幾何非線性對(duì)滬通公鐵兩用長江大橋的影響

張曄芝,劉劍光,張曉龍

(中南大學(xué) 土木工程學(xué)院，湖南 長沙 410075)

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幾何非線性對(duì)滬通公鐵兩用長江大橋的影響

張曄芝,劉劍光,張曉龍

(中南大學(xué) 土木工程學(xué)院，湖南 長沙 410075)

摘要:在建的滬通公鐵兩用長江大橋是一座超大跨度、超大體量、超大活載的公鐵兩用斜拉橋。采用U.L空間非線性有限元分析方法，以主跨跨中撓度最大的活載工況為例，研究3種幾何非線性效應(yīng)對(duì)該橋的變形和受力狀態(tài)的影響。結(jié)果表明，3種幾何非線性對(duì)橋梁的變形和受力狀態(tài)的綜合影響最大達(dá)到12.60%(增大)；3種幾何非線性效應(yīng)中，斜拉索的垂度效應(yīng)對(duì)于橋梁變形和受力狀態(tài)的影響最大，達(dá)到7.73%，超過了大位移效應(yīng)和梁柱效應(yīng)的綜合影響；用Ernst公式修正拉索彈?？紤]拉索垂度效應(yīng)的影響時(shí)，可用恒載+活載線彈性分析得到的索力，得到的結(jié)果較準(zhǔn)確而避免了迭代計(jì)算；若用恒載索力修正拉索的彈模，將成倍夸大垂度效應(yīng)的影響，因而是不可行的。

關(guān)鍵詞：幾何非線性；公鐵兩用斜拉橋；垂度效應(yīng)；大位移效應(yīng)；梁柱效應(yīng)

在建的滬通公鐵兩用長江大橋(下稱滬通橋)是一座國內(nèi)外從未有過的超大體量的公鐵兩用斜拉橋，主橋的孔跨布置為(142+462+1092+462+142)m，全長2 300 m，采用三主桁三索面結(jié)構(gòu)，上層通行6車道公路，正交異性板結(jié)構(gòu)，下層通行4線鐵路，閉口鋼箱梁結(jié)構(gòu)，鋼箱梁的頂、底板都是正交異性板；主桁桿件與下層橋面系形成箱-桁組合結(jié)構(gòu)，桁高16 m，節(jié)間長度14 m，橋?qū)?5 m；最長的斜拉索達(dá)583.8 m，傾角為 24°，重量達(dá)782 kN/m。該橋結(jié)構(gòu)龐大，構(gòu)造復(fù)雜，荷載大，活載作用下主跨跨中的撓度達(dá)2 m左右，所以研究分析各種幾何非線性因素對(duì)于該橋變形和受力狀態(tài)的影響很有必要。

1斜拉橋的幾何非線性

斜拉橋幾何非線性可分為3種[1-2]：1)斜拉索的垂度效應(yīng)；2)梁體的大位移效應(yīng)；3)主梁、主塔的梁柱效應(yīng)。

1.1　斜拉索的垂度效應(yīng)

斜拉索正常工作時(shí)受軸力和重力的共同作用，呈懸鏈線形狀，軸力和變形并不是線性關(guān)系。斜拉索的長度，角度以及重量越大，斜拉索越松弛，非線性問題越突出。斜拉索軸力的增大，會(huì)減小斜拉索的松弛，減小非線性效應(yīng)。

目前，斜拉索垂度效應(yīng)的處理方法較成熟是Ernst等效彈模法[3]。近年來有學(xué)者提出了多段桿單元法[4-5]，多節(jié)點(diǎn)曲線索單元法[6-7]和懸鏈線法索單元法[8-9]等。這些方法通常都將單根索劃分成許多梁單元，直線的或曲線的用半解析半數(shù)值的方法計(jì)算出索的垂度和索力。這些方法目前還處在研究階段，多數(shù)還只用于研究兩端固定的單根索的垂度效應(yīng)，而未用于實(shí)際的橋梁，目前通用軟件中還未引入他們的研究成果。實(shí)踐表明，用Ernst公式來修正斜拉索的垂度效應(yīng)是有足夠精度的，而且相對(duì)簡單、方便，所以本文采用Ernst公式，研究索的垂度效應(yīng)對(duì)滬通橋變形和受力狀態(tài)的影響。

