。

(32)

傳統(tǒng)算法一般都是利用譜峰搜索得到信號的距離信息,然而譜峰搜索的計算復雜度較高,不適合實時處理,且估計精度受搜索步長影響,因此本文采用特征值分解的思想代替譜峰搜索,用來減少運算量。

為了降低特征值分解的維數(shù),將陣列流型進行分解,即

(33)

(34)

(35)

式中,a1(θi)為(2(N+M)+1)×((N+M)+1)維矩陣;a2(r)為(N+M)+1維列向量。

將式(33)代入式(32)中得

(36)

利用式(37)求得近場信源的距離信息

(37)

通過以上算法,將近場信號的角度參數(shù)分別代入陣列流型中求得其對應的距離參數(shù),可以避免二維參數(shù)配對。

同樣,本文算法也適用于近場信號與遠場信號并存的情況。

2.3本文算法描述

本文算法步驟如下:

步驟 1利用式(6)構造高階累計量矩陣C1、C2、C3。

步驟 2對3個高階累計量矩陣C1、C2、C3分別進行處理,利用式(10)和式(11)對C1進行處理得到向量z1;對矩陣C2、C3進行向量化分別得到向量z2和z3,將得到的3個向量z1、z2和z3重新組合得到新的向量z。

步驟 4構造數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣R,并對其進行特征值分解,求得小特征值對應的噪聲子空間UN。

3算法性能分析

考慮本文算法、two-stage MUSIC (TSMUSIC)算法和mixed-order MUSIC (MOMUSIC)算法在相同陣元數(shù)條件下最大可估計信源個數(shù),假設有Q個陣元,其中子陣1由2N+1個陣元組成,子陣2和子陣3由M個陣元組成,TSMUSIC算法最多可以估計Q-1個信號源,MOMUSIC算法最多可估計M+N+MN個信源,本文算法可估計(2N+1)+(2N+1)M。通過上述分析可以看出,本文算法可估計信源的個數(shù)遠遠大于MOMUSIC算法和TSMUSIC算法,隨著子陣1的陣元數(shù)的增加本文算法的優(yōu)越性越明顯。

3種算法運算量對比,由于構造累積量矩陣、特征值分解和譜峰搜索這3步需要較大的運算量,因此主要考慮這3步進行運算量分析。 TSMUSIC算法需要構造一個Q×Q維的四階累積量,MOMUSIC算法構造一個2(M+1)(N+1)維向量;本文算法需要構造一個N×N維四階累積量和2M(2N+1)維向量,從構造矩陣角度考慮,TSMUSIC算法運算量遠遠大于MOMUSIC算法和本文算法,而本文算法略高于MOMUSIC算法;利用CEM思想,文算法只需構造一個多項式并對其進行求解得到角度參數(shù),無需進行特征值分解和譜峰搜索;而TSMUSIC算法和MOMUSIC算法均需要特征值分解和譜峰搜素,大大增加運算復雜度,綜上所述可以看出,本文算法的運算量要小于TSMUSIC算法和MOMUSIC算法。

4數(shù)據(jù)仿真

為了驗證所提算法的優(yōu)良性能,將本文所提算法與TSMUSIC算法、MOMUSIC算法進行比較,陣列擺放形式如圖1所示。仿真條件如下:陣元數(shù)為17,最小陣元間距為λ/4,進行1 000次蒙特卡羅實驗。實驗中使用根均方誤差(root mean square error, RMSE)作為性能評價標準。

式中,ρ為參數(shù)估計值;ρtrue為參數(shù)真值;N為蒙特卡羅實驗次數(shù)。

實驗 1入射信號2個窄帶近場信號,位置分別為(30°,4λ)和(35°,2λ),噪聲模型為高斯白噪聲,仿真條件如上所述。

(1) 不同信噪比下各算法測向性能比較:快拍數(shù)為200,信噪比從0~40 dB不斷變化,步長為5 dB,圖2和圖3分別表示了角度參數(shù)和距離參數(shù)的估計性能。從圖2可以看出,本文算法的角度估計精度高于TSMUSIC算法和MOMUSIC算法。MOMUSIC算法運用數(shù)據(jù)量較少,因此估計性能最差;本文算法運用新的陣列擺放形式,有效擴展了陣列孔徑,因此估計性能優(yōu)于TSMUSIC算法,與此同時,本文算法結合了估計性能更好的多項式求根算法,無需譜峰搜索,精度不受搜索步長的影響。從圖3可以看出,本文算法的距離估計精度高于TSMUSIC算法和MOMUSIC算法,這是由于距離的估計是在角度估計基礎之上進行的,受到角度估計精度的影響。

