高效超分辨波達方向估計算法綜述

閆鋒剛, 沈　毅, 劉　帥, 金　銘, 喬曉林

(1. 哈爾濱工業(yè)大學(xué)(威海)信息與電氣工程學(xué)院, 山東 威海 264209;

2. 哈爾濱工業(yè)大學(xué)航天學(xué)院,黑龍江 哈爾濱 150001)

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高效超分辨波達方向估計算法綜述

閆鋒剛1, 沈毅2, 劉帥1, 金銘1, 喬曉林1

(1. 哈爾濱工業(yè)大學(xué)(威海)信息與電氣工程學(xué)院, 山東 威海 264209;

2. 哈爾濱工業(yè)大學(xué)航天學(xué)院,黑龍江 哈爾濱 150001)

摘要：高效超分辨波達方向估計算法致力于降低超分辨算法的計算量、節(jié)約系統(tǒng)的實現(xiàn)成本、弱化算法對于陣列結(jié)構(gòu)的依賴性,是推進超分辨理論工程化的一個重要研究課題。從多重信號分類(multiple signal classification, MUSIC)算法的原理和構(gòu)成要素入手,以基于MUSIC派生高效超分辨算法的目的和方法為標準,將現(xiàn)存高效超分辨算法劃分為實值運算、波束域變換、快速子空間估計、快速峰值搜索和免峰值搜索5大類。在此基礎(chǔ)上,全面回顧總結(jié)了各類高效算法的發(fā)展歷程和最新進展,對比分析了它們的主要優(yōu)缺點。最后,結(jié)合空間譜估計實際工程化的應(yīng)用需求,指出了高效超分辨算法的未來發(fā)展趨勢。

關(guān)鍵詞：高效超分辨算法; 實值運算; 波束域變換; 快速子空間估計; 快速峰值搜索; 免峰值搜索

0引言

波達方向(direction of arrival, DOA)估計是陣列信號處理的重要研究課題之一[1]。自20世紀70年代至今,該技術(shù)經(jīng)歷了一個繁榮的發(fā)展階段,取得了輝煌的研究成果。1986年,美國學(xué)者Schmidt提出了著名的多重信號分類(multiple signal classification, MUSIC)算法[2],實現(xiàn)了傳統(tǒng)空間譜估計向超分辨測向的飛躍,成為空間譜估計發(fā)展歷史上的一個重要里程碑。

然而隨著應(yīng)用的深入,人們發(fā)現(xiàn)以MUSIC為代表的超分辨算法在實際應(yīng)用中普遍存在穩(wěn)健性差[3]、計算量大[4]、對陣列結(jié)構(gòu)依賴性強[5]等缺陷。這些缺陷與超分辨近乎完美的理論性能形成了鮮明對比,促使空間譜估計研究熱點由最初對算法性能的不懈追求逐漸轉(zhuǎn)向為對超分辨理論實際工程化的研究,而高效超分辨算法則是這其中的一個重要研究方向。

高效超分辨算法致力于降低傳統(tǒng)算法的計算量、節(jié)約系統(tǒng)的實現(xiàn)成本、弱化超分辨理論對陣列結(jié)構(gòu)等外界輸入條件的依賴性,是推進超分辨理論工程化的重要環(huán)節(jié)。由于MUSIC算法開創(chuàng)了超分辨DOA估計的先河,本文從基于MUSIC派生超分辨算法的角度入手,將現(xiàn)存高效超分辨算法劃分為實值運算、波束域變換、快速子空間分解、快速峰值搜索和免峰值搜索5大類別。在此基礎(chǔ)上,全面總結(jié)各類高效算法的興起、發(fā)展和最新研究進展,同時深入對比分析它們的優(yōu)缺點。最后,結(jié)合實際工程化的應(yīng)用需求,指出高效超分辨算法的未來發(fā)展趨勢。

1數(shù)據(jù)模型及MUSIC算法

1.1典型一維數(shù)據(jù)模型

不失一般性,本文以一維數(shù)據(jù)模型為例展開論述,相關(guān)推導(dǎo)和結(jié)論可直接擴展到二維情形。

常用典型一維DOA估計數(shù)據(jù)模型可表示為

(1)

式中,N為快拍數(shù);x(t)∈CM×1,s(t)∈CL×1及n(t)∈CM×1分別是接收數(shù)據(jù)、入射信號及高斯白噪聲向量；A(θ)[a(θ1),a(θ2),…,a(θL)]∈CM×L是導(dǎo)向矢量矩陣且導(dǎo)向矢量a(θ)定義為

(2)

陣列接收數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣定義為

(3)

式中,S為信號協(xié)方差矩陣;σ2為高斯白噪聲功率。對R進行特征值分解,可得

(4)

式中,λi(i=1,…,L)和λj(j=L+1,…,M)分別為R的L個大特征值及M-L個小特征值；ei和ej分別為λi和λj對應(yīng)的特征矢量。定義矩陣

(5)

則Es和En的列分別張成信號子空間和噪聲子空間?？梢宰C明[2]:span(Es)⊥span(En)且span(Es)=span(A)。實際應(yīng)用中,理想R無法獲得,可以用N快拍數(shù)據(jù)對其進行估計，即

(6)

1.2MUSIC算法

根據(jù)信號子空間與噪聲子空間的正交性可知,在信號入射方向θ,有aH(θ)En=0。由此,可構(gòu)造MUSIC空間譜函數(shù)

(7)