Ernst等效彈性模量法是根據(jù)索的索力、單位長度重量、水平投影長度等來修正索的彈模，計(jì)算公式如下：

式中：Eeq為拉索等效彈性模量；E為拉索材料的彈性模量，本文取E=1.95×105MPa；W為單位長度拉索的重量；L為拉索的水平投影長度；A為拉索的橫截面積；F為拉索索力。

1.2　大位移效應(yīng)和梁柱效應(yīng)

大跨度斜拉橋是一種柔性結(jié)構(gòu)，即使在正常工作狀態(tài)下也會(huì)產(chǎn)生較大的變形。節(jié)點(diǎn)位置的變化會(huì)改變單元的長度、傾角等幾何特性，結(jié)構(gòu)的整體剛度也會(huì)隨之改變。實(shí)際上變形后的平衡才是結(jié)構(gòu)的最終平衡狀態(tài)，在小位移結(jié)構(gòu)分析時(shí)，一般忽略結(jié)構(gòu)變形對(duì)結(jié)構(gòu)整體剛度的影響。對(duì)于大位移結(jié)構(gòu)，若這樣分析，就會(huì)引起較大的誤差。

在線性分析中，認(rèn)為彎矩和軸力是相互不耦合的。然而在實(shí)際情況中，彎矩會(huì)引起桿件的側(cè)向位移，由于側(cè)向位移的存在，軸力會(huì)產(chǎn)生彎矩，軸力和彎矩相互影響。斜拉橋的主梁和主塔不僅承受很大的彎矩，而且還承受很大的軸力。考慮軸力和彎矩的相互耦合關(guān)系得出的計(jì)算結(jié)果將會(huì)更加符合實(shí)際情況。

對(duì)于滬通橋這樣的大型結(jié)構(gòu)，大位移效應(yīng)和梁柱效應(yīng)用解析法求解很困難[10-12]，用有限元法無困難，但計(jì)算量大[13]。本文采用U.L列式法來考慮橋梁的大位移效應(yīng)和梁柱效應(yīng)[14]。U.L列式法是在有限元模型變形后的位置上列平衡方程，將荷載分為很多個(gè)荷載步，每一個(gè)荷載步都經(jīng)過多次迭代計(jì)算出結(jié)構(gòu)的變形，在下一個(gè)荷載步的計(jì)算中按前一個(gè)荷載步完成后的位移列平衡方程。由于在變形后的位置上列平衡方程，不僅考慮了大位移效應(yīng)，同時(shí)也計(jì)入了軸力和彎矩的耦合作用，從而考慮了橋梁的梁柱效應(yīng)。

2有限元分析方法

斜拉橋的幾何非線性問題，理論分析是非常困難的，需要作很多假定，把結(jié)構(gòu)簡化。簡化時(shí)結(jié)構(gòu)剛度一般較容易與原結(jié)構(gòu)等效，但結(jié)構(gòu)的強(qiáng)度很難同時(shí)與原結(jié)構(gòu)等效，因而算出位移后很難還原出原結(jié)構(gòu)的內(nèi)力或應(yīng)力[15]。

隨著電子計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，有限單元法得到了越來越廣泛的運(yùn)用，很多大型的有限元軟件包也相應(yīng)出現(xiàn)。應(yīng)用有限元分析軟件可以較方便地對(duì)斜拉橋進(jìn)行變形和受力分析，理論上和方法上都無困難。但是非線性分析的計(jì)算量是線性分析的幾十倍乃至幾百倍。而且滬通橋結(jié)構(gòu)龐大，構(gòu)造復(fù)雜，即使是最不利活載的線彈性分析也需要好幾天的時(shí)間。所以建立有限元模型時(shí)，要保證計(jì)算精度，又要控制自由度數(shù)和計(jì)算規(guī)模。經(jīng)研究對(duì)比，采用3層梁格法，通過Midas/Civil建立滬通橋全橋有限元模型。

所謂3層梁格法是指上層公路正交異性板橋面用1層梁格模擬，鐵路橋面鋼箱梁頂面、底面正交異性板各用1層梁格模擬，合計(jì)3層梁格。每一層梁格中，沿橫橋向把每一層橋面板劃分成許多條帶，每一條帶包含橋面板和1~2個(gè)縱向加強(qiáng)肋，再把這一條帶沿順橋向劃成許多梁單元，該梁單元的截面形狀和原條帶完全一致，從而其強(qiáng)度、拉壓剛度、豎彎剛度等也和原條帶完全一致。這些順橋向的梁單元在節(jié)點(diǎn)處由橫向梁單元相連，每一個(gè)橫向梁單元為節(jié)點(diǎn)兩側(cè)半個(gè)順橋向梁單元長度的橋面板組成。下層鐵路橋面鋼箱梁的頂、底板由實(shí)際的橫隔板連接成一體，橫隔板也劃分成橫橋向的梁單元，在這些橫隔板的梁單元節(jié)點(diǎn)處，將頂、底板的有限元節(jié)點(diǎn)與其強(qiáng)加剛性約束條件，使鋼箱梁的頂、底板在橫隔板處連成一體。這種將正交板連續(xù)體用梁格代替的基本思想是與將連續(xù)體用有限元網(wǎng)格代替的思想是完全一致的，在橋梁結(jié)構(gòu)的有限元分析中也是常用的[16-18]。