圖2　3種算法隨信噪比變化的角度估計性能比較圖

圖3　3種算法隨信噪比變化的距離估計性能比較圖

(2) 不同快拍數(shù)下各算法測向性能比較:信噪比為20 dB,快拍數(shù)從10~400不斷變化,步長為50,圖4和圖5分別示出了角度參數(shù)和距離參數(shù)的估計性能。從圖4可以看出,由于3種算法均采用高階累積量進行參數(shù)估計,因此受快拍數(shù)影響比較大,快拍數(shù)越大,算法性能越高,本文算法的角度參數(shù)估計性能高于TSMUSIC算法和MOMUSIC算法。從圖5可以看出,本文算法的距離估計精度高于TSMUSIC算法和MOMUSIC算法,這是由于距離的估計是在角度估計基礎之上進行的,受到角度估計精度的影響。

圖4　3種算法隨快拍數(shù)變化的角度估計性能比較圖

圖5　3種算法隨快拍數(shù)變化的距離估計性能比較圖

實驗 2入射信號4個窄帶信號,其中包括2個近場信號和2個遠場信號,近場信號的位置分別為(30°,4λ)和(35°,2λ),遠場信號的位置分別為40°和50°,噪聲模型為高斯白噪聲。

(1) 不同信噪比下各算法測向性能比較:快拍數(shù)為200,信噪比從0~40 dB不斷變化,步長為5 dB。圖6和圖7分別示出了角度參數(shù)和距離參數(shù)的估計性能。從圖6可以看出,本文算法的角度估計精度高于TSMUSIC算法和MOMUSIC算法。由于采用新的陣列模型,有效地擴展陣列孔徑,因此估計性能由于其他兩種算法;并結合與此同時本文算法結合了估計性能更好的多項式求根算法,精度不受搜索步長的影響。從圖7可以看出，本文算法的距離估計精度高于TSMUSIC算法和MOMUSIC算法,這是由于距離的估計是在角度估計基礎之上進行的,受到角度估計精度的影響,角度估計精度越高,距離的估計精度就越高。

(2) 不同快拍數(shù)下各算法測向性能比較:信噪比為10 dB,快拍數(shù)從10~400不斷變化,步長為50。圖8和圖9分別示出了角度參數(shù)和距離參數(shù)的估計性能,從圖8中可以看出,當快拍數(shù)較低的時候,3種算法的角度參數(shù)估計性能較差,隨著快拍數(shù)增大,3種算法的估計性能變好,本文算法的角度估計性能和距離參數(shù)估計性能均高于TSMUSIC算法和MOMUSIC算法。

圖6　混合信源條件下3種算法隨信噪比變化的角度估計性能比較圖

圖7　混合信源條件下3種算法隨信噪比變化的距離估計性能比較圖

圖8　混合信源條件下3種算法隨快拍數(shù)變化的角度估計性能比較圖

圖9　混合信源條件下3種算法隨快拍數(shù)變化的距離估計性能比較圖

實驗 3入射信號2個窄帶近場信號,位置分別為(30°,4λ)和(35°,2λ),噪聲模型為高斯白噪聲,信噪比為20 dB, 快拍數(shù)為200,陣元數(shù)從11~21不斷增加,統(tǒng)計仿真時間如表1所示。由于陣元數(shù)增大,算法所需要處理的矩陣的維數(shù)增大,因此復雜度變大。與上述理論分析一致,3種算法隨著陣元數(shù)的增加,運行時間逐漸增大。從表1中可以明顯看出本文算法的運行時間遠遠小于TSMUSIC算法和MOMUSIC算法。由于TSMSUIC算法和MOMUSIC算法需要特征值分解和譜峰搜索,因此其受陣元數(shù)的影響比較大;而本文算法無需特征值分解和譜峰搜索,因此其受陣元數(shù)的影響比較小。隨著陣元數(shù)的增大,本文算法的優(yōu)越性能更加突出。