在[-π/2,π/2]內(nèi)搜索,使fMUSIC(θ)出現(xiàn)極大值的入射角θ即為信號DOA,這就是MUSIC算法。

MUSIC的提出開創(chuàng)了超分辨DOA估計的嶄新時代,掀起了世界眾多學(xué)者對于超分辨空間譜估計的研究熱潮,成為了空間譜發(fā)展歷史上的一個重要里程碑。

雖然MUSIC實現(xiàn)了真正的超分辨測角,但其計算量通常很大。龐大的計算量使超分辨理論在實際工程、尤其是對實時性要求較高的工程中的應(yīng)用變得異常困難。為了推進超分辨理論的工程化進度,學(xué)者們不得不對高效超分辨算法展開研究。

2高效超分辨算法分類

伴隨空間譜估計30余年的發(fā)展,高效超分辨算法取得了豐碩的研究成果。為了準確、清晰地認識這些算法的發(fā)展歷程和最新進展,本節(jié)首先對MUSIC的計算量進行分析,接著對以MUSIC為算法原型、派生高效算法的方法進行歸納分析,最后對現(xiàn)存主流高效超分辨算法進行分類,從而為后文高效超分辨算法分類綜述奠定基礎(chǔ)。

2.1MUSIC計算量分析

2.2基于MUSIC派生高效算法的方法

由于子空間估計和峰值搜索是MUSIC的兩個最主要計算單元,故從計算量構(gòu)成的角度可得到“MUSIC≈子空間估計+峰值搜索”的近似等式。此等式有利于對以MUSIC為基本算法原型、派生高效算法的方法進行歸納。

由上述等式易見:可通過如下3方面方法實現(xiàn)超分辨算法的高效性:

(2) 降低峰值搜索的計算量。峰值搜索通常是一個多維(包含1維)的參量聯(lián)合遍歷過程,因此該類方法的出發(fā)點集中在以下3方面:一是降低峰值搜索的維度(如從2維搜索降低到1維搜索);二是壓縮峰值搜索的參量范圍;三是徹底避免峰值搜索。

需要強調(diào)的是,上述3類高效化方法雖然來源于對MUSIC計算量的分析,但它們同樣可對其他超分辨算法實現(xiàn)高效性。另外,可以連續(xù)使用不同方法實現(xiàn)高效性,如實值旋轉(zhuǎn)不變子空間(unitaryestimatesignalparameterviarotationalinvariancetechnique,U-ESPRIT)算法先以上述第(2)方面方法避免了峰值搜索,又以第(3)方面方法實現(xiàn)了實值化[8]。

2.3高效超分辨算法分類

根據(jù)上述分析,選取MUSIC為基本算法模型,以從MUSIC派生高效超分辨算法的目的(目的層)和方法(方法層)角度入手,對現(xiàn)存高效超分辨算法進行分類和劃分,結(jié)果如圖1所示。

圖1　高效超分辨算法分類

圖1中的各類算法相對于MUSIC處理流程的分布關(guān)系如圖2所示。由圖2可見:不同類別的算法在實際應(yīng)用中可能存在交叉。然而,從基于MUSIC派生高效算法的角度對現(xiàn)存高效超分辨算法分類,有利于全面認識高效算法的發(fā)展,也有利于對不同機理的算法性能進行對比分析。下文對各類高效算法分別展開綜述。

圖2　5類算法相對于MUSIC流程的分布

3實值運算類高效算法

3.1超分辨算法實值化方法

3.1.1酉變換

酉變換是當(dāng)來波信號非相干時,對超分辨算法進行實值化的代表性技術(shù),該技術(shù)由Huarng和Yeh于1991年首次提出[9]。他們觀察發(fā)現(xiàn):在諸如均勻線陣(uniform linear array, ULA)這樣的中心對稱陣(centro-symmetric array, CSA)中,導(dǎo)向矢量a(θ)具有中心對稱性

(8)

式中,φ(θ)為相位差;J為反對角矩陣。

基于式(8)可以證明:當(dāng)信號協(xié)方差陣RS是一個對角矩陣,即來波信號非相干時,式(3)給出的協(xié)方差陣R是一個艾米特中心對稱陣(centro-Hermitianmatrix,CHM)。由此,可對R進行變換

(9)

其中,當(dāng)M為偶數(shù)時,U矩陣定義為

(10a)

當(dāng)M為奇數(shù)時,U矩陣定義為

(10b)

3.1.2前后向平滑

(11)

3.2實值算法研究進展

繼酉變換和FB之后,實值類高效算法得到了世界各國學(xué)者的廣泛關(guān)注并取得了豐碩的研究成果。

文獻[8]基于CSA提出了U-ESPRIT算法,在降低運算量的同時獲得了優(yōu)于ESPRIT的估計精度，同時，利用U-ESPRIT解決了非圓信號(若信號s與其任意旋轉(zhuǎn)sejφ具有相同的一階矩和二階矩則稱s為非圓信號)DOA估計[11]及多維諧波恢復(fù)問題[12]。文獻[13]對實值類算法進行了全面、深入的研究，針對U-ESPRIT對DOA估計可能失敗的缺點,提出了基于偽噪聲采樣的改進算法,同時將傳統(tǒng)DOA估計技術(shù)(method of direction estimation, MODE)和root-MUSIC實值化,提出了U-MODE[14]和U-root-MUSIC算法[15],還利用理論分析和實測聲納、超聲波數(shù)據(jù)證實了實值類算法比復(fù)值類算法估計性能更好。文獻[16]提出了一種U-ESPRIT頻率估計算法,新算法相比于經(jīng)典ESPRIT在不犧牲算法精度的同時極大地降低了算法復(fù)雜度。文獻[17]利用投影映射建立了z平面上半圓與實值區(qū)間[-1,1]的對應(yīng)關(guān)系,進而提出了ULA下的U-root-MUSIC算法。文獻[18-19]基于CSA先后提出了U-MVM算法和實值矩陣束(unitary matrix pencil, U-MP)算法,在降低計算量的同時獲得了更高的測角精度。

