股票投資模型中的一個(gè)強(qiáng)偏差定理

胡光軍，程　成

(安徽工業(yè)大學(xué) 數(shù)理科學(xué)與工程學(xué)院，安徽 馬鞍山 243002)

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股票投資模型中的一個(gè)強(qiáng)偏差定理

胡光軍，程成

(安徽工業(yè)大學(xué) 數(shù)理科學(xué)與工程學(xué)院，安徽 馬鞍山 243002)

摘要：利用廣義似然比以及廣義漸進(jìn)相對(duì)對(duì)數(shù)似然比作投資股票之間相依程度的一種隨機(jī)性度量和研究隨機(jī)序列強(qiáng)極限的分析方法，研究股票市場(chǎng)中投資者進(jìn)行隨機(jī)決策時(shí)，其收益向量的真實(shí)分布與其關(guān)于邊緣分布平均收益率之間的偏差，在適當(dāng)?shù)臈l件下給出偏差的上下界。

關(guān)鍵詞：Markov不等式；Borel-Cantelli引理；收益率；強(qiáng)偏差定理；投資組合

1952年，馬科維茨(H.Markowitz)提出的投資組合理論奠定了金融投資定量化研究的理論基礎(chǔ)，成為現(xiàn)代投資理論研究的主要論題和決策管理實(shí)踐的重要工具。近年來(lái)國(guó)內(nèi)外眾多學(xué)者對(duì)此進(jìn)行了廣泛深入地研究，取得了大量研究成果[1-5]。文獻(xiàn)[4]和[5]中作者利用鞅方法研究了一類log-最優(yōu)投資組合的極限性質(zhì)。本文應(yīng)用研究隨機(jī)序列強(qiáng)極限的分析方法[6-7]，并在證明中提出了將Markov不等式和Borel-Cantelli引理等工具應(yīng)用于強(qiáng)極限定理的一種途徑。

定義設(shè)收益向量序列Xan+1,…,Xan+n的聯(lián)合分布密度函數(shù)(或概率函數(shù))為pn(xan+1,…,xan+n)，其邊緣分布密度(或分布函數(shù))pk(xk)，k=an+1,…,an+n。稱

為廣義似然比，并稱

為廣義漸進(jìn)相對(duì)對(duì)數(shù)似然比。

定理設(shè){Xn,n≥1}如前定義，c≥0為實(shí)常數(shù)，{an,n≥1}是非負(fù)整數(shù)列。令

D∶={ω∶r(ω)<+∞}

如果

c<∞

則

(1)

(2)

其中

證明設(shè)|s|<1，定義：

現(xiàn)定義隨機(jī)變量如下

注意到

由Markov不等式，對(duì)?ε>0，有

所以

由此，存在A(s)∈F，且P(A(s))=1，由ε的任意性及B-C引理知：

也即

由上極限性質(zhì)及不等式logx≤(x-1)loge(x>0)，當(dāng)ω∈A(s)∩D，有

(3)

由(3)及不等式

有

(4)

取0

(5)

設(shè)Q*是區(qū)間(0,1)中的一個(gè)可數(shù)稠密子集。令A(yù)*=Is∈Q*A(s)，則P(A*)=1，由(5)有

φ(r(ω),s),ω∈A*∩D

(6)

根據(jù)φ(r(ω),s)關(guān)于s的連續(xù)性易知，對(duì)每個(gè)ω∈A*∩D，存在λn(ω)∈Q*，n=1,2,…,使得

(7)

由(6)和(7)有

β(r(ω)),ω∈A*∩D

(8)

因?yàn)镻(A*)=1，由(8)即得(1)。

取-1

α(r(ω)),a.s.ω∈D

定理得證。

推論在定理的條件下，若r(ω)=0a.s.或c=0，則

a.s.ω∈D

參考文獻(xiàn):

[1] Markowitz H.Portfolio Selection[J].Journal of Finance，1952,77-91.

[2] 張衛(wèi)國(guó). 現(xiàn)代投資組合理論-模型、方法與應(yīng)用[M].北京：科學(xué)出版社，1998.

[3] 葉中行，林建忠. 數(shù)理經(jīng)融-資產(chǎn)定價(jià)與金融決策[M].北京：科學(xué)出版社，2007.

[4] 包振華，葉中行，楊衛(wèi)國(guó). Log-最優(yōu)投資組合的極限定理[J]. 數(shù)學(xué)雜志，2007,27(4)：467-470.

[5] 汪忠志，宋靜. 股票投資模型中的一個(gè)強(qiáng)偏差定理[J]. 安徽工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)，2008.

[6] Wang zhongzhi.Random transforms for arbitary stochastic sequence and a.s.convergence[J].Journal of Mathematics,2005,25(5):513-520.

[7] 劉文，陳志剛. 對(duì)數(shù)似然比與離散隨機(jī)變量序列強(qiáng)極限定理的一種分析方法[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，1996,19(3):359-368.

On the Strong Deviation Theorems in the Stock Market Model

HU Guang-jun, CHENG Cheng

(School of Mathematics & Physics，Anhui University of Technology，Anhui Ma′anshan 243002，China)

Abstract:In this paper, by using the generalized likelihood ratio and generalized asymptotic relative logarithmic likelihood as a random measure of the dependent degree among the invest in stocks and the analytical methods of studying strong law of limit theorem, the strong deviation between the real distributions of the return rate and the average of their marginal distributions are studied, meanwhile, under suitable conditions, the upper and lower bounds are also obtained.

Key words:Markov's Inequality, Borel-Cantelli Lemma, strong deviation theorems, investment portfolio, rate of return

中圖分類號(hào)：O211.4，O236

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1007-4260(2015)01-0020-03

DOI：10.13757/j.cnki.cn34-1150/n.2015.01.006

作者簡(jiǎn)介：胡光軍，男，安徽六安人，安徽工業(yè)大學(xué)數(shù)理科學(xué)與工程學(xué)院碩士研究生， 研究方向?yàn)楦怕收摷捌鋺?yīng)用。

基金項(xiàng)目：安徽省高等學(xué)校自然科學(xué)基金(1408085MA04)，安徽工業(yè)大學(xué)研究生創(chuàng)新基金(No.2013090)。

收稿日期：2014-05-05