表1　算法運行時間比較

實驗 4入射信號為12個窄帶近場信號,位置分別位于(60°,5λ)、(50°,6λ)、(40°,4λ)、(30°,5λ)(20°,5λ)(10°,6λ)(-60°,6λ)(-50°,4λ)(-40°,5λ)(-30°,3λ)(-20°,5λ)(-10°,3λ),陣元數(shù)為13(其中N=4;M=2),信噪比為20 dB,快拍數(shù)為200,為了能夠從圖中形象看出本文算法的陣列孔徑擴展性能,在求解近場信號角度參數(shù)時采用譜峰搜索代替求根算法。本文算法仿真譜圖如圖10所示;TSMUSIC算法仿真圖如圖11所示。從圖11可以明顯看出,本文算法可以清晰的分辨出12個角度,并形成尖銳的譜峰;而TSMUSIC算法則分辨不出角度。通過仿真可知本文算法采用的特殊陣列模型,并結合四階累積量,相對于TSMUSIC算法有明顯的陣元自由度擴展。

圖10　本文算法仿真圖

圖11　TSMUSIC算法仿真圖

5結論

本文提出一種高精度、低復雜度的近場源參數(shù)估計算法,采用類似于NEST陣型的新陣列模型,結合四階累積量進行陣列擴展,有效地提高了算法可估計信源數(shù),使其可遠遠大于陣元數(shù);并結合CEM思想用于降低運算復雜度。與此同時,本文算法同樣適用于近場與遠場混合信源定位。從數(shù)據(jù)仿真結果可以看出本文算法的有效性。增大陣元之間的間距可以得到更高的估計精度,然而本文陣元的最小間距不能超過波長的四分之一,否則會產(chǎn)生模糊估計,如何增大此陣列模型陣元之間的間距,同時正確估計信號參數(shù)成為下一步要解決的問題。

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司偉建(1971-),男,研究員,博士,主要研究方向為寬帶系統(tǒng)的信號檢測、識別與估計。

E-mail:swj0418@263.net

李曉林(1989-),女,博士研究生,主要研究方向為寬帶系統(tǒng)的信號檢測、識別與估計。

E-mail:lixiaolinshiwo@163.com

蔣伊琳(1981-),男,博士,講師,主要研究方向為寬帶系統(tǒng)的信號檢測、識別與估計。

E-mail:jiangyilin@hrbeu.edu.cn

網(wǎng)絡優(yōu)先出版地址：http://www.cnki.net/kcms/detail/11.2422.TN.20141211.1840.009.html

Algorithm of near-field sources parameter estimation

based on the special array model

SI Wei-jian, LI Xiao-lin, JIANG Yi-lin

(SchoolofInformationandCommunicationEngineering,HarbinEngineeringUniversity,Harbin150001,China)

Abstract:Loss of the array aperture and complicated computation have always been serious problems for parameter estimation of the near-field sources. A new array model is proposed which is similar to the NEST array model, using the forth-order cumulation to extend the array aperture. The number of sources estimated by the proposed algorithm is thus much larger than the number of actual arrays. Moreover, we combine the idea of the characteristic equation-based method (CEM) to avoid eigenvalue decomposition and spectrum peak search, greatly reducing the complexity of computation. Finally, based on the angle information of near-field sources, the range information of near-field sources is estimated. Theoretical analysis and simulation results show that on the premise of the accuracy of parameter estimation, the proposed algorithm has lower computational complexity and higher utilization of arrays, which also avoids two-dimensional parameter matching.

Keywords:array signal processing; high-order cumulation; array aperture extension; characteristic equation-based method (CEM); polynomial root

作者簡介：

中圖分類號：TN 911.7

文獻標志碼：A

DOI:10.3969/j.issn.1001-506X.2015.07.02

基金項目：中央高?；究蒲袠I(yè)務費專項資金(HEUCF140803)資助課題

收稿日期：2014-08-27；修回日期：2014-12-08；網(wǎng)絡優(yōu)先出版日期：2014-12-11。