近年來,實值類算法的研究熱點正逐漸由不同算法的實值化轉(zhuǎn)向為算法在具體系統(tǒng)的應(yīng)用,但相關(guān)報道很少。2011年,文獻[20]提出了適用于電控?zé)o源陣列天線(electronically steerable parasitic array radiator, ESPAR)的實值U-RD-MUSIC算法。2012年,文獻[21]提出了適用多輸入多輸出(multiple input multiple output, MIMO)雷達系統(tǒng)的U-MUSIC算法。

一般而言,超分辨算法的復(fù)雜度和估計精度是難以調(diào)和的一對矛盾,這意味著超高的估計精度是以巨額的計算開銷為代價的。然而,實值類算法實現(xiàn)了低復(fù)雜度和高精度的雙贏,因而是高效超分辨發(fā)展歷史上具有重要意義的研究成果。然而不幸的是,現(xiàn)存實值類算法幾乎都是基于CSA結(jié)構(gòu)提出的,當(dāng)陣列不滿足中心對稱時,它們也不再適用,如表1所示。

表1　實值類算法優(yōu)缺點及發(fā)展趨勢

上述分析可見:推導(dǎo)適用于任意陣列的高效實值類算法是高效超分辨領(lǐng)域亟待解決的難題。在此方面,筆者近年來提出了半實值DOA估計的概念[22]。半實值算法可實現(xiàn)與實值算法相同的計算效率,同時能適用于任意陣列結(jié)構(gòu),為實值算法向任意陣列結(jié)構(gòu)的過渡提供了理論參考。

4波束域變換類高效算法

BS域變換是實現(xiàn)超分辨算法高效性的另一重要方法。需要注意的是,這里所說的BS域變換與自適應(yīng)波束形成(adaptive beam-forming, ABF)[23]不同。ABF通過對各陣元加權(quán)實現(xiàn)空域濾波,而BS域變換通過對接收數(shù)據(jù)降維實現(xiàn)算法復(fù)雜度的降低,其基本原理如圖3所示。其中,x(t)和y(t)分別為ES域天線真實輸出數(shù)據(jù)和BS域虛擬變換數(shù)據(jù),且二者滿足

(12)

式中,B∈CM×T為波束形成矩陣;T為波束數(shù)。

由于x(t)∈CM×1,y(t)∈CT×1且T≤M,因此BS域變換能把R陣分解和譜峰搜索的計算量分別從O(M3)和O(JM2)降低到O(T3)和O(JT2)。

圖3　波束域變換基本原理[79]

BS變換最早由美國學(xué)者Bienvenu[24]和德國學(xué)者Byrne[25]提出。文獻[24]發(fā)現(xiàn)在傳統(tǒng)ES域算法前端對陣元輸出數(shù)據(jù)進行BS變換,能降低超分辨算法對陣元誤差的靈敏度;文獻[25]發(fā)現(xiàn)在以EVD為基礎(chǔ)的超分辨方法前端進行BS變換,能得到感興趣區(qū)域的穩(wěn)定DOA估計。

隨后,一些學(xué)者嘗試著將高分辨算法運用到BS域。著名學(xué)者Lee[26]和Zoltowski[27]分別對ES域MUSIC和root-MUSIC算法進行了研究并分別提出了BS-MUSIC和BS-root-MUSIC算法。近年來,文獻[28，30]分別推導(dǎo)出了適用于MIMO的BS-ESPRIT和BS-WSF算法。文獻[29]用統(tǒng)一的形式分析了這幾種算法的性能,用一個簡單的表達式通過基陣陣列流形和波束形成矩陣等物理量表示了這些算法對方位估計的均方誤差(mean square error, MSE),討論了使方位估計MSE最小的波束形成矩陣B的設(shè)計準則。

BS域算法大多都采用了數(shù)據(jù)降維處理,把原本以陣元數(shù)為維數(shù)的方位估計問題轉(zhuǎn)換為以波束數(shù)為維數(shù)的估計問題。這種維數(shù)的降低,是波束域方法運算量下降的基礎(chǔ)。維數(shù)的降低本質(zhì)上使得天線陣觀測的空間區(qū)域變小,也使得陣列空間原本完整的輸出數(shù)據(jù)信息被部分丟棄。因此,BS域算法的估計準確度和精度必然受到影響。

一般而言,BS域算法估計精度與波束數(shù)目及位置有關(guān),然而無論怎樣選取波束形成矩陣B,大多數(shù)BS域算法的克拉美羅下界(Cramer-Raolowerbound,CRLB)總是不小于ES域算法的CRLB[30]。事實上,為了正確地估計信號入射角,BS域算法通常需要假定待測信源在某個特定的角度分片之內(nèi)。因而,BS域算法通常需要信號入射角的先驗信息。研究發(fā)現(xiàn):只有當(dāng)待測信源在先驗已知的入射角度分片內(nèi)時,BS域算法才具有與ES域算法相同的CRLB[30]。

5快速子空間估計類高效算法

快速子空間估計類算法致力于提高信號子空間或噪聲子空間的估計效率,進而降低超分辨算法的計算量。由于子空間估計常R矩陣分解實現(xiàn),因此該類方法的出發(fā)點要么是以快速算法降低矩陣分解的計算量,要么是選取替代方案徹底避免矩陣分解。