主桁、主塔等其他構(gòu)件也都采用空間梁單元。實(shí)際的斜拉索只有抗拉剛度，而無抗壓、抗彎、抗剪剛度，實(shí)際的斜拉橋中拉索也只受拉，不受壓。但有限元分析中，恒載和活載是分開計(jì)算的，某些最不利活載工況下，某些斜拉索索力小于恒載索力，相當(dāng)于活載索力為壓，所以采用具有拉壓剛度的直索單元，或叫做桁單元。主桁下弦桿與鐵路鋼箱梁頂?shù)装逯g也加之剛性連接。這種全部由梁單元組成的模型計(jì)算效率比既有梁單元又有板殼元的板梁單元高許多，而且能保證精度。圖1為有限元模型。

(a)模型中的公路橋面；(b)模型中的鐵路橋面(c)模型中的一個(gè)節(jié)間；(d)全橋模型圖1　有限元模型Fig.1 FEM Model

恒載作用下的變形和受力狀態(tài)是與施工方法和順序有關(guān)，索力是主動(dòng)張拉的，本文對(duì)恒載作線彈性分析，假定恒載作用下的索力將梁體拉至二分之一的活載的上拱度。以主跨跨中撓度最大的最不利工況為例，研究滬通橋幾何非線性的影響。在該工況下，主梁的撓度和主塔的順橋向的位移最大。

活載標(biāo)準(zhǔn)如下：鐵路活載采用的是兩線ZK活載+兩線中—活載。其中城際鐵路設(shè)計(jì)列車活載采用ZK活載，加載長度為550 m，滬通鐵路設(shè)計(jì)列車活載采用中—活載，加載長度為970 m。公路活載采用6線公路I級(jí)車道荷載。鐵路活載4線折減系數(shù)為0.75，公路活載折減系數(shù)為0.55。

采用如下4種方法對(duì)比分析各種幾何非線性效應(yīng)對(duì)該橋的影響：

方法A：線彈性分析，不考慮幾何非線性影響；

方法B：只考慮斜拉索垂度效應(yīng)的影響，用恒載索力+多次迭代得到的活載索力，用Ernst公式修正斜拉索的彈性模量；

方法C：只考慮梁柱效應(yīng)和大位移效應(yīng)共同作用，不計(jì)斜拉索的垂度效應(yīng)；

方法D：斜拉索垂度效應(yīng)、梁柱效應(yīng)和大位移效應(yīng)3種幾何非線性同時(shí)考慮。

3幾何非線性影響分析

按上節(jié)中A，B，C和D 4種方法對(duì)滬通橋作跨中撓度最大活載作用下的有限元對(duì)比分析，各個(gè)關(guān)鍵部分的內(nèi)力和位移見表1。

由表1可見，3種幾何非線性效應(yīng)相比，斜拉索的垂度效應(yīng)對(duì)滬通橋變形和受力狀態(tài)的影響最大，超過了大撓度效應(yīng)和梁柱效應(yīng)的綜合影響。究其原因，因?yàn)槔鏖L，傾角小，自重大，最長的斜拉索達(dá)583.8 m，傾角為 24°，重量達(dá)782 kN/m，垂度效應(yīng)突出。而主梁由于采用上、下層結(jié)構(gòu)，下層是封閉的鋼箱梁，桁高達(dá)16 m，主梁本身剛度較大，塔柱順橋向尺寸 14～21 m，也有較大的剛度，所以大位移效應(yīng)和梁柱效應(yīng)影響較拉索垂度效應(yīng)小。

考慮斜拉索的垂度效應(yīng)后，活載作用下主跨跨中的撓度、塔頂?shù)捻槝蛳蛩轿灰啤⒅骺缈缰猩?、下弦桿的軸力和塔底的彎矩都有所增加，分別增大了4.99%，4.52%，7.73%，6.50%和3.14%，而橋塔處上弦桿的軸壓力減少了3.43%，下弦桿的軸壓力和塔底的軸壓力也有所減小，但量很小，不足1%。

