D族END隨機(jī)變量隨機(jī)和的精致大偏差

何基嬌，胡怡玉，周之寒

(安徽大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，安徽 合肥 230601)

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D族END隨機(jī)變量隨機(jī)和的精致大偏差

何基嬌，胡怡玉，周之寒

(安徽大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，安徽 合肥 230601)

摘要：重尾理賠下風(fēng)險(xiǎn)模型的精致大偏差研究是現(xiàn)代保險(xiǎn)精算學(xué)中的一個(gè)重要課題。假定理賠序列為一列D族重尾END同分布隨機(jī)變量序列，理賠到來過程為一與理賠序列獨(dú)立的計(jì)數(shù)過程。在一定條件下，得到該風(fēng)險(xiǎn)模型在一般情形下的精致大偏差，推廣了相關(guān)文獻(xiàn)已報(bào)道的結(jié)果。

關(guān)鍵詞：精致大偏差；END；隨機(jī)和；控制變換尾

保險(xiǎn)業(yè)是經(jīng)營(yíng)風(fēng)險(xiǎn)產(chǎn)品的特殊金融服務(wù)行業(yè)。由[1]知，對(duì)于某個(gè)給定的保險(xiǎn)公司，“占總理賠次數(shù)20%的那些大額理賠的數(shù)額約占公司歷史理賠的80%”。為了更好地進(jìn)行風(fēng)險(xiǎn)管理，一個(gè)核心問題就是風(fēng)險(xiǎn)度量。重尾隨機(jī)變量，即它的指數(shù)階矩不存在，可用于刻畫大的理賠。基于重尾隨機(jī)變量隨機(jī)和的精致大偏差可用于估計(jì)公司的破產(chǎn)概率這一特性，近年來該問題受到廣泛關(guān)注，出現(xiàn)了大量的研究成果。早期的結(jié)果可見[2-4]等，近期的研究成果可見[5-9]等。值得注意的是，文[6]得到了C族END隨機(jī)變量確定和的精致大偏差，隨后文[7]和文[9]分別將上述精致大偏差結(jié)果推廣到隨機(jī)和情形。本文旨在研究D族END隨機(jī)變量隨機(jī)和的精致大偏差。其中，C族的定義可參閱[1], D族和END隨機(jī)變量的定義見第二節(jié)定義1和定義2，并且由[1]知D族是嚴(yán)格包含C族的。

假定F∈D，在一定條件下，本文得到SNt,c的精致大偏差，推廣了文[9]和文[10]中的結(jié)論。

1定義和引理

本文需要對(duì)計(jì)數(shù)過程{N(t),t≥0}做如下兩個(gè)假設(shè)：

假設(shè)1對(duì)任意的δ>0，存在

假設(shè)2對(duì)所有的0<δ<1

另外，本文采用如下記號(hào)：對(duì)兩個(gè)正無窮小函數(shù)f(·)和g(·)，滿足

若b<∞，記f(·)=O(g(·))；若b=0，記f(·)=o(g(·))；若b=1，記f(·)g(·)；若a=1，記f(·)?g(·)；若兩個(gè)條件都成立，記f(·)g(·)；若0

定義1[1]稱支撐在[0,∞)上的分布F屬于控制變換尾分布族，記作F∈D，如果對(duì)任意的0

(1)

定義2[6]稱{Xk,k=1,2,…}為END隨機(jī)變量，如果存在常數(shù)M>0，使得對(duì)任意的n=1,2,…和x1,…,xn有

(2)

(3)

引理1[9]設(shè){Xk,k=1,2,…}為END隨機(jī)變量，共同分布為F∈D，期望μ<∞。{N(t),t≥0}滿足假設(shè)1，c是任一給定的實(shí)數(shù)且c+μ≥0，則對(duì)任意δ>0和γ>c，當(dāng)t→∞，x≥γλ(t)時(shí)有

引理2[10]設(shè){Xk,k=1,2,…}為END隨機(jī)變量，共同分布為F∈D，期望μ<∞。滿足?r>1，使得

E|X1|r1{X1≤0}<∞且

(4)

則對(duì)任意給定的γ>0，有下面不等式成立，

(5)

2主要結(jié)果及證明

定理設(shè){Xk,k=1,2,…}為END隨機(jī)變量，共同分布為F∈D，期望μ<∞，且滿足(4)式。再設(shè){N(t),t≥0}是一與{Xk,k=1,2,…}相互獨(dú)立的非負(fù)整數(shù)值計(jì)數(shù)過程，則對(duì)于任意給定的γ>c，關(guān)系式