5.1快速矩陣分解類算法

為了降低R分解的計算量,學(xué)者們提出了許多快速子空間估計算法,主要包括傳播算子(propagator method, PM)算法[31]、梯度算法[32]、冪迭代算法[33]及由文獻[34]基于Lanczos算子提出的快速子空間分解(fast subspace decomposition, FSD)算法。其中,PM和FSD算法效果最為明顯。PM利用線性運算代替EVD和SVD運算,能夠快速得到子空間分解值,較好地降低了算法的計算量。FSD在大陣元數(shù)、小信源數(shù)的DOA估計問題中具有非常明顯的計算效率優(yōu)勢,其復(fù)雜度約為

(13)

通常M>L,因此相比于傳統(tǒng)方法O(M3)的計算量,FSD能大幅降低協(xié)方差矩陣分解的計算量。

FSD算法的前提是假設(shè)R已知,而以接收數(shù)據(jù)估計R仍需較大計算量,故研究無需R估計的快速子空間估計方法很有意義。為此,文獻[35]利用多級維納濾波器在最小均方意義下得到了Wiener-Hopf方程的最優(yōu)解,實現(xiàn)了無需R估計的快速子空間估計方法,同時有效降低了R分解的復(fù)雜度。

5.2免矩陣分解類算法

為了徹底避免矩陣分解,許多無需矩陣分解的高效算法應(yīng)運而生。文獻[6]利用二維L型ULA組合陣列,以L型陣列間相關(guān)協(xié)方差矩陣線性運算估計噪聲子空間,避免了矩陣分解。文獻[36]在最小二乘準則下建立了線性預(yù)測方程組,通過求解該方程組的解獲得信號子空間的標準正交基,從而避免了繁雜的矩陣分解運算。理論分析和實驗表結(jié)果明,該方法可獲得與MUSIC相當(dāng)?shù)墓烙嬓阅堋Ｎ墨I[37]基于ULA的旋轉(zhuǎn)不變性,提出了一種無需特征值分解的子空間類算法(subspace-basedmethodwithouteigendecomposition,SUMWE)。該算法通過子陣平均和子陣互相關(guān)處理,以線性運算快速估計噪聲子空間,同時較好地克服了信號相關(guān)對于DOA估計的影響。

免矩陣分解快速子空間估計算法以線性運算代替矩陣EVD或SVD分解迭代過程,大大降低了算法的復(fù)雜度。然而不幸的是,此類算法大多建立在特殊的信號或陣列結(jié)構(gòu)假設(shè)之上。另外,這類算法通常也只能得到信號子空間或噪聲子空間的近似值,精度相對較差。

一般而言,子空間估計的計算量與陣元數(shù)M的平方成正比,譜峰搜索的計算量與空間譜采樣點數(shù)J成正比。由于J?M,故子空間估計的計算量遠小于空間譜峰值搜索的計算量。因此,減少或者徹底避免空間譜峰值搜索是實現(xiàn)超分辨算法高效性的關(guān)鍵。

6快速搜索類高效算法

快速搜索類算法以降低搜索參量維度、壓縮搜索參量范圍、避免搜索過程等方式實現(xiàn)超分辨算法的高效性。

6.1降維搜索類算法

降維處理類算法多應(yīng)用于多維參數(shù)的聯(lián)合估計,其目的是將多維搜索降低為有限個一維搜索,從而降低算法的復(fù)雜度。這類算法意義重大,但研究成果十分有限。

文獻[6]基于L型ULA組合陣列,以L型陣列間相關(guān)協(xié)方差矩陣線性運算估計噪聲子空間,然后基于兩個一維搜索實現(xiàn)高精度二維DOA估計。相比于2D-MUSIC算法,該方法較好地提高了算法在低信噪比和小快拍數(shù)下的估計性能。文獻[38]針對MIMO中離開角(directionofdepart,DOD)和DOA聯(lián)合估計問題,利用噪聲投影矩陣的可逆性提出了降維MUSIC(reduceddimensionMUSIC,RD-MUSIC)算法,將2D-MUSIC算法中的二維搜索化簡為一次一維搜索,極大地降低了復(fù)雜度。隨后,文獻[39]討論了RD-MUSIC算法的角度取值情況,進一步縮小了搜索范圍。文獻[40]針對多通道DOA和到達時間(timeofarrival,TOA)聯(lián)合估計問題,提出了基于樹結(jié)構(gòu)的TST-MUSIC算法,將二維搜索轉(zhuǎn)換為3次一維搜索。在此基礎(chǔ)上,文獻[41]提出了FSF-MUSIC算法,用3次一維搜索解決二維DOA和信號頻率聯(lián)合估計問題;文獻[42]同樣基于樹結(jié)構(gòu)思想提出了用于2D-DOA聯(lián)合估計的新算法,同時分析了算法的理論性能。

盡管上述幾種不同的降維搜索類算法已在實際應(yīng)用中提高了DOA估計的效率,但遺憾的是,這些算法均或多或少地對算法的適用情景進行了限定,如表2所示。因此,如何基于一般陣列結(jié)構(gòu)對多維搜索類算法實現(xiàn)降維處理,依然是空間譜估計領(lǐng)域亟待攻克的一個理論難題。

表2　典型降維搜素類算法對比

6.2分片搜索類算法

分片搜索類算法的目的是將多維譜峰搜索的參量范圍從整個參量空間縮小到某一感興趣的小參量分片內(nèi),從而有效地降低算法的復(fù)雜度。這類算法常需要借助特殊的陣列結(jié)構(gòu)或預(yù)知的信號入射角先驗信息。

