形似神似與形似神非

江戰(zhàn)明

一、前言

在一次高三“推門”聽課過程中，碰到這樣一個問題，求函數(shù)f（x）=+的最值.學生很快通過兩邊平方結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)，求得當x=時，函數(shù)有最大值；當x=1或2時，函數(shù)取到最小值. 緊接著教師又拋出了三個形似問題，分別求下列函數(shù)的最值：（1）f（x）=+，（2）f（x）=+，（3）f（x）=+.對于問題（1）很多學生仍然通過兩邊平方解決，但也有不少學生意識到了此函數(shù)的單調(diào)性，并用此性質(zhì)予以解決；問題（2）雖然無法通過兩邊平方解題，但在第一問的引導下，學生很快想到運用單調(diào)性求出函數(shù)值域；對于問題（3）很多學生選擇沉默，教師在幾次詢問無人應答的情況下謹慎地選擇了自己講解，運用柯西不等式求了一個最大值（應該是忽視了最小值）. 這時有學生來勁了問：老師，這個函數(shù)有沒有最小值??！教師顯然“愣”了一下，但畢竟是經(jīng)驗豐富的老教師，緊接著說：這個問得非常好，這類問題的最小值一般會在自變量“端點”處取到，至于何原因，可以通過導數(shù)及函數(shù)單調(diào)性給出完整解釋. 于是教師通過對此函數(shù)求導，得出此函數(shù)在[，]上單調(diào)遞增，在[，1]上單調(diào)遞減，確確實實應證了教師的那句話，最小值在自變量端點x=處取到為，學生欣然接受，這個小插曲也就圓滿結(jié)束.

課后筆者與任課教師交流，柯西不等式與導數(shù)屬于模塊內(nèi)容（18選6內(nèi)容，浙江省2015、2016屆高考數(shù)學卷中不作要求），在這節(jié)課中出現(xiàn)是課前預設(shè)還是臨場發(fā)揮.教師的解釋是本只想講下柯西不等式在此類題型中的妙用，況且柯西不等式也可以不出現(xiàn)，因為可以用構(gòu)造向量做出解釋，但一下忘了最小值，后來沒辦法了所以才把導數(shù)“搬”了出來.對于這樣的解釋在情理之中，因此筆者也沒有再問，在作簡單交流之后也就結(jié)束了本次聽課，畢竟只是“推門”課.

二、雙根式函數(shù)最值問題的整理

事后，筆者思考對于雙根式函數(shù)問題，形式大都非常接近，解法也有不少，確實可以從兩邊平方、單調(diào)性、柯西不等式和求導這四個角度考慮問題，但這些方法都有較為明顯的不足.求導可以解決所有兩個根式下都是一次函數(shù)的和、差函數(shù)的最值問題，但用導數(shù)不僅煩瑣容易出錯（涉及復合函數(shù)求導），而且多少有超綱的嫌疑；兩邊平方則僅適用于根式下均為一次函數(shù)且一次項系數(shù)互為相反數(shù)；單調(diào)性僅適用于兩個根式單調(diào)性一致情況下的和或兩個根式單調(diào)性相反情況下的差所組成函數(shù)的最值問題；柯西不等式則只適應于兩根式和且根式下均為一次函數(shù)以及一次項系數(shù)異號的函數(shù).既然以上方法都有不足之處，那么有沒有一種既便捷又不超綱且能解決所有這一類題型的方法？顯然是有的，其實上述問題均可轉(zhuǎn)化為圓錐曲線（第一象限部分）與斜率為-1（或1）直線間的規(guī)劃問題（數(shù)形結(jié)合）.下面先以上述問題（3）為例作具體說明.

