秩虧自由網(wǎng)序貫平差在變形監(jiān)測中的應(yīng)用

張 磊 沈 震 高 山

（1.安徽理工大學(xué)，安徽 淮南232000）

1 引言

在實(shí)際的生產(chǎn)中很多情況下數(shù)據(jù)的采集都是分期進(jìn)行的，如控制網(wǎng)的改擴(kuò)建、分期布網(wǎng)以及分期完成的變形監(jiān)測等。那么針對分期采集的數(shù)據(jù)采取什么處理方式成了一個(gè)亟需解決的問題，采用傳統(tǒng)的整體平差方法顯然會(huì)大大增加工作質(zhì)量進(jìn)而影響工作效率，測量平差與誤差理論得到了很大的發(fā)展，并在經(jīng)典平差的基礎(chǔ)上提出了序貫平差（逐次相關(guān)間接平差）。序貫平差利用前期平差結(jié)果，達(dá)到與前期一起整體平差同樣的結(jié)果。針對無起始數(shù)據(jù)的情況也提出了秩虧自由網(wǎng)平差原理與方法，解決了經(jīng)典自由網(wǎng)平差不適合處理的工程變形監(jiān)測、地殼變形監(jiān)測網(wǎng)、地表沉陷和GPS等的數(shù)據(jù)處理。那么當(dāng)變形監(jiān)測分期完成時(shí)，就需要結(jié)合秩虧自由網(wǎng)平差和序貫平差兩種數(shù)據(jù)處理方法，本文針對這一情況總結(jié)了秩虧自由網(wǎng)序貫平差方法［5］。

2 秩虧自由網(wǎng)偽觀測平差原理

在經(jīng)典測量平差中，必須有足夠的起算數(shù)據(jù)，即以已知的起算數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)，將控制網(wǎng)的基準(zhǔn)固定在已知數(shù)據(jù)上，所以經(jīng)典平差的基準(zhǔn)為固定基準(zhǔn)。當(dāng)控制網(wǎng)中沒有必要的起算數(shù)據(jù)或者起算數(shù)據(jù)不足時(shí)，稱為秩虧自由網(wǎng)。秩虧自由網(wǎng)的法方程系數(shù)陣N奇異，即N=0，故N的凱利逆N-1不存在，法方 程有無 窮解［1］［2］。下 面將討論如何解決這個(gè)問題。

其中R（A）=t＜u，d=u-t，相應(yīng)的誤差方程為

秩虧自由網(wǎng)平差的函數(shù)模型是具有系數(shù)陣秩虧的間接平差模型，隨機(jī)模型仍是

按最小二乘原理，在VTPV=min下，由（2）式可組成法方程為

基準(zhǔn)條件，也就是所選的u個(gè)參數(shù)間存在的d個(gè)約束條件，這就是基準(zhǔn)秩虧所致，在變形監(jiān)測布設(shè)水準(zhǔn)網(wǎng)中d=1，即u=t+1，有一個(gè)基準(zhǔn)條件。

附加的基準(zhǔn)條件（5）應(yīng)與法方程（4）線性無關(guān)，等價(jià)于滿足下列條件

因N=ATPA，故亦有

聯(lián)合解算式（2）與（5），即是附有限制條件的簡介間接平差問題，在

條件下得法方程為

在水準(zhǔn)網(wǎng)中滿足式（7）和R（S）=d的S一組基礎(chǔ)解，其具體形式可取為

整理可得秩虧自由網(wǎng)平差公式：

單位權(quán)中誤差為

3 序貫平差原理

序貫平差也叫逐次相關(guān)間接平差，它是將觀測值分成兩組或者多組，按組的順序分別做相關(guān)的間接平差，序貫平差有一套規(guī)律很強(qiáng)的遞推公式。便于計(jì)算機(jī)工作，用途十分廣泛［1］。

將觀測值L分成Lk-1和Lk，權(quán)陣分別為Pk-1和Pk，設(shè)這兩組觀測值不相關(guān)，則有

而n=nk-1+nk，nk-1＞t，t為必要觀測數(shù)。

當(dāng)參數(shù)之間不存在約束條件時(shí)，其誤差方程為

將式（15）單獨(dú)平差，得

將式（15）、（16）聯(lián)合結(jié)算，可組成法方程為

其解為

由式（18）上式為

故式（21）為

由矩陣反演公式知

J陣稱為卡爾曼濾波增益矩陣或稱序貫平差的增益矩陣。

4 工程實(shí)例

安徽礦某礦區(qū)沉陷區(qū)布設(shè)如圖1所示水準(zhǔn)網(wǎng)，第一期觀測了h1=0.478m、h2=-1.283m、h3=-0.638m、h4=0.531m、h5=0.910m，第 二期觀測了h6=-1.641m、h7=-0.737m、h8=-0.204m。路線長s1=2km、s2=2km、s3=2km、s4=4km、s5=4km、s6=4km、s7=2km、s8=4km，以4km觀測高差的權(quán)為單位權(quán)。設(shè)HA=x1、HB=x2、Hc=x3、HD=x4、HE=x5、HF=x6，根據(jù)以往觀測經(jīng)驗(yàn)取個(gè)點(diǎn)近似高程為x1=20.187m、x2=20.669m、x3=19.384m、x4=18.743m、x5=19.276m、x6=18.543m，求X和QXX。

誤差方程為

第一次平差可得

由題意可知，第一期水準(zhǔn)網(wǎng)5個(gè)未知點(diǎn)，故

聯(lián)合結(jié)算式（27）、（29）、（30）、（31）、（32）以及式（33）可得

第二次平差誤差方程為

由式（34）、（35）組成法方程

由題意知第二期觀測誤差方程為

故有

上述結(jié)果聯(lián)立式（36）可得

由題意可知，第二期水準(zhǔn)網(wǎng)6個(gè)未知點(diǎn)，故

利用偽觀測法秩虧自由網(wǎng)平差原理，設(shè)

則

5 結(jié)論