現(xiàn)存的主流分片搜索類算法主要有兩類,一是基于FFT的改進算法[43];二是基于BS域變換的數(shù)據(jù)降維處理算法[24-30]。前者依據(jù)ULA下陣列輸出的均勻相移性質(zhì),先以FFT形成多個波束,初步確定可能的DOA范圍,再利用MUSIC算法在初估計范圍內(nèi)搜索,最終得到高精度DOA估計值。后者已在前文進行了論述。

近年來,筆者基于參量分片思想提出了全新的高效壓縮譜理論(spectral compression theory, SCT),并發(fā)展了一系列高效超分辨DOA估計算法[7,44-47]。相比于FFT改進算法及BS域降維算法,SCT具有無需角度先驗信息、適用任意陣列結(jié)構(gòu)、具有更低噪聲子空間維度、同時適用1D-DOA和2D-DOA估計等諸多優(yōu)點。

7免搜索類高效算法

免搜索類算法通過徹底避免繁雜的譜峰搜索過程降低算法的計算量,其典型代表即為由文獻[48]提出的旋轉(zhuǎn)不變子空間(estimation of signal parameters via rotational invariance techniques, ESPRIT)算法以及由文獻[49]提出的求根MUSIC(root-MUSIC)算法。

7.1旋轉(zhuǎn)不變子空間類算法

當(dāng)陣列存在導(dǎo)向矢量分別為A1(θ)和A2(θ)的兩個子陣且A1(θ)和A2(θ)滿足

(14)

所示的旋轉(zhuǎn)不變性時,即可用ESPRIT避免峰值搜索。與MUSIC不同,ESPRIT是信號子空間類算法,它利用陣列信號子空間之間的旋轉(zhuǎn)不變特性進行信號參數(shù)估計,直接得到信號DOA估計的閉式解,從而降低算法的復(fù)雜度[48]。

考慮到ESPRIT仍需對R進行EVD或SVD分解,其計算量依然較大。為了進一步降低ESPRIT子空間估計的復(fù)雜度,學(xué)者們提出了許多低復(fù)雜度改進算法。

國外方面,文獻[50]基于PM算子從陣列接收數(shù)據(jù)中快速提取噪聲子空間,而文獻[51]通過求解線性最小均方問題獲得了信號子空間基。文獻[52-54]利用R的離散傅里葉變換(discreteFouriertransform,DFT)獲取了信號子空間特征向量。雖然這些方法與ESPRIT相比降低了計算的復(fù)雜度,便利了算法的實時處理,然而它們均需要較多的先驗知識,這大大限制了算法的擴展性。

國內(nèi)方面,文獻[55]利用R的冪估計噪聲子空間,然后對噪聲子空間進行QR分解并使用R估計信源個數(shù)。由于利用了QR分解且噪聲子空間矩陣的維度比R的維度更低,因此,新算法降低了復(fù)雜度。文獻[56]基于共軛梯度算法和矩陣-向量之間的線性運算方法實現(xiàn)了信號子空間的快速估計。另一方面,文獻[57-58]利用MIMO系統(tǒng)的信號特性,分別基于虛擬陣列和矩陣降維思想提出了高效ESPRIT算法。

ESPRIT及其改進算法相比于MUSIC類算法雖然極大地降低了復(fù)雜度,同時在信號頻率估計中表現(xiàn)出了優(yōu)于MUSIC類算法的性能(見文獻[59]第4.7節(jié)),但大多數(shù)ESPRIT類算法都是建立在陣列結(jié)構(gòu)的旋轉(zhuǎn)不變性之上的,因此該類算法的應(yīng)用范圍相比于MUSIC類算法較小。

7.2多項式求根類算法

root-MUSIC是求根類高效算法的典型代表。雖然是MUSIC在ULA下的推廣,然而理論分析[60]和實驗結(jié)果[14]均表明:root-MUSIC的估計精度比MUSIC更優(yōu)。由于root-MUSIC僅適用于ULA,故將經(jīng)典root-MUSIC推廣到任意陣陣列結(jié)構(gòu)成為了該類算法的研究熱點。

就目前研究成果而言,在任意陣列結(jié)構(gòu)下借助多項式求根實現(xiàn)快速DOA估計的技術(shù)主要有陣列內(nèi)插(arrayinterpolation,AI)、流形分離(manifoldseparationtechnique,MST)及頻域求根(Fourier-domainrootMUSIC,FD-root-MUSIC),如圖4所示。

圖4　任意陣列求根的主要實現(xiàn)方式

7.2.1陣列內(nèi)插

AI最早由美國學(xué)者Friedlander[61]提出,其基本出發(fā)點是通過陣列變換使得任意陣列的導(dǎo)向矢量a(θ)具有范德蒙結(jié)構(gòu),即

(15)

式中,b1(θ)是具有M1個陣元的虛擬ULA的導(dǎo)向矢量;Ψ1是設(shè)計的內(nèi)插矩陣。由于b1(θ)具有范德蒙結(jié)構(gòu),故可基于內(nèi)插后的虛擬ULA,以多項式求根進行DOA估計。

尋求高效、變換誤差小的陣列內(nèi)插方法是AI技術(shù)的研究熱點。文獻[62]針對2D-CA陣列提出了用于2D-DOA估計的新算法。新算法利用兩次陣列內(nèi)插得到平移不變子陣,然后利用子陣關(guān)系得到俯仰角,最后利用一維搜索得到方位角,降低了AI轉(zhuǎn)換誤差,但計算量有所增加。文獻[63]提出了一種Toeplitz-Introduced變換算法,該算法將NULA轉(zhuǎn)換為ULA并利用root-MUSIC和ESPRIT估計信號DOA,有效提高了算法的估計性能。文獻[64]根據(jù)信源分布的先驗信息,將AI技術(shù)與數(shù)據(jù)降維聯(lián)合應(yīng)用,提出了一種低復(fù)雜度DOA估計算法。文獻[65]將圓陣(circular array, CA)轉(zhuǎn)化為ULA且保持陣元間距為半波長,通過陣列孔徑增加思想提出了一種內(nèi)插算法,克服了傳統(tǒng)變換方法將CA轉(zhuǎn)換為ULA時分辨率不高的缺點。