（一）雙根式下均為一次函數(shù)

其實對于形如f（x）=±函數(shù)最值問題均可轉(zhuǎn)化為橢圓或雙曲線（第一象限部分）與直線關(guān)系下的規(guī)劃問題.因為只需設(shè)=μ，=v，即可得cμ2-aν2=bc-ad（μ≥0，v≥0），f（x）=μ±v，在以μ，v為橫縱坐標的直角坐標系中，方程cμ2-av2=bc-ad僅可以表示圓、橢圓、雙曲線或兩條相交直線（第一象限部分），f（x）=μ+v（或f（x）=μ-v）則表示斜率為-1（或1）的直線（第一象限部分），而f（x）則可以理解為直線在v軸上的截距（或截距的相反數(shù)），然后通過數(shù)形結(jié)合（平移直線）就能求出最值.當然，若函數(shù)具有明顯的單調(diào)性或可以通過平方解決，則沒有必要進行上述轉(zhuǎn)化.

（二）兩根式下分別為一次函數(shù)和二次函數(shù)

在上述解答過程中不難發(fā)現(xiàn)，方程cμ2-av2=bc-ad無法表示拋物線，那么是否會有可構(gòu)造拋物線解決的題型？其實稍加探索就能發(fā)現(xiàn)，一個根式下為一次函數(shù)，另一根式下是一次函數(shù)的完全平方，即可構(gòu)造拋物線解決，下面舉例說明.

對于形如f（x）=+函數(shù)的最值問題，就可以轉(zhuǎn)化為拋物線與直線關(guān)系下的規(guī)劃問題.解題如下，令=μ，=v，則有v=|μ2-2|，f（x）=μ+v，同上根據(jù)帶絕對值拋物線與斜率為-1的直線（均為第一象限部分）關(guān)系下的規(guī)劃問題，可求得當μ=-，v=0時，f（x）取到最小值-，無最大值.

類似于上述函數(shù)，對于f（x）=±型函數(shù)最值問題均可通過轉(zhuǎn)化成帶絕對值的拋物線與直線（均為第一象限部分）關(guān)系下的規(guī)劃問題.因為設(shè)=μ，=v，則有v=|μ2-+d|，f（x）=μ±v，然后可通過數(shù)形結(jié)合解題.其實從圖形不難看出此類題型一般無最大值，最小值則一般在拋物線與μ軸的交點處或直線與曲線相切位置取到. 當然此類題型也可以僅代換前面一個根式（因為后面的實際是偽根式）然后代入原式直接轉(zhuǎn)化成帶絕對值的二次函數(shù)問題解決.

（三）雙根式下均為二次函數(shù)

對于雙根式下均為二次函數(shù)的最值問題，則較以上兩類復雜得多. 若兩根式下二次函數(shù)的一、二次項系數(shù)分別相同或成比例，即形如

f（x）=±（k≠0）的函數(shù)，則仍可以通過轉(zhuǎn)化成橢圓或雙曲線與直線關(guān)系下的規(guī)劃問題給予解決，但需特別注意和的取值范圍；若兩根式下二次函數(shù)的Δ≤0且二次項系數(shù)相同，即通過配方可把雙根式函數(shù)轉(zhuǎn)化成形如

f（x）=±a（x-x2）2+（0-y2）2的函數(shù)，然后可以構(gòu)造x軸上一點（x，0）到點（x1，y1）與點（x2，y2）距離之和或差給予解決（用構(gòu)成三角形的基本性質(zhì)解題）.上述兩種題型形狀非常相似，但處理的方式或者說本質(zhì)則是完全不同的.

三、小結(jié)

因為在聽課之后的交流中，發(fā)現(xiàn)一位優(yōu)秀的老教師沒把這個問題弄得非常透徹（可能是因為導數(shù)的原因，故未深究），或許還有很多一線教師對這類問題沒加留意，因此筆者以為有必要把此類問題作一點整理，也愿這樣的整理能給讀者一點啟發(fā)，當然更希望能起到一個拋磚引玉作用. 因為上述僅僅解決了一小眾問題，關(guān)于雙根式函數(shù)中更為一般化的情況有沒有統(tǒng)一解法或有沒有特殊解法，拓展到結(jié)構(gòu)相似的題型到底是“神似”還是“貌似”，都值得大家進行深入的研究.