(6)

在下列兩個(gè)條件下均成立：(1)當(dāng)c+μ≥0時(shí)，{N(t),t≥0}滿足假設(shè)1；(2)當(dāng)c+μ<0時(shí)，{N(t),t≥0}滿足假設(shè)2。

注在定理1中，如果令F∈C，注意到此時(shí)ρF=MF,μ≡1，LF≡1，則該定理可退化為[9]中的結(jié)果。

證明下面的證明過程中所有極限過程均指t→∞，且對(duì)x≥γλ(t)一致。證明過程可以分為(1)c+μ≥0與(2)c+μ<0兩種情形分別加以討論。由于

x+μλ(t)-(c+μ)n)P(N(t)=n)=

I1(x,t)+I2(x,t)+I3(x,t)

(7)

(1)當(dāng)c+μ≥0時(shí)。

(c+μ)(1-δ)λ(t))nP(N(t)=n)≤

δμλ(t))P(N(t)<(1-δ)λ(t))=

(8)

(x-cλ(t)))

(9)

以及

I2(x,t)(1-δ)λ(t)(1-ε)2·

(10)

最后由引理1知，

(11)

將(8)-(11)式帶入到(7)中，并令ε↓0,δ↓0，由LF的定義可得

(12)

以及

(13)

(12)和(13)式表明定理1(1)成立。

(2)當(dāng)c+μ<0時(shí)。分①γ+μ≥0和②γ+μ<0兩種情況來討論。

x+μλ(t)-(c+μ)n≥-(c+μ)n

(i)若μ≥0，c<0時(shí)有

(ii)若μ<0，c≥0時(shí)有

(iii)若μ<0，c≤0時(shí)有

故總有

于是由引理2得

(14)

(x-cλ(t)))

(15)

以及

I2(x,t)(1-δ)λ(t)(1-ε)2·

(16)

(17)

將(14)-(17)式代入(7)，并令ε↓0,δ↓0，由LF的定義同理得(12)和(13)成立。

[γλ(t),∞]=[γ1λ(t),∞)∪[γλ(t),γ1λ(t)]

對(duì)于第一部分x≥γ1λ(t)，有x+μλ(t)-(c+μ)n≥-(c+μ)n，同上①的證明可得(14)式成立。

對(duì)于第二部分γλ(t)≤x<γ1λ(t)，由γ1-c>0和F∈D得

再由假設(shè)2，對(duì)所有的γλ(t)≤x<γ1λ(t)就有

I1(x,t)≤P(N(t)≤(1-δ)λ(t))=

因此對(duì)所有的t→∞,x≥γλ(t)就有

I1(x,t)o(λ(t)

(18)

綜上，定理成立。

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[8] Chen Yiqing, Yuen Kam chuen. Precise large deviations of aggregate claims in a size-dependent renewal risk model[J]. Insurance: Mathematics and Economics, 2012, 51(2)：457-461.

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[10] Wang Shijie, Wang Xuejun, Wang Wensheng. Precise large deviations of aggregate claims with dominated variation in dependent multi-risk models[J]. Abstract and Applied Analysis, 2014, doi：10.1155/2014/972029.

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Precise Large Deviations of Random Sums

in the Presence of END Structure and Dominated Variation

HE Ji-jiao1，HU Yi-yu2，ZHOU Zhi-han3

(School of Mathematic Science, Anhui University, Hefei 230601,China)

Abstract:The risk model of precise large deviations for sums of heavy-tailed random variables is an important topic in insurance and finance. In this paper, let the claims be a sequence of real-valued identically distributed random variables with common distribution function. The claim number is a nonnegative inter-valued counting process independent of the claims. Under some conditions, we obtained precise large deviations of the risk model under the general case and promoted a number of classical results.

Key words:precise large deviation, extended negatively dependent, sums of random variables, dominated variation

中圖分類號(hào)：O211.4

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1007-4260(2015)01-0016-04

DOI：10.13757/j.cnki.cn34-1150/n.2015.01.005

作者簡(jiǎn)介：何基嬌，女，安徽合肥人，安徽大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院碩士研究生，研究方向?yàn)楸ｋU(xiǎn)精算。

基金項(xiàng)目：安徽大學(xué)科研訓(xùn)練計(jì)劃資助項(xiàng)目(資助號(hào)：KYXL2014008)。

收稿日期：2014-07-23