7.2.2流形分離

MST是近年來出現(xiàn)的另一種將求根類算法推到任意陣列結(jié)構(gòu)的新方法。該方法由意大利青年學(xué)者Belloni[66]提出,其基本思想來源于20世紀90年代末產(chǎn)生的波形建模公式[67]。MST基本觀點是將任意陣列導(dǎo)向矢量a(θ)近似分裂成兩個獨立部分的乘積

(16)

式中,Ψ2只與陣列結(jié)構(gòu)參數(shù)有關(guān)；b2(θ)僅與信號DOA有關(guān)且可等效為一個具有M2個陣元的虛擬ULA的導(dǎo)向矢量。因此,b2(θ)與信號DOA有關(guān)且具有范德蒙結(jié)構(gòu)。由于信號DOA包含于具有范德蒙結(jié)構(gòu)的b2(θ)之中,故可利用該部分以多項式求根估計DOA。

與AI相比,MST無需進行角度區(qū)間分割,故其變換誤差更小。另外,MST的所有信號處理均是在ES域進行的,這避免了BS域變換與生俱來的映射誤差。然而,MST為了達到足夠精度,需對陣列流形互耦、天線誤差、陣元取向和陣元位置等非理想因素進行校正。與AI相似,MST在得到近似多項式后,基于root-MUSIC估計信號DOA的精度與該多項式的階數(shù)密切相關(guān)。通常,階數(shù)M2需按式(17)準則選取以保證足夠估計精度:

M2≈4kQ

(17)

式中,k是信號波數(shù);Q是陣列最大孔徑。大階數(shù)M2的選取使得MST常需對遠大于陣元數(shù)的多項式求根。例如,對一個16陣元德URA,MST需對階數(shù)高達55的多項式求根[68]。因此,MST復(fù)雜度改善未必十分明顯。

目前,對MST研究成果較少。國外方面,文獻[69]分析了MST的理論性能,給出了以MST進行DOA估計的“漸進”MSE封閉表達式。文獻[70]提出了基于MST的2D-DOA估計算法,在無需精確已知導(dǎo)向矢量的條件下以多項式求根得到俯仰角和方位角估計值。國內(nèi)方面,文獻[71]對MST性能進行了全面仿真分析,揭示了MST性能主要取決于信噪比(signal-to-noise ratio, SNR)和模式數(shù)的基本事實。文獻[72]將MST采樣矩陣的求取轉(zhuǎn)化為最小二乘問題,以root-MUSIC算法解決非均勻圓陣(non-uniform CA, NUCA)下的DOA估計問題。文獻[73]將MST和PM綜合,解決了2D-UCA下DOA估計精度因陣元數(shù)減少而下降的難題。

7.2.3頻域求根

FD-root-MUSIC由德國學(xué)者Rübsamen[68]提出,其利用了如下數(shù)學(xué)事實:任意陣列結(jié)構(gòu)下的MUSIC空間譜函數(shù)fMUSIC(θ)是關(guān)于信號入射角θ的周期函數(shù),其周期為2π,即

(18)

眾所周知,任何一個周期函數(shù)都可近似表示為無限長度的傅里葉級數(shù)。由于傅里葉級數(shù)具有范德蒙結(jié)構(gòu),故可利用多項式求根實現(xiàn)快速DOA估計。FD-root-MUSIC據(jù)此將MUSIC空間譜表示為無限長度的傅里葉級數(shù),然后基于一定準則對該級數(shù)進行如式(19)所示的截斷。

(19)

式中,系數(shù)Fm可通過數(shù)據(jù)填充和FFT求解得到。

業(yè)已證明:在相同截斷長度下,即M2=M3時,FD-root-MUSIC具有比MST更好的估計精度[68]。由于FD-root-MUSIC對無限長傅里葉級數(shù)進行了有限截斷,因此該級數(shù)的階數(shù)通常需要取值很大以保證足夠的近似精度,而高階多項式求根復(fù)雜度依然很高。為了克服該缺點,文獻[74]基于傅里葉級數(shù)的勞倫結(jié)構(gòu)對FD-root-MUSIC進行了改進,新算法在保持估計精度不下降的同時,降低了多項式的求根階數(shù),減少了算法的復(fù)雜度。目前,尚未見FD-root-MUSIC算法在2D-DOA估計中的研究報道。

除root-MUSIC之外,求根類算法還包括root-WSF[75]、root-SUMWE[76]、root-MNM[77]以及root-Capon[78]等,由于這類算法的原型都是針對ULA提出的,因此,可用AI和MST技術(shù)來對這些算法的適用陣形進行擴展。

需要強調(diào)的是:求根類DOA估計算法常以迭代方法求解多項式的根,因此該類算法的計算效率會受求根多項式階數(shù)(由陣元數(shù)決定)的顯著影響,如圖5所示。仿真平臺及仿真條件如下：Intel(R) Core(TM)2 Duo CPU, 2 GHz, 1 GB內(nèi)存,半波長ULA,快拍數(shù)100,信噪比10 dB,信號DOA為30°和50°,MUSIC譜峰值搜索步長為0.005 3°。