表1　活載作用下關(guān)鍵部位位移和內(nèi)力對(duì)比(力:kN彎矩:kN·m位移:mm)

大位移效應(yīng)和梁柱效應(yīng)這2種幾何非線性在有限元分析中不能分開單獨(dú)考慮，所以結(jié)果也無法分開?？紤]這2種效應(yīng)的梁體主跨跨中撓度、塔頂水平位移和主跨跨中的上、下弦桿的軸力分別增大了1.40%，4.80%，4.30%和2.10%，而橋塔處上弦桿的軸力和塔底的彎矩分別減少了3.80%和6.30%，而下弦桿在橋塔處的軸力和塔底的軸力變化都小于1%。

3種幾何非線性同時(shí)考慮時(shí)，主跨跨中撓度、塔頂水平位移和上、下弦桿的軸力分別增加了6.60%，10.0%，12.60%和8.80%，而橋塔處上、下弦桿的軸力則分別減少了9.40%和0.30%。

由此可見，主跨跨中撓度最大最不利荷載作用下，受3種幾何非線性影響最大的是主跨跨中上弦桿的軸力，3種非線性效應(yīng)的影響達(dá)到12.60%，其次是塔頂?shù)捻槝蛳蛩轿灰啤Ｖ骺缈缰邢孪覘U的軸力和主跨跨中的撓度。

圖2　主梁撓度Fig.2 Deflection of the main girder

圖3　主塔順橋向位移Fig.3 Displacement of the tower along the bridge

圖4　上弦桿軸力Fig.4 Axial forces of the top chord

圖5　主塔順橋向彎矩圖Fig.5 Moment along the bridge of the tower

圖2~圖5為主梁撓曲線、橋塔順橋向位移、上弦桿的軸力和主塔順橋向彎曲的彎矩，用A，B，C和D 4種方法得到的對(duì)比曲線。由于對(duì)稱，主梁的內(nèi)力和位移都只畫出了半橋。由這些曲線可見，主梁的撓度、上弦桿的軸力，4種分析方法的最大差別發(fā)生在主跨跨中，橋塔的順橋向位移最大差別發(fā)生在塔頂，而主塔的彎矩最大差別發(fā)生在塔底。

必須指出，上述分析都是對(duì)應(yīng)于主跨跨中撓度最大的活載，對(duì)于其他活載工況，幾何非線性影響肯定會(huì)有所不同。

值得一提的是，在以往斜拉橋的設(shè)計(jì)中，通常在線性分析的基礎(chǔ)上將位移和內(nèi)力乘以1.1的系數(shù)，但對(duì)于滬通橋這樣特大跨度、特大活載的橋梁，1.1的系數(shù)已經(jīng)不能包住幾何非線性的影響。

4斜拉索垂度效應(yīng)中索力的取值問題

在上節(jié)方法B研究斜拉索垂度效應(yīng)對(duì)斜拉橋變形和受力狀態(tài)的影響時(shí)，要用當(dāng)前的索力來修正拉索的彈性模量。當(dāng)前的索力是指恒載和當(dāng)前活載作用下的索力，但是在有限元分析之前并不知道當(dāng)前的索力是多少，所以要經(jīng)過幾輪迭代計(jì)算，方法大致如下。

1)算出恒載索力；

2)假定1組活載索力，用(恒載+活載)索力按Ernst公式修正索的彈性索的彈性模量，用修正后的彈性模量作全橋活載作用下的有限元分析；

3)比較新一輪有限元分析得到的索力和該輪修正彈模所用的索力，若兩者差別小于要求，則本輪計(jì)算結(jié)果是正確的，否則再用新的索力修正索的彈模，直至有限元分析得到的索力與修正拉索彈模的索力基本一致。

有些文獻(xiàn)認(rèn)為考慮拉索垂度效應(yīng)時(shí)可用恒載的索力來修正拉索的彈模[19]，這樣可避免迭代計(jì)算。為考察這種方法的可靠性，本文除了按上面所述方法B外，還用下述B1和B22種方法修正拉索的彈性模量。