圖5　仿真時間與陣元數(shù)關(guān)系

由圖5可見，當(dāng)陣元數(shù)較大時,相比于搜索類算法,求根類算法的計算效率未必突出。因此,對于root-MUSIC、root-MNM、root-WSF等經(jīng)典求根算法以及A1、MST、FD-root-MUSIC等新型技術(shù),它們在工程應(yīng)用中均會面臨如何快速求根的問題。因此,根據(jù)空間譜估計的具體理論模型和應(yīng)用背景,研究適合于快速DOA估計的求根類算法的“實現(xiàn)”方法,是目前亟待解決的一個理論問題。

8典型算法仿真分析

本節(jié)對上述5類高效超分辨算法中具有代表性的典型算法進行計算機仿真分析和對比。由于這5類算法都具有超分辨性能和高計算效率,因此實驗重點考察和對比分析各類算法的估計性能和計算效率。

實驗選取的典型算法為:實值運算類算法U-MUSIC[9]、波束域變換類算法BS-MUSIC[26]、快速子空間估計類算法SUMWE-MUSIC(先以SUMWE估計噪聲子空間,后以MUSIC估計DOA)[37]、快速峰值搜索類算法C-MUSIC[45]和免峰值搜索類算法ESPRIT[48]。其中,BS-MUSIC角度變換區(qū)域為20°~40°,波束數(shù)為T=6,波束形成矩陣B按BS5方法計算(詳見文獻[79]第4.4.1節(jié))。C-MUSIC壓縮倍數(shù)為β=2。各仿真結(jié)果均為1 000次Monte-Carlo統(tǒng)計均值。

8.1不同算法的估計性能對比

圖6給出了利用6種高效算法進行DOA估計的MSE值隨SNR的變化對比曲線。為了強化比較,實驗同時引入MUSIC[2]和無限制CRLB[80]作為性能參考。實驗參數(shù)設(shè)置如下：12陣元半波長ULA,快拍數(shù)為200,信號數(shù)為2,DOA為30°和50°。譜搜索步長0.005 3°。

圖6　估計精度與信噪比關(guān)系

由圖6可見:

(1) 6種算法中,U-MUSIC估計精度最高,其在低信噪比下也表現(xiàn)出非常接近于CRLB的估計性能。事實上,類似結(jié)論已從同類超分辨算法的復(fù)值版本和實值版本比較中獲得[8-9,14-15]。因此,實值類算法實現(xiàn)了計算高效性和估計高精度的雙贏[22]。

(2) ESPRIT的估計精度均差于其他5類算法?？紤]到ESPRIT相比于搜索類算法避免了峰值搜索,相比于求根類算法避免了高階多項式求根,故ESPRIT是5類快速算法中以精度換取低復(fù)雜度最為高效的一種算法[22,45,48]。

(3) BS-MUSIC、SUMWE-MUSIC和C-MUSIC的精度相當(dāng)且接近于MUSIC。隨著SNR提高,3種高效算法的MSE均趨向于CRLB,故這3類高效算法在降低計算量的同時,未引起估計精度的過大犧牲[26-27,45,79]。

8.2不同算法的計算效率對比

圖7給出了6種算法的仿真時間隨陣元數(shù)的變化關(guān)系。仿真平臺及仿真條件如下：Intel(R) Core(TM)2 Duo CPU, 2 GHz, 1 GB內(nèi)存,ULA,快拍數(shù)200,信噪比10 dB,信號DOA為30°和50°,搜索類算法搜索范圍20°~40°,搜索步長0.005 3°。

圖7　仿真時間與陣元數(shù)關(guān)系

由圖7可見:

(1) 5種高效算法相比于MUSIC均大幅提高了算法的計算效率。當(dāng)陣元數(shù)較大時,這種計算效率優(yōu)勢越發(fā)明顯；

(2) 由于徹底避免了峰值搜索[47],ESPRIT相比于其他5類搜索類算法表現(xiàn)出最為明顯的計算效率優(yōu)勢；

(3) U-MUSIC借助實值變換減少了約75%計算量[9],其計算效率在5種搜索類算法中最高；

(4) C-MUSIC將搜索范圍進行了β倍壓縮且相比于其他5類搜索類算法降低了噪聲子空間的維度[45],故其表現(xiàn)出僅次于U-MUSIC的計算效率[22]；

(5) BS-MUSIC和SUMWE-MUSIC分別降低了數(shù)據(jù)的維度和子空間估計的計算量,但未減少峰值搜索范圍[26,37],故二者的計算效率相當(dāng)并略差于C-MUSIC。

由上述仿真分析可見:大多數(shù)高效超分辨算法在降低算法計算量的同時,較好保持甚至提高了算法的估計性能。然而需要注意的是,相比于經(jīng)典MUSIC,這些高效算法或多或少地引入了一定的假設(shè)條件。例如,U-MUSIC等實值運算類算法需要陣列滿足中心對稱性,BS-MUSIC等波束域變換變換類算法需假定待估計DOA位于特定角度區(qū)域之內(nèi),SUMWE等快速子空間估計類算法依賴于陣列結(jié)構(gòu)的旋轉(zhuǎn)不變性;C-MUSIC等快速搜索類算法對陣元數(shù)有更強限制(M>βL)[45]。因此,在工程應(yīng)用中,應(yīng)根據(jù)實際條件靈活選擇各類高效算法。