方法B1：只考慮斜拉索的垂度效應(yīng)，用恒載索力，采用Ernst公式修正斜拉索的彈性模量；

方法B2：只考慮斜拉索的垂度效應(yīng)，用恒載索力+線彈性活載索力，采用Ernst公式修正斜拉索的彈性模量；

將方法A，B，B1和B2修正拉索彈模的部分邊桁索力和修正后的拉索彈模Eeq列于表2中，按此彈模所作的有限元分析得到的滬通橋關(guān)鍵部位的變形和受力狀態(tài)列于表3中。

表2　采用不同方法修正拉索彈模的部分斜拉索索力和等效彈性模量

表3　采用不同索力活載作用下關(guān)鍵部位位移和內(nèi)力(力:kN彎矩:kN·m位移:mm)

表2和表3中方法B修正彈模的索力和考慮垂度效應(yīng)后有限元分析得到的索力是一致的，因此其值可認(rèn)為是正確的。方法B1是利用恒載的索力修正E，因索力比B小很多，修正得到的彈模Eeq都偏小，得到的主跨跨中撓度、塔頂水平位移、上下弦桿軸力，與線彈性分析相比，分別增大了9.73%，9.39%，13.78%和11.67%，接近B的2倍，夸大了拉索的垂度效應(yīng)的影響。由此可見，對(duì)于滬通橋這樣的公鐵兩用斜拉橋，由于活載大，用恒載索力修正拉索彈性模量來考慮斜拉索的垂度效應(yīng)是不可取的。

方法B2是用(恒載+活載)線彈性分析得到的索力來修正拉索的彈模，所得到的Eeq以及有限元分析得到的位移和內(nèi)力都與B基本一致，所以是可行的，避免了迭代計(jì)算。

5結(jié)論

1)對(duì)滬通橋這樣特大跨度、特大體量、特大活載的斜拉橋，斜拉索的垂度效應(yīng)，梁體的大撓度效應(yīng)和塔、梁的梁柱效應(yīng)3種幾何非線性對(duì)橋梁的變形和受力狀態(tài)的綜合影響最大達(dá)到12.60%(增大)，常規(guī)斜拉橋設(shè)計(jì)中用1.1的放大系數(shù)已經(jīng)不能包住幾何非線性的影響。

2)3種幾何非線性效應(yīng)中，斜拉索的垂度效應(yīng)對(duì)于橋梁變形和受力狀態(tài)的影響最大，超過了大位移效應(yīng)和梁柱效應(yīng)的綜合影響。

3)用Ernst公式來考慮拉索垂度效應(yīng)的影響時(shí)，用恒載+活載線彈性分析得到的索力修正拉索彈模，再作有限元分析可得到較準(zhǔn)確的結(jié)果而避免了迭代計(jì)算，所以是可行的；但若用恒載索力修正拉索的彈模，將成倍夸大垂度效應(yīng)的影響，因而是不可行的。

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(編輯陽麗霞)

Influences of geometric nonlinearity on Hutong combinedhighway and railway Yangtze river bridge

ZHANG Yezhi，LIU Jianguang，ZHANG Xiaolong

(School of Civil Engineering，Central South University，Changsha 410075，China)

Abstract:Hutong Yangtze river bridge under construction is a combined highway and railway cable-stayed bridge with extremely large span, scale and live load.In this paper the U.L nonlinear FEM is used, and the influences of three types of geometric nonlinearity on the deformation and stress status of Hutong Yangtze river bridge are studied with the reference of largest mid-span deflection.The result shows the combined effect of the three types of geometric nonlinearity to the deformation and stress status of the bridge can increase by12.60%.Among the three types of geometric nonlinearity, the effect of cable sag effect is the largest, reaching 7.73%, exceed the combined effect of large displacement effect and girder-tower effect.If the cable elastic modulus are revised according to Ernst figure to considering the influence of the cable sag effect, the cable forces which computed through linear elastic analysis under dead load plus live load can be used.The results have enough precision thus the iterative computations are not needed.If the cable elastic modulus are revised using the cable forces only under dead load, the influence of cable sag effect will be multiple exaggerated, so it is not feasible.

Key words:geometric nonlinearity; combined highway and railway cable-stayed bridge; cable sag effect; large displacement effect; girder-tower effect

通訊作者：張曄芝(1973-)，男，上海人，副教授，博士，從事橋梁工程與結(jié)構(gòu)工程教學(xué)與科研工作；E-mail: zhangyz824@163.com

基金項(xiàng)目：中國鐵路總公司科技研究開發(fā)計(jì)劃課題(2013G001-A-2)

收稿日期：2015-06-26

中圖分類號(hào)：U448.27

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：1672-7029(2015)06-1387-07