9結(jié)束語

空間譜估計技術(shù)經(jīng)過了近30年的蓬勃發(fā)展,已經(jīng)取得了異常輝煌的研究成果,然而實際工程化的不斷深入使得學(xué)者們不得不將研究的重心由最初對算法性能的無限追求不斷轉(zhuǎn)化到算法在實際工程應(yīng)用中的落實中來。因此,如何在復(fù)雜環(huán)境中快速、有效地進行多源信號測向仍是目前亟待解決的一大難題。

本文全面回顧總結(jié)了高效超分辨算法的發(fā)展歷史和最新進展,分析對比了實值運算、波束域變換、多項式求根及子空間4大類高效超分辨算法的優(yōu)缺點?；谏鲜龇治霾浑y看出,在超分辨算法的高效性方面仍有以下問題亟待學(xué)者們深入研究:

(1) 任意陣列結(jié)構(gòu)下的降維搜索類算法。在許多實際應(yīng)用中,常會以計算量龐大的多維空間搜索聯(lián)合估計入射信號的頻率、極化、DOA、TOA等參數(shù)。雖然近年來產(chǎn)生了一些降維搜索類算法,但其或多或少地對陣列結(jié)構(gòu)進行了限定。近年來,筆者提出了壓縮譜理論,較好地解決了任意陣列結(jié)構(gòu)下的高效超分辨DOA估計問題,但其相比于降維搜索算法的高效性仍有一定距離。因此,適用于任意陣列結(jié)構(gòu)的降維搜索算法是超分辨領(lǐng)域亟待攻克的一個理論難題。

(2) 任意陣列結(jié)構(gòu)下的實值類算法。實值類算法相比于復(fù)值類算法實現(xiàn)了低復(fù)雜度和高精度的雙重收益,然而現(xiàn)存的實值算法幾乎都是基于CSA結(jié)構(gòu)提出的,這極大地限制了實值類算法的應(yīng)用范圍。近年來,筆者提出了適用于任意陣列結(jié)構(gòu)的半實值類超分辨算法,在實值化算法的陣列結(jié)構(gòu)普適性方面邁出了過渡性的一步,但目前仍未見任意陣列結(jié)構(gòu)下的實值類算法報道,因此該方面工作仍然需要深入研究。

(3) 求根類算法的實際工程化。在實際工程中,常常需借助迭代算法求解多項式的根,進而估計信號DOA。因此,求根類算法在實際工程應(yīng)用中必然均會面臨如何快速求根的問題。一般而言,迭代計算因受初值設(shè)置和迭代方法的影響常會出現(xiàn)迭代費時、收斂錯誤甚至不收斂的問題。因此,如何根據(jù)空間譜估計的具體應(yīng)用背景,提出高效、穩(wěn)健的求根類DOA估計算法實現(xiàn)途徑是需要解決的一個實際問題。

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閆鋒剛(1982-),男,講師,博士,主要研究方向為陣列信號處理及統(tǒng)計性能分析。

E-mail:yfglion@163.com

沈毅(1965-),男,教授,博士研究生導(dǎo)師,博士,主要研究方向為智能檢測、控制及信號處理。

E-mail:shen@hit.edu.cn

劉帥(1980-),男,副教授,博士,主要研究方向為陣列信號處理。

E-mail:liushuaiboy@163.com

金銘(1968-),男,教授,博士研究生導(dǎo)師,博士,主要研究方向為雷達對抗及陣列信號處理。

E-mail:hit0987@sohu.com

喬曉林(1948-),男,教授,博士研究生導(dǎo)師,博士,主要研究方向為信號處理、無線通信、特種雷達、極化敏感陣列信號。

E-mail:paulqiao@sohu.com

網(wǎng)絡(luò)優(yōu)先出版地址：http://www.cnki.net/kcms/detail/11.2422.TN.20141229.1543.001.html

Overview of efficient algorithms for super-resolution DOA estimates

YAN Feng-gang1, SHEN Yi2, LIU Shuai1, JIN Ming1, QIAO Xiao-lin1

(1.SchoolofInformationandElectricalEngineering,HarbinInstituteofTechnologyat

Weihai,Weihai264209,China; 2.SchoolofAstronautics,Harbin

InstituteofTechnology,Harbin150001,China)

Abstract:Computationally efficient methods for super-resolution direction of arrival (DOA) estimation aim to reduce the complexity of conventional techniques, to economize on the costs of systems and to enhance the robustness of DOA estimators against array geometries and other environmental restrictions, which has been an important topic in the field. According to the theory and elements of the multiple signal classification (MUSIC) algorithm and the primary derivations from MUSIC, state-of-the-art efficient super-resolution DOA estimators are classified into five different types. These five types of approaches reduce the complexity by real-valued computation, beam-space transformation, fast subspace estimation, rapid spectral search, and no spectral search, respectively. With such a classification, comprehensive overviews of each kind of efficient methods are given and numerical comparisons among these estimators are also conducted to illustrate their advantages. Future development trends of efficient algorithms for super-resolution DOA estimates are finally predicted with basic requirements of real-world applications.

Keywords:efficient super-resolution algorithm; real-valued computation; beam-space transformation; fast subspace estimation; rapid spectral search; no spectral search

作者簡介：

中圖分類號：TN 959.2

文獻標志碼：A

DOI:10.3969/j.issn.1001-506X.2015.07.01

基金項目：山東省自然基金(ZR2014FQ003)；中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費專項資金(HIT.NSRIF.2016102);中國博士后科學(xué)基金(2015M571414);哈爾濱工業(yè)大學(xué)(威海)校科學(xué)研究基金(HIT(WH)201411)資助課題

收稿日期：2014-08-15；修回日期：2014-10-29；網(wǎng)絡(luò)優(yōu)先出版日期：2